1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872), страница 17
Текст из файла (страница 17)
 òàêèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî êðèòåðèé èìååò óðîâåíü 1 − ε. ×àñòîïðèõîäèòñÿ äîâîëüñòâîâàòüñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì êðèòåðèåì óðîâíÿ 1 − ε, òî åñòü åñëèlimn→∞ β1 ≤ ε.Ïîñêîëüêó êîíêóðèðóþùàÿ ãèïîòåçà ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé, òî âåðîÿòíîñòü îøèáêèâòîðîãî ðîäà ìû ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì.8.2.Êðèòåðèé ÊîëìîãîðîâàÊðèòåðèé îñíîâûâàåòñÿ íà ñëåäóþùåé òåîðåìå (ïðèâîäèòñÿ áåç äîêàçàòåëüñòâà).79Òåîðåìà Êîëìîãîðîâà.
Ïóñòü X ⊂= F è F íåïðåðûâíà. Îáîçíà÷èìDn = sup |Fn∗ (y) − F (y)|.yÒîãäà äëÿ ëþáîãî y > 0 ïðè n → ∞∞X√2 2P( nDn < y) → K(y) =(−1)m e−2m y .m=−∞Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ K(y) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Êîëìîãîðîâà, îíà àáñîëþòíîíåïðåðûâíà; äëÿ íàõîæäåíèÿ åå çíà÷åíèé èìåþòñÿ òàáëèöû.Ïåðåéäåì ê ïîñòðîåíèþ êðèòåðèÿ.Ïóñòü X ⊂= F è ïðîâåðÿþòñÿ ãèïîòåçû H1 : F = F1 ïðîòèâ H2 : F 6= F1 , ãäåF1 íåïðåðûâíà.
Íàøà çàäà÷à ïîñòðîèòü àñèìïòîòè÷åñêèé êðèòåðèé óðîâíÿ 1 − ε.Äëÿ íà÷àëà âû÷èñëèì âåëè÷èíó Dn â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âåðíà ãèïîòåçà H1 , ò. å.F = F1 :Dn = sup |Fn∗ (y) − F1 (y)|.y ñèëó òåîðåìûÊîëìîãîðîâà, ïðè áîëüøèõ n ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé√âåëè÷èíû nDn ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò K(y), ïîýòîìó çàðàíåå ïî òàáëèöàì ôóíêöèèÊîëìîãîðîâà ìû ìîæåì íàéòè òàêîå ÷èñëî q > 0, ÷òî K(q) = 1 − ε.K(y)61−ε0q-y√Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè âåðíà H1 , òî P1 ( nD√n < q) ' K(q) = 1−ε. Ïîýòîìó ìû áóäåìîòâåðãàòü ãèïîòåçó H1 , åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî nDn ≥ q , ò. å. åñëè ðàñõîæäåíèå ìåæäóýìïèðè÷åñêîé è ãèïîòåòè÷åñêîé ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ äîñòàòî÷íî âåëèêî.ßñíî, ÷òî ïðè ýòîì√√β1 = P1 ( nDn ≥ q) = 1 − P1 ( nDn < q) ' 1 − K(q) = ε.Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî äëÿ ïîñòðîåííîãî íàìè êðèòåðèÿ âûãëÿäèò òàê:√K = {(X1 , .
. . , Xn ) ∈ Rn : nDn ≥ q}.8.3.Êðèòåðèé õè-êâàäðàòÏèðñîíàÏóñòü X ⊂= F è ïðîâåðÿþòñÿ ãèïîòåçû H1 : F = F1 ïðîòèâ H2 : F 6= F1 .Ïî-ïðåæíåìó íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè àñèìïòîòè÷åñêîãî êðèòåðèÿ óðîâíÿ1 − ε.  ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî X ⊂= F1 , ðàçîáüåì îáëàñòü âîçìîæíûõ çíà÷åíèé X1 íàíåêîòîðîå êîëè÷åñòâî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïðîìåæóòêîâ:P1 (X1 ∈ ∆1 ∪ . . . ∪ ∆k ) = 1,ãäå ∆i èìååò âèä ∆i = [ai , bi ), i = 1, . . . , k .80Ïóñòü νi ÷èñëî íàáëþäåíèé, ïîïàâøèõ â ∆i , i = 1, . .
. , k , ν1 + . . . + νk = n.Îáîçíà÷èì òàêæåpi = P1 (X1 ∈ ∆i ) = F1 (bi ) − F1 (ai ), i = 1, . . . , k.Èç çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë ñëåäóåò, ÷òîνi P→ pi ,nn → ∞,ïðè êàæäîì i, åñëè âåðíà H1 .  êà÷åñòâå ìåðû áëèçîñòè ñîâîêóïíîñòåé {ν1 /n, . . . , νk /n}è {p1 , . . . , pk } ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü âåëè÷èíókk2 XX1 νi(νi − npi )2− pi =.Ψn = npi nnpii=1i=1Òåîðåìà Ïèðñîíà. Åñëè 0 < pi < 1 ïðè âñåõ i = 1, . . .
, k , òî äëÿ ëþáîãî y > 0P1 (Ψn < y) → χ2k−1 (y),n → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû âåñüìà ñëîæíî, è ïî ýòîé ïðè÷èíå ìû åãî íå ïðèâîäèì.Çàéìåìñÿ ïîñòðîåíèåì êðèòåðèÿ. Íàéäåì ÷èñëî q òàêîå, ÷òî χ2k−1 (q) = 1 − ε.Åñëè âåðíà ãèïîòåçà H1 , òî ñ âåðîÿòíîñòüþ, áëèçêîé ê 1 − ε, çíà÷åíèå ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû Ψn äîëæíî áûòü ìåíüøå q . Ïîýòîìó ìû îòâåðãàåì ãèïîòåçó, åñëè Ψn ≥ q , èïðèíèìàåì åå â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìû ïðèíèìàåì H1 , åñëè íåò ÿâíîãîïðîòèâîðå÷èÿ ýòîé ãèïîòåçû ñ íàáëþäåííûìè çíà÷åíèÿìè. Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâîâûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:K = {(X1 , . .
. , Xn ) : Ψn ≥ q}.Äëÿ âåðîÿòíîñòè îøèáêè ïåðâîãî ðîäà èìååìβ1 = P1 (Ψn ≥ q) = 1 − P1 (Ψn < q) ' 1 − χ2k−1 (q) = ε.Çàìå÷àíèå. Ïðèáëèæåíèå P1 (Ψn < q) ' χ2k−1 (q) ÿâëÿåòñÿ âïîëíå óäîâëåòâî-ðèòåëüíûì äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé, åñëè npi ≥ 10 äëÿ âñåõ i.  ïðîòèâíîì ñëó÷àåñëåäóåò óêðóïíèòü ðàçáèåíèå (íàïðèìåð, îáúåäèíèòü äâà ñîñåäíèõ èíòåðâàëà â îäèí).Ïðèìåð (äàííûå âçÿòû èç êíèãè: Êðàìåð Ã. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ñòàòèñòèêè.Ì., Ìèð, 1975).  Øâåöèè â 1935 ãîäó ðîäèëèñü 88273 ÷åëîâåêà.
Èçâåñòíû èõ äíèðîæäåíèÿ. Íóæíî ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî äåíü ðîæäåíèÿ ïðîèçâîëüíî âçÿòîãî÷åëîâåêà ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè ìîæåò ïðèõîäèòüñÿ íà ëþáîé äåíü ãîäà.Ïåðåíóìåðóåì îò 1 äî 365 âñå äíè 1935-ãî ãîäà è ïóñòü Xi íîìåð äíÿ ðîæäåíèÿi-ãî ÷åëîâåêà â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòîé øêàëîé. Ìû èìååì âûáîðêó X1 , . . .
, Xn , ãäån = 88 273, è òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ îñíîâíîé ãèïîòåçîé H1P1 (X1 = k) =1,365k = 1, . . . , 365.×òîáû ïðèìåíèòü êðèòåðèé χ2 , âîñïîëüçóåìñÿ åñòåñòâåííûì ðàçáèåíèåì ãîäà ïî ìåñÿöàì (k = 12):∆1 = [1, 31] (ÿíâàðü), ∆2 = [32, 59] (ôåâðàëü), . . . .81Äàííûå ïî ìåñÿöàì ïðèâåäåíû â òàáëèöå.iνipisi17280313652695728365378836.2912.2719.8547884578926760977585891011127393 7203 6903 6552 713254.4820.7917.241.031.45 0.38 47.09 68.18 17.79...Çäåñü îáîçíà÷åíî si =(νi − npi )2.
Ïîëó÷àåìnpiΨn =kXsi = 266.84.i=1Åñëè âçÿòü ε = 0.05, òî èç òàáëèö íàõîäèì χ211 (19.7) = 0.95, ò. å. Ψn > q = 19.7 ñáîëüøèì çàïàñîì. Ãèïîòåçó î ðàâíûõ âåðîÿòíîñòÿõ ñëåäóåò îòâåðãíóòü. Êñòàòè, òîòæå âûâîä ñëåäóåò è äëÿ ìåíüøèõ çíà÷åíèé ε, òàê êàê èç òåõ æå òàáëèö ñëåäóåò, êïðèìåðó, ÷òî χ211 (45) = 0.99999....8.4.Ïîñòðîåíèå êðèòåðèÿ ñ ïîìîùüþ äîâåðèòåëüíîãîèíòåðâàëàÏðåäïîëîæèì, ÷òî X ⊂= Fθ , θ ∈ R íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð.
Íàøà çàäà÷à ñîñòîèòâ ïðîâåðêå îñíîâíîé ãèïîòåçû H1 : θ = θ1 ïðîòèâ H2 : θ 6= θ1 .Åñëè ìû èìååì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ θ óðîâíÿ 1 − ε (òî÷íûé èëè àñèìïòîòè÷åñêèé), òî ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî ïîñòðîèòü êðèòåðèé ñîãëàñèÿ (òàêæå òî÷íûéèëè àñèìïòîòè÷åñêèé) óðîâíÿ 1 − ε. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ θPθ (A(X1 , . . . , Xn ) < θ < B(X1 , . . . , Xn )) ≥ 1 − ε,òî è ïðè θ = θ1 äîëæíî áûòüPθ1 (A(X1 , . .
. , Xn ) < θ1 < B(X1 , . . . , Xn )) ≥ 1 − ε.Ïîýòîìó ìû îòâåðãàåì H1 , åñëè θ1 ∈/ (A(X1 , . . . , Xn ), B(X1 , . . . , Xn )), ïîñêîëüêó òàêîåñîáûòèå èìååò ìàëóþ âåðîÿòíîñòü (íå áîëüøå ε) ïðè ñïðàâåäëèâîñòè H1 . Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî âûãëÿäèò òàê:K = {(X1 , . .
. , Xn ) : θ1 ∈/ (A(X1 , . . . , Xn ), B(X1 , . . . , Xn ))}.8.5.Ïðîâåðêà ãèïîòåç â ñëó÷àå äâóõ âûáîðîê ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïðîâåäåíû äâå ñåðèè íåçàâèñèìûõèñïûòàíèé, â ðåçóëüòàòå êîòîðûõ èìååì äâå íåçàâèñèìûå âûáîðêèX = (X1 , . . . , Xn ) ⊂=FèY = (Y1 , . . . , Ym ) ⊂= G.82×àùå âñåãî ïðîâåðÿåòñÿ îñíîâíàÿ ãèïîòåçà î ñîâïàäåíèè ðàñïðåäåëåíèé F = G. ýòîì ñëó÷àå êðèòåðèè íàçûâàþòñÿ êðèòåðèÿìè îäíîðîäíîñòè.  äðóãèõ ñèòóàöèÿõ ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà î ñîâïàäåíèè òîëüêî íåêîòîðûõ ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèéF è G. Ñ òàêèõ çàäà÷ ìû è íà÷íåì.Çàìåòèì ïðåäâàðèòåëüíî, ÷òî òåïåðü ìû èìååì n+m íàáëþäåíèé, ñëåäîâàòåëüíî,âûáîðî÷íûì ïðîñòðàíñòâîì áóäåò Rn+m è êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî K áóäåò n + mìåðíûì.Èòàê, ïóñòü ñíà÷àëàX = (X1 , .
. . , Xn ) ⊂= Φα1 , σ12 ,Y = (Y1 , . . . , Ym ) ⊂= Φα2 , σ22 .Âñå ÷åòûðå ïàðàìåòðà íåèçâåñòíû.1. Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î ñîâïàäåíèè äèñïåðñèé. Çäåñü ìû ïðîâåðÿåì îñíîâ-íóþ ãèïîòåçó H1 : σ12 = σ22 ïðîòèâ H2 : σ12 6= σ22 . Çàðàíåå âûáåðåì ìàëîå ÷èñëî ε > 0,è ïóñòünn1X1X2X=Xi , SX=(Xi − X)2 ,n i=1n i=1m1 XY =Yi ,m i=1mSY21 X=(Yi − Y )2 .m i=1Ïî òåîðåìå î ñâîéñòâàõ âûáîðîê èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ2nSX⊂= χ2n−1 ,σ12mSY2⊂= χ2m−1 ,σ22ïðè÷åì ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íåçàâèñèìû, ïîñêîëüêó ïîñòðîåíû ïî íåçàâèñèìûìâûáîðêàì. Èç íèõ ìîæíî ïîñòðîèòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, èìåþùóþ ðàñïðåäåëåíèåÔèøåðà:221 mSY2n(m − 1)σ22 SX1 nSX⊂= Fn−1, m−1 .:=n − 1 σ12m − 1 σ22m(n − 1)σ12 SY2Åñëè âåðíà ãèïîòåçà H1 , ò. å.
σ12 = σ22 , òîη=2n(m − 1)SX⊂= Fn−1, m−1 .m(n − 1)SY2Ñ ïîìîùüþ òàáëèö ðàñïðåäåëåíèÿ Fn−1, m−1 ìîæíî íàéòè ÷èñëà q1 è q2 òàêèå, ÷òîFn−1, m−1 (q1 ) = ε/2, Fn−1, m−1 (q2 ) = 1 − ε/2. ÒîãäàP1 (q1 < η < q2 ) = Fn−1, m−1 (q2 ) − Fn−1, m−1 (q1 ) = 1 − ε.Ïîýòîìó ëîãè÷íî îòâåðãàòü H1 , åñëè η ∈/ (q1 , q2 ); âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ ðàâíà âòî÷íîñòè ε, åñëè âåðíà H1 . ÇäåñüK = {(X1 , . . .
, Xn , Y1 , . . . , Ym ) : η ∈/ (q1 , q2 )}.2. Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î ñîâïàäåíèè ñðåäíèõ. Ìû áóäåì ýòî äåëàòü â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî äèñïåðñèè ñîâïàäàþò: σ12 = σ22 = σ 2 ; σ 2 ïî-ïðåæíåìó íåèçâåñòíî.Ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà H1 : α1 = α2 ïðîòèâ H2 : α1 6= α2 .Çäåñü áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà.  ñèëó òîãî ÷òî X è Yíåçàâèñèìû èX⊂= Φα1 , σ2 /n , Y ⊂= Φα2 , σ2 /m ,83èìååìX −Y ⊂= Φα1 −α2 , σ2 (1/n+1/m)è ïîñëå ñòàíäàðòèçàöèèX − Y − (α1 − α2 )v= Φ0,1 .! ⊂uutσ 2 1 + 1n mÄàëåå, ïî ñâîéñòâó ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò2nSXmSY2+⊂= χ2n+m−2 ;σ2σ2ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íå çàâèñèò îò X − Y .
Òàêèì îáðàçîì,s2X − Y − (α1 − α2 )1nSX+ mSY2r:⊂= Tn+m−2 .n+m−2σ211σ+n mÅñëè âåðíà ãèïîòåçà H1 , òî α1 − α2 = 0 èψ=rX −Ys⊂= Tn+m−2 .2211nSX + mSY+n mn+m−2Èç òàáëèö ðàñïðåäåëåíèÿ Tn+m−2 íàõîäèì ÷èñëî q òàêîå, ÷òî Tn+m−2 (−q) = ε/2. ÒîãäàP1 (−q < ψ < q) = Tn+m−2 (q) − Tn+m−2 (−q) = 1 − ε.Ñëåäîâàòåëüíî, âûáðàâK = {(X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym ) : |ψ| ≥ q},ìû áóäåì èìåòü β1 = P1 ((X1 , . .
. , Xn , Y1 , . . . , Ym ) ∈ K) = ε.3. Êðèòåðèé ÊîëìîãîðîâàÑìèðíîâà îäíîðîäíîñòè äâóõ âûáîðîê. ÏóñòüX = (X1 , . . . , Xn ) ⊂= F,Y = (Y1 , . . . , Ym ) ⊂= G,ãäå F è G íåïðåðûâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà H1 : F = Gïðîòèâ H2 : F 6= G. Ìû ïîñòðîèì àñèìïòîòè÷åñêèé êðèòåðèé óðîâíÿ 1 − ε.Ïóñòü Fn∗ è G∗m ýìïèðè÷åñêèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîñòðîåííûå ïî âûáîðêàì X è Y ñîîòâåòñòâåííî. ÂâåäåìDn, m = sup |Fn∗ (y) − G∗m (y)|.yÅñëè âåðíà H1 , òî ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìîâ âûáîðîê ýìïèðè÷åñêèå ôóíêöèè ðàñPïðåäåëåíèÿ ñõîäÿòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê îáùåìó ïðåäåëó, ò. å. Dn, m → 0. Ñëåäóþùàÿòåîðåìà ïîêàçûâàåò, ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ýòî ïðîèñõîäèò (ïðèâîäèòñÿ áåç äîêàçàòåëüñòâà).84Òåîðåìà ÊîëìîãîðîâàÑìèðíîâà. Ïóñòü âåðíà ãèïîòåçà H1 è îáùàÿ ôóíê-öèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðîê íåïðåðûâíà. Òîãäà äëÿ ëþáîãî y > 0 ïðè n → ∞, m → ∞rP1nmDn, m < yn+m→ K(y) =∞X(−1)i e−2i2 y2.i=−∞Ïóñòü q òàêîâî, ÷òî K(q) = 1 − ε.
ÏîëîæèìrnmDn, m ≥ q ,K = (X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym ) :n+mò. å. ìû îòâåðãàåì ãèïîòåçó îá îäíîðîäíîñòè, åñëè ðàñõîæäåíèå ìåæäó äâóìÿ ýìïèðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ äîñòàòî÷íî âåëèêî. Òîãäà ïðè áîëüøèõ nrnmβ1 = P1Dn, m ≥ q ' 1 − K(q) = ε.n+m8.6.Äèñïåðñèîííûé àíàëèç: îäíîôàêòîðíàÿ ìîäåëüÄèñïåðñèîííûé àíàëèç îáúåäèíÿåò çíà÷èòåëüíîå ÷èñëî çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîéñòàòèñòèêè, â êîòîðûõ àíàëèçèðóåòñÿ âëèÿíèå òåõ èëè èíûõ ôàêòîðîâ íà êîíå÷íûé ðåçóëüòàò. Ìû ðàññìîòðèì çäåñü ïðîñòåéøóþ ìîäåëü, â êîòîðîé ïðîâåðÿåòñÿãèïîòåçà î âëèÿíèè îäíîãî ôàêòîðà.Ïóñòü èìååòñÿ k íåçàâèñèìûõ âûáîðîê(X11 , X12 , .
. . , X1n1 ) ⊂= Φα1 , σ2 ,(X21 , X22 , . . . , X2n2 ) ⊂= Φα2 , σ2 ,... ... ... ... ...(Xk1 , Xk2 , . . . , Xknk ) ⊂= Φαk , σ2 .Âñå ïàðàìåòðû α1 , . . . , αk , σ 2 íåèçâåñòíû. Ïðîâåðÿþòñÿ ãèïîòåçûH1 : α1 = α2 = . . . = αk ,H2 : ñóùåñòâóþò èíäåêñû i 6= j òàêèå, ÷òî αi 6= αj .Òàêàÿ çàäà÷à ìîæåò âîçíèêíóòü, ê ïðèìåðó, â ñëåäóþùåé ñèòóàöèè. Ïóñòü íàk ñòàíêàõ ïðîèçâîäèòñÿ èçãîòîâëåíèå (èëè îáðàáîòêà) îäèíàêîâûõ äåòàëåé. Ó êàæäîé èçãîòîâëåííîé äåòàëè çàìåðÿåòñÿ íåêèé ïàðàìåòð, ñêàæåì äèàìåòð.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
