1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Âçÿâ ïðîèçâîëüíûå ÷èñëà α è σ > 0, îáðàçóåì ñëó÷àéíóþâåëè÷èíó X = σY + α, êîòîðàÿ óæå áóäåò ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó Φα,σ2 ñ ïëîòíîñòüþ122ϕα,σ2 (t) = √ e−(t−α) /2σ ,σ 2π−∞ < t < ∞.Òåì ñàìûì ìû ïîëó÷èëè îáùèé âèä ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïîìîùüþ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàä ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé Y , èìåþùåé ñòàíäàðòíîåíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Òàê æå ïîñòóïèì è â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå. Ïóñòü Y ñëó÷àéíûé âåêòîð ñ êîîðäèíàòàìè Y1 , . .
. , Yn , èìåþùèé ìíîãîìåðíîå ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåñ ïëîòíîñòüþ)( Ynn111X 21 TfY (t) =exp −t =exp − t t =ϕ0,1 (ti ).(2π)n/22 i=1 i(2π)n/22i=1Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî êîîðäèíàòû âåêòîðà Y1 , . . . , Yn íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû â ñîîòâåòñòâèè ñî ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì çàêîíîì. Çäåñü C(Y ) = E åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, t = (t1 , . . . , tn )T âåêòîð-ñòîëáåö.49Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó A ðàçìåðíîñòè n×n, ñîñòîÿùóþèç êîíñòàíò, è ïîñòîÿííûé âåêòîð α = (α1 , .
. . , αn )T è îáðàçóåì íîâûé ñëó÷àéíûéâåêòîðX = AY + α.Ðàñïðåäåëåíèå ïîëó÷èâøåãîñÿ âåêòîðà X è áóäåì íàçûâàòü ìíîãîìåðíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì.Òåîðåìà. Ïëîòíîñòü ìíîãîìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé√det QTexp−(t−α)Q(t−α)/2,fX (t) =(2π)n/2ãäå t = (t1 , . . . , tn )T , Q = (C(X))−1 = (AC(Y )AT )−1 = (AAT )−1 .√Çàìåòèì, ÷òî ïðè n = 1 è A = σ ïîëó÷àåì Q = 1/σ 2 , det Q = 1/σ .Ïðèâåäåì òîëüêî ñõåìó äîêàçàòåëüñòâà.Êàêîé áû ïðÿìîóãîëüíèê B ⊂ Rn íè âçÿòü, ïî îñíîâíîìó ñâîéñòâó ïëîòíîñòåéäîëæíî áûòüZfX (t)dt,P(X ∈ B) =Bçäåñü äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷åíî dt = dt1 dt2 .
. . dtn .  òî æå âðåìÿZ−1P(AY + α ∈ B) = P(Y ∈ A (B − α)) =fY (u)du,A−1 (B−α))ãäå ïîä ìíîæåñòâîì A−1 (B − α) ïîíèìàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü âñåõ òî÷åê u : Au + α ∈ B .Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðåîáðàçîâàòü ýòîò èíòåãðàë ê íóæíîìó íàì èíòåãðàëó ïî ìíîæåñòâóB (è òîãäà ñòîÿùàÿ ïîä èíòåãðàëîì ôóíêöèÿ è áóäåò èñêîìîé ïëîòíîñòüþ), ñäåëàåì−1çàìåíó ïåðåìåííûõ t = Au + α.
 ðåçóëüòàòå ýòîé çàìåíû ìíîæåñòâî A (B − α)1 T−1ïåðåéäåò â B , u â A (t − α), exp − 2 u u ïåðåéäåò â11T−1 T −1TT −1exp − (t − α) (A ) A (t − α) = exp − (t − α) (AA ) (t − α) .22√Ïðè ïåðåõîäå îò du ê dt ïîÿâèòñÿ ÿêîáèàí det Q.Òàêèì îáðàçîì, ïîä èíòåãðàëîì ïîÿâèòñÿ ôóíêöèÿ, ïðèñóòñòâóþùàÿ â óòâåðæäåíèè òåîðåìû îíà è áóäåò ïëîòíîñòüþ âåêòîðà X .Äëÿ íàñ áîëüøóþ âàæíîñòü ïðåäñòàâëÿþò ñëåäóþùèå äâà ñëåäñòâèÿ èç ýòîé òåîðåìû.Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð X = (X1 , X2 , .
. . , Xn )T èìååò ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå è âñå åãî êîìïîíåíòû ïîïàðíî íåêîððåëèðîâàííû.Òîãäà îíè íåçàâèñèìû.Äîêàçàòåëüñòâî. Âñëåäñòâèå íåêîððåëèðîâàííîñòè êîìïîíåíò çàêëþ÷àåì, ÷òîìàòðèöà êîâàðèàöèé C(X) èìååò äèàãîíàëüíûé âèä: íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ñòîÿòäèñïåðñèè DX1 , . . . , DXn , à âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ. Îáîçíà÷èì äëÿêðàòêîñòè σi2 = DXi , i = 1, . .
. , n. Òîãäà ìàòðèöà Q = (C(X))−1 òàêæå áóäåò äèàãîíàëüíîé, ó íåå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè áóäóò ñòîÿòü ÷èñëà σ1−2 , . . . , σn−2 . Ïî ýòîéïðè÷èíå ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà X ïðèîáðåòàåò âèä( n)nX (ti − αi )2Y1exp −=ϕαi σi2 (ti ),fX (t) =2σ1 . . . σn (2π)n/22σii=1i=150÷òî ýêâèâàëåíòíî íåçàâèñèìîñòè êîìïîíåíò âåêòîðà X .Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð X = (X1 , X2 , . . . , Xn )T èìååò ìíîãîìåðíîå ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (íàïîìíèì: ýòî ñîîòâåòñòâóåòòîìó, ÷òî âñå êîìïîíåíòû âåêòîðà íåçàâèñèìû è èìåþò ðàñïðåäåëåíèå Φ0,1 ).
Îáðàçóåì íîâûé âåêòîð Y = AX , ãäå A îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Òîãäà âåêòîð Yòàêæå áóäåò èìåòü ìíîãîìåðíîå ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Äîêàçàòåëüñòâî. Îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, ïî îïðåäåëåíèþ, îáëàäàåò ñâîéñòâîìTA = A−1 . Ïî ýòîé ïðè÷èíå C(Y ) = AC(X)AT = AAT = E è, ñëåäîâàòåëüíî, Yn11 Tϕ0,1 (ti ) = fX (t),fY (t) =exp − t t =(2π)n/22i=1÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.4.4.1.Ïðåäåëüíûå òåîðåìûÑõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè äàëüíåéøåì íàì ïðåäñòîèò èçó÷èòü çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë òåîðåìó î ñõîäèìîñòè íåêîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè, çàäàííûìè íà ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, à ñõîäèìîñòüïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé ïîíÿòèå ñëîæíîå è åå ìîæíî îïðåäåëÿòü ïî-ðàçíîìó.Ìû îãðàíè÷èìñÿ ââåäåíèåì ïîíÿòèÿ ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè.Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X, X1 , X2 , .
. . çàäàíû íà îäíîì è òîì æå âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå.Îïðåäåëåíèå. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Xn } ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñëó÷àéíîéâåëè÷èíå X , åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0P(|Xn − X| ≥ ε) → 0ïðè n → ∞.PÎáîçíà÷àòü áóäåì Xn → X .Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå: äëÿ ëþáîãî ε > 0P(|Xn − X| < ε) → 1.Ïîÿñíèì ñìûñë íàïèñàííîãî.
Ïðè ñáëèæåíèè Xn è X ðàñõîæäåíèå ìåæäó íèìèäîëæíî â êàêîì-òî ñìûñëå óìåíüøàòüñÿ. Òî, ÷òî íàïèñàíî â îïðåäåëåíèè, îçíà÷àåò:áîëüøèå ðàñõîæäåíèÿ (ò. å. êîãäà |Xn −X| ≥ ε) âîçìîæíû, íî âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿòàêèõ ðàñõîæäåíèé ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.Ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, ñõîäÿùåéñÿ ïî âåðîÿòíîñòè. Ïóñòü, êàê è ðàíåå,Ω = [0, 1].
Äëÿ âñÿêîãî èíòåðâàëà A ⊂ Ω ïîëîæèì P(A) = λ(A), ãäå λ(A) äëèíàèíòåðâàëà. Îïðåäåëèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X(ω) ≡ 0,(1, ω ∈ [0, n1 ],Xn (ω) =0, èíà÷å.511 6Xn (ω)01n1-ωßñíî, ÷òî P(|Xn −X| ≥ ε) = 0 ïðè ε > 1. Åñëè æå ε ≤ 1, òî P(|Xn −X| ≥ ε) = 1/n → 0ïðè n → ∞.Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòèPPP1.
Åñëè Xn → X , Yn → Y , òî Xn + Yn → X + Y .Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîãî ε > 0P(|Xn + Yn − X − Y | ≥ ε) =≤≤≤(1) PP(|(Xn − X) + (Yn − Y )| ≥ ε) ≤P(|Xn − X| + |Yn − Y | ≥ ε) ≤P({|Xn − X| ≥ ε/2} ∪ {|Yn − Y | ≥ ε/2}) ≤P(|Xn − X| ≥ ε/2) + P(|Yn − Y | ≥ ε/2) → 0.(k) P(2) P2. Ïóñòü ïðè n → ∞ Xn → a1 , Xn → a2 , . . ., Xníåïðåðûâíà â òî÷êå a = (a1 , . . . , ak ). Òîãäà→ ak , ôóíêöèÿ g : Rk → RPg(Xn(1) , Xn(2) , . .
. , Xn(k) ) → g(a1 , . . . , ak ).ïðè n → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ íåïðåðûâíîñòè, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ÷èñëî δ = δ(a, ε) òàêîå, ÷òî åñëè |yi − ai | < δ äëÿ âñåõ i, òî|g(y1 , . . . , yk ) − g(a1 , . . . , ak )| < ε.(i)Ââåäåì ñîáûòèÿ Bi = {|Xn − ai | < δ}, i = 1, . . . , k , òîãäàB1 B2 . .
. Bk ⊂ {|g(Xn(1) , . . . , Xn(k) ) − g(a1 , . . . , ak )| < ε},îòêóäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî äëÿ âåðîÿòíîñòåéP(B1 B2 . . . Bk ) ≤ P{|g(Xn(1) , . . . , Xn(k) ) − g(a1 , . . . , ak )| < ε} ≤ 1.Ïî óñëîâèþ P(Bi ) → 1 ïðè n → ∞ äëÿ êàæäîãî i. Ïîêàæåì, ÷òî òàêæåP(B1 B2 . .
. Bk ) → 1. Äëÿ äâóõ ñîáûòèé èìååìP(B1 B2 ) = P(B1 ) + P(B2 ) − P(B1 ∪ B2 ).Êàæäàÿ âåðîÿòíîñòü â ïðàâîé ÷àñòè ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå, ñëåäîâàòåëüíî,P(B1 B2 ) → 1. Ïðèìåíÿÿ èíäóêöèþ, ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå äëÿ ëþáîãî k .Òåì ñàìûì ìû äîêàçàëè, ÷òîP{|g(Xn(1) , . . . , Xn(k) ) − g(a1 , . . . , ak )| < ε} → 1.(1) P(2) P(1)(2) P ÷àñòíîñòè, åñëè Xn → a1 è Xn → a2 , òî Xn Xn → a1 a2 .
Ýòî ñëåäóåò èçäîêàçàííîãî âûøå ñâîéñòâà, åñëè ïðè k = 2 â êà÷åñòâå ôóíêöèè g âçÿòü g(u, v) = uv .52Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ôàêòà ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèì óòâåðæäåíèåì.Âòîðîå íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà. Ïóñòü EX 2 < ∞, òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0P(|X − EX| ≥ ε) ≤DX.ε2Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü ïåðâîå íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà ê ñëó÷àéíîéâåëè÷èíå (X − EX)2 :P(|X − EX| ≥ ε) = P((X − EX)2 ≥ ε2 ) ≤E(X − EX)2.ε2Íåðàâåíñòâî äîêàçàíî.4.2.Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåëÏðåäïîëîæèì, ÷òî ðàç çà ðàçîì ïîâòîðÿåòñÿ îäèí è òîò æå ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò, è êàæäûé ðàç â ðåçóëüòàòå íåãî ìû èçìåðÿåì êàêóþ-òî õàðàêòåðèñòèêó.Ïîëó÷àåì òåì ñàìûì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 , X2 . . . .
Èõ ìîæíî ñ÷èòàòü âçàèìíî íåçàâèñèìûìè, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû íå âëèÿëèäðóã íà äðóãà, à òàêæå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè (ò.å. èìåþùèìè îäíî è òî æåðàñïðåäåëåíèå), åñëè ýêñïåðèìåíòû ïî ñóòè ïîâòîðÿþò äðóã äðóãà. Ïðèìåð òîìó ïîâòîðÿþùèåñÿ èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè. Ïðîèçâîäÿ áåç îãðàíè÷åíèé îäèí ýêñïåðèìåíòçà äðóãèì, ìû ìîæåì îáíàðóæèòü ðÿä çàêîíîìåðíîñòåé â ïîëó÷àþùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Îäíà èç òàêèõ çàêîíîìåðíîñòåé, âîçíèêàþùàÿ ïðèìíîãîêðàòíîì ïîäáðàñûâàíèè ìîíåòû, óæå îáñóæäàëàñü â íà÷àëå êóðñà. Îíà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñëåäóþùåãî áîëåå îáùåãî óòâåðæäåíèÿ, êîòîðîå íîñèò íàçâàíèåçàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë.Òåîðåìà (çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë).
Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , . . .íåçàâèñèìûè îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, ïðè÷åì EX12 < ∞. Îáîçíà÷èì a = EX1 ,PnSn = i=1 Xi . Òîãäà ïðè n → ∞Sn P→ a.nÄîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òîE(Sn /n) =naEX1 + . . . + EXn== a.nnÎáîçíà÷èì σ 2 = DX1 è ïðèìåíèì âòîðîå íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå Sn /n: SnD(Sn /n)nσ 2σ2P − a ≥ ε ≤= 2 2 = 2 →0nε2nεnεïðè n → ∞.Ñëåäñòâèå (òåîðåìà Áåðíóëëè). Ïóñòü Sn ÷èñëî óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõñõåìû Áåðíóëëè, p âåðîÿòíîñòü óñïåõà â îäíîì èñïûòàíèè. ÒîãäàSn P→pnïðè n → ∞.53Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Xi ÷èñëî óñïåõîâ â i-ì èñïûòàíèè. Òîãäà Xi ⊂= Bp èâñå ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íåçàâèñèìû.
Çäåñü Sn = X1 + . . . + Xn , EXi = p è òåìñàìûì âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû.Çàìå÷àíèÿ1. Óñëîâèå EX12 < ∞ â òåîðåìå çàâûøåíî. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë ñïðàâåäëèâ, äàæååñëè ñóùåñòâóåò òîëüêî ïåðâûé ìîìåíò E|X1 | < ∞. Îäíàêî äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìûïðè òàêîì óñëîâèè ïîòðåáîâàëî áû áîëüøèõ óñèëèé.2. ×èñëî a åñòü ñðåäíåå çíà÷åíèå êàæäîé èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Xi , çäåñü óñðåäíåíèå ïðîèçâåäåíî ïî ïðîñòðàíñòâó çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Ïàðàìåòði = 1, . . . , n åñòü íîìåð ýêñïåðèìåíòà, åãî çíà÷åíèÿ ìîæíî âîñïðèíèìàòü êàê öåëî÷èñëåííûå ìîìåíòû âðåìåíè. Òåì ñàìûìX1 + . . . + XnSn=nnåñòü óñðåäíåíèå ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòîâ ïî âðåìåíè.Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë óòâåðæäàåò, ÷òî ñðåäíåå ïî âðåìåíè ñáëèæàåòñÿ ñî ñðåäíèì,âû÷èñëåííûì ïî ïðîñòðàíñòâó çíà÷åíèé.4.3.Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìàÊàê è â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, áóäåì èìåòü äåëî ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþX1 , X2 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
