1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872), страница 12
Текст из файла (страница 12)
. . íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,Sn = X1 + . . . + Xn .Âî ìíîãèõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü âû÷èñëÿòü âåðîÿòíîñòèâèäà P(A ≤ Sn ≤ B) ïðè áîëüøèõ n. Ýòî ïðîèñõîäèò, íàïðèìåð, ïðè ïëàíèðîâàíèèïðîèçâîäñòâà, ïîñêîëüêó îáùàÿ âûðàáîòêà ïðîäóêöèè ïðåäïðèÿòèåì çà ñìåíó ñêëàäûâàåòñÿ èç ñëó÷àéíûõ îáúåìîâ ïðîäóêöèè, ïðîèçâåäåííûõ îòäåëüíûìè ðàáî÷èìè.Âû÷èñëåíèå ðàçëè÷íûõ ñðåäíèõ ïîêàçàòåëåé â ýêîíîìèêå, ñîöèîëîãèè, äåìîãðàôèè,ñòàòèñòèêå òàêæå ñâîäèòñÿ ê ñóììèðîâàíèþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Ìû âèäåëè, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé ñâåðòêè. Îäíàêî åå ïðèìåíåíèå ñîïðÿæåíî ñ íåïðîñòûìè âû÷èñëåíèÿìè, â îñîáåííîñòè åñëè ìû èíòåðåñóåìñÿ ðàñïðåäåëåíèåì ñóììû áîëüøîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ.
Áîëåå ïðîäóêòèâíûìè îêàçàëèñü ìåòîäûïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ óêàçàííûõ âåðîÿòíîñòåé äëÿ ñóìì.Ìû çíàåì, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ ñóììû â èíòåðâàë (èëèîòðåçîê) äîñòàòî÷íî çíàòü åå ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Çíà÷èò, íåîáõîäèìî èñêàòüïðèáëèæåíèÿ äëÿ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñóìì. Îêàçàëîñü, ÷òî â øèðîêèõ óñëîâèÿõ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íåìíîãî ïîäïðàâëåííûõ (à òî÷íåå ñòàíäàðòèçîâàííûõ)ñóìì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñáëèæàþòñÿ ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà, åñëè ÷èñëî ñëàãàåìûõ âîçðàñòàåò.Ýòîò ýôôåêò ìîæíî íàáëþäàòü íà ïðèìåðàõ. Ïóñòü âñå Xi íåçàâèñèìû è èìåþòðàâíîìåðíîå íà [0,1] ðàñïðåäåëåíèå. Âû÷èñëèì ñ ïîìîùüþ ñâåðòîê ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 + X2 , X1 + X2 + X3 (ýòî íåòðóäíî) è óâèäèì,÷òî èõ ãðàôèêè î÷åíü áûñòðî íà÷èíàþò íàïîìèíàòü ïëîòíîñòü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:54f (t)f6 X16 X1 +X2(t)@@@0@@t -10@12t-fX1 +X2 +X3 (t)6t012-3Ïîñëåäíèé ãðàôèê ïîëó÷àåòñÿ ñêëåèâàíèåì òðåõ êâàäðàòè÷åñêèõ ïàðàáîë.
ÄëÿfX1 +X2 +X3 +X4 (t) ãðàôèê áóäåò ñêëåèâàòüñÿ èç êóáè÷åñêèõ ïàðàáîë; óæå äëÿ ñóììûïÿòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íà ãëàç òðóäíî ðàçëè÷èòü ãðàôèê ïîëó÷åííîé ïëîòíîñòèîò ãàóññîâñêîé êðèâîé.Òàêóþ æå çàêîíîìåðíîñòü ìû ìîæåì íàáëþäàòü, åñëè ðèñîâàòü ãðàôèêè ïëîòíîñòè ñóìì â òîì ñëó÷àå, êîãäà âñå Xi ⊂= Eα . Òîãäà, êàê ìû âèäåëè, Sn ⊂= Γα,n ,è ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n êðèâàÿ ïëîòíîñòè ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ, ðàñòÿãèâàÿñüâïðàâî, âñå áîëüøå áóäåò íàïîìèíàòü ïëîòíîñòü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òîëüêî ñèëüíî âûòÿíóòóþ è ñìåùåííóþ âïðàâî. ×òîáû â ïðåäåëå ïîëó÷àëàñü ïëîòíîñòüñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà, ñóììû íàäî ïîäïðàâëÿòü ñ ïîìîùüþ îïåðàöèèñòàíäàðòèçàöèè.Ýòè íàáëþäåíèÿ èëëþñòðèðóþò âàæíóþ çàêîíîìåðíîñòü, î êîòîðîé ïîéäåò ðå÷üíèæå.Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà (ÖÏÒ). Ïóñòü X1 , X2 .
. . íåçàâèñèìûåîäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî EX12 < ∞. Îáîçíà÷èì Sn = X1 + . . . + Xn , a = EX1 , σ 2 = DX1 , è ïóñòü σ 2 > 0. Òîãäà äëÿ ëþáîãî yPSn − na√<yσ n1= F Sn√−na (y) → Φ0,1 (y) = √σ n2πZy2 /2e−tdt−∞ïðè n → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðèâîäèòüñÿ íå áóäåò. Çàòî ïîäðîáíî îáñóäèì ýòîò ðåçóëüòàò.Çàìå÷àíèÿ√√√1. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ESn = na, DSn = nσ 2 = σ n, ò. å.
ê ñëó÷àéíîéâåëè÷èíå Sn â òåîðåìå ïðèìåíåíà îïåðàöèÿ ñòàíäàðòèçàöèè;Sn − naSn − na√√E= 0, D= 1.σ nσ n2. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñõîäèìîñòü â ÖÏÒ ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîé ïî âñåì y , ò. å. S−nan√sup P< y − Φ0,1 (y) → 0σ ny55ïðè n → ∞. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ìû íå ïðèâîäèì.3. Ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ÖÏÒ â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå: äëÿ ëþáûõ A ≤ BSn − na√≤BP A≤σ n1→√2πZB2 /2e−tdt.AÈìåííî òàêàÿ ôîðìà ÷àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷. Äåëàåòñÿ ýòîñëåäóþùèìîáðàçîì.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì íåîáõîäèìî íàéòè âåðîÿòíîñòüP(C ≤ Sn ≤ D) ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n. Ïåðâîå, ÷òî ìû äîëæíû ñäåëàòü, ýòîïîäîãíàòü íàøå âûðàæåíèå ïîä ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû:C − naSn − naD − na√√√P(C ≤ Sn ≤ D) = P,≤≤σ nσ nσ nïîñëå ÷åãî îáúÿâëÿåì ýòó âåðîÿòíîñòü ïî÷òè ðàâíîé1√2πZB2 /2e−tdt = Φ0,1 (B) − Φ0,1 (A),AãäåA=C − na√ ,σ nB=D − na√ .σ n×èñëåííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Φ0,1 (y) îáû÷íî íàõîäÿòñÿ èç òàáëèö.4. Êîëü ñêîðî ìû çàìåíÿåì äîïðåäåëüíîå âûðàæåíèå â ÖÏÒ ïðåäåëüíûì, âîçíèêàåò âîïðîñ î âåëè÷èíå ïîãðåøíîñòè, êîòîðóþ ìû äîïóñêàåì ïðè ýòîì. Ýòî âîïðîñ îñêîðîñòè ñõîäèìîñòè â ÖÏÒ.
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé ôàêò.Íåðàâåíñòâî ÁåððèÝññååíà. Ïóñòü E|X1 |3 < ∞, òîãäà Sn − naµ√sup P< y − Φ0,1 (y) ≤ 3 √ ,σ nσ nyãäå µ = E|X1 − EX1 |3 .5. Óñëîâèå EX12 < ∞ çäåñü ñóùåñòâåííî. À âîò òðåáîâàíèå íåçàâèñèìîñòè ìîæíîîñëàáèòü, äîïóñêàÿ íåáîëüøóþ çàâèñèìîñòü. Óòâåðæäåíèå ÖÏÒ ñîõðàíèòñÿ â ñèëåïðè ýòîì. Òî÷íî òàê æå ìîæíî äîïóñòèòü, ÷òî ñëàãàåìûå ìîãóò áûòü íåîäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, õîòÿ âñå ðàâíî îïðåäåëåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà èõ ðàñïðåäåëåíèÿíóæíî íàêëàäûâàòü: íåëüçÿ äîïóñêàòü, ÷òîáû îäíî èëè íåñêîëüêî ñëàãàåìûõ ñèëüíîâûäåëÿëèñü íà ôîíå äðóãèõ.
Ðàçóìååòñÿ, òî÷íûõ ôîðìóëèðîâîê ìû çäåñü íå äàåì.6. Ïóñòü Sn ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè, p âåðîÿòíîñòü óñïåõà â îäíîìèñïûòàíèè. Òîãäà ïðè n → ∞Sn − npP A≤ p≤Bnp (1 − p)!1→√2πZB2 /2e−tdt.AÝòî óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ÖÏÒ, ïîñêîëüêó Sn çäåñü ðàâíî ñóììå íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàñïðåäåëåííûõ ïî çàêîíó Áåðíóëëè; a = p,σ 2 = p (1 − p). Èñòîðè÷åñêè äàííîå óòâåðæäåíèå ïîÿâèëîñü ðàíüøå è ïîëó÷èëî íàçâàíèå òåîðåìû ÌóàâðàËàïëàñà.56Ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ÖÏÒ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî n = 1000 ðàç áðîñàåòñÿ èãðàëüíàÿêîñòü.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Sn ñóììó âûïàâøèõ î÷êîâ. ßñíî, ÷òîP(1000 ≤ Sn ≤ 6000) = 1.Ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà Sn ëåæèò âíóòðè èíòåðâàëà äëèíîé 5000. Âîïðîñ: íàìíîãî ëè óìåíüøèòñÿ ðàçìåð èíòåðâàëà, åñëè ìû çàõîòèì óìåíüøèòü âåðîÿòíîñòü äî0.95? Îêàçûâàåòñÿ, áîëåå ÷åì â 20 ðàç. Ýòîò íåîæèäàííûé ðåçóëüòàò íåâîçìîæíîïðåäâèäåòü, à âîò ïðèìåíåíèå ÖÏÒ ñðàçó æå ïðèâîäèò íàñ ê íåìó.Äåéñòâèòåëüíî, Sn åñòü ñóììà íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò 1 äî 6 ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè.
Íåòðóäíî âû÷èñëèòü:a = EX1 = 3.5, pEX12 = 91/6, σ 2 = DX1 = 35/12.  ñèëó ÖÏÒ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (Sn − 3500) / 1000 · 35/12 èìååò ïî÷òè ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå(÷èñëî n âåëèêî!), ïîýòîìó!Z1.961Sn − 35002< 1.96 ' √P −1.96 < pe−t /2 dt = 0.95.2π1000 · 35/12−1.96Ïîñëåäíåå ìû çàðàíåå íàõîäèì èç òàáëèö. Òàêèì îáðàçîì,ppP(|Sn − 3500)| < 1.96 1000 · 35/12) ' 0.95, 1.96 1000 · 35/12 = 105.85 . . . .4.4.Ïðèáëèæåíèå Ïóàññîíà â ñõåìå ÁåðíóëëèÏóñòü Sn ÷èñëî óñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè. Ìû çíàåì ôîðìóëû òî÷íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Sn :BXCnk pk (1 − p)n−k .P(A ≤ Sn ≤ B) =k=AÎäíàêî íà ïðàêòèêå âîçíèêàþò ñèòóàöèè, êîãäà ïðèìåíåíèå òî÷íûõ ôîðìóë çàòðóäíèòåëüíî èç-çà òîãî, ÷òî n î÷åíü âåëèêî.
 ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè íîðìàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé ÌóàâðàËàïëàñà.  òîæå âðåìÿ ïîãðåøíîñòü ïðè èñïîëüçîâàíèè íîðìàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ ìîæåò áûòüíåóäîâëåòâîðèòåëüíîé íåñìîòðÿ íà òî ÷òî n î÷åíü áîëüøîå ÷èñëî. Òàê áûâàåò, êîãäà âåðîÿòíîñòü óñïåõà p î÷åíü ìàëà, ò. å. óñïåõ ïîÿâëÿåòñÿ â èñïûòàíèÿõ Áåðíóëëèêðàéíå ðåäêî.  ýòîì ñëó÷àå ëó÷øåå ïðèáëèæåíèå äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Sn îáåñïå÷èâàåò òåîðåìà Ïóàññîíà.Òåîðåìà Ïóàññîíà. Ïóñòü â ñõåìå Áåðíóëëè n → ∞ è ïðè ýòîì p = p(n) → 0òàê, ÷òî np(n) → λ, ãäå λ íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.
Òîãäà äëÿ ëþáîãîk = 0, 1, 2, . . .λkP(Sn = k) = Cnk pk (1 − p)n−k → e−λ .k!Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì λn = np(n), òîãäà p = λn /n èCnkkn−kp (1 − p)k n−kλnλn1−=nnn −kn n−1n − k + 1 λknλnλn=...1−1−.n nnk!nnn(n − 1) . . . (n − k + 1)=k!57Âûÿñíèì, ê ÷åìó ñòðåìÿòñÿ îòäåëüíûå âûðàæåíèÿ èç ïðàâîé ÷àñòè.
n n−1n−k+112k−1...= 1−1−... 1 −→ 1,n nnnnnïîñêîëüêó êàæäûé ìíîæèòåëü ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå, à èõ ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî. Ïîóñëîâèþ λkn → λk . Äàëåå, âîñïîëüçîâàâøèñü ðàçëîæåíèåì â îêðåñòíîñòè íóëÿln(1 − x) = −x + o(x), ïîëó÷èìn λnλnλnλn= n ln 1 −=n − +o= −λn + o(1) → −λ,ln 1 −nnnnò. å.nλn1−→ e−λ .nÈ íàêîíåö,−kλn1−→ 1,nâ ñèëó òîãî ÷òî λn /n → 0. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ýòà òåîðåìà èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïîñêîëüêóïðè n → ∞ è np → λλk −λeP(Sn = k) →k!è îäíîâðåìåííîλk −λ(np)k −npe→e ,k!k!òî(np)k −npP(Sn = k) 'e .k!Ýòèì ïðèáëèæåíèåì îáû÷íî è ïîëüçóþòñÿ. Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî òåîðåìà äîêàçàíàïðè óñëîâèè, ÷òî ÷èñëî k ôèêñèðîâàíî, ñóììà ëåâûõ ÷àñòåé ïî ëþáîìó ìíîæåñòâóèíäåêñîâ ìîæåò áûòü ïðèáëèæåíà ñóììîé ïðàâûõ ÷àñòåé ïî òîìó æå ìíîæåñòâóèíäåêñîâ. Òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùåé îöåíêîé (äàåòñÿ áåçäîêàçàòåëüñòâà).Òåîðåìà.
Äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà B ⊂ {0, 1, 2, . . .}XX (np)k−np P(Sn = k) −e ≤ min(p, np2 ).k!k∈Bk∈BÏðèìåð. Èìååòñÿ ïðîèçâîäñòâî ñïè÷åê. Êàæäàÿ ñïè÷êà íåçàâèñèìî îò äðóãèõ ñâåðîÿòíîñòüþ 0.015 ÿâëÿåòñÿ áðàêîâàííîé è ïðè óïîòðåáëåíèè íå âîçãîðàåòñÿ.  ñîîòâåòñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè ñòàíäàðòà ñïè÷êè äîëæíû ðàñôàñîâûâàòüñÿ â êîðîáêè ïî100 øòóê â êàæäóþ. ßñíî, ÷òî ïðè ýòîì â êàæäîé êîðîáêå ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþãîäíûõ ñïè÷åê îêàæåòñÿ ìåíüøå 100. ×òîáû èçáåæàòü ïðåòåíçèé ñî ñòîðîíû ïîòðåáèòåëåé, ðóêîâîäñòâî ðåøàåò êëàñòü â êàæäóþ êîðîáêó äîáàâî÷íî íåêîòîðîå ÷èñëîx ñïè÷åê òàê, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå 0.95 ãîäíûõ ñïè÷åê òàì îêàçàëîñü íåìåíåå 100.Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî x ñïè÷åê íóæíî äëÿ ýòîãî ïîëîæèòü â êîðîáêó?Ìû èìååì çäåñü ñõåìó Áåðíóëëè ñ ÷èñëîì èñïûòàíèé n = 100 + x è âåðîÿòíîñòüþóñïåõà 0.015.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
