Главная » Просмотр файлов » 1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae

1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872), страница 10

Файл №843872 1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (Лотов - Лекции по теории вероятностей и математической статистике для ФИТ НГУ) 10 страница1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872) страница 102021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

ÒîãäàZ ∞|t|kkdt < ∞,E|X| = Ck+2−∞ 1 + |t|íî E|X|k+1 = ∞.Åñëè ïðè k > 1 ñóùåñòâóåò EX k , òî ìîæíî ðàññìîòðåòü òàêæå E(X − EX)k . Ýòàâåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì ìîìåíòîì k -ãî ïîðÿäêà. Ìîìåíò k -ãî ïîðÿäêà èöåíòðàëüíûé ìîìåíò k -ãî ïîðÿäêà ñóùåñòâóþò èëè íå ñóùåñòâóþò îäíîâðåìåííî.3.3.ÄèñïåðñèÿÄèñïåðñèÿ ýòî òîæå ÷èñëîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îíà ïîêàçûâàåò, íàñêîëüêî ñèëüíî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îòêëîíÿþòñÿâëåâî è âïðàâî îò ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ. Äèñïåðñèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî äëÿ òåõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ó êîòîðûõ EX 2 < ∞.44Îïðåäåëåíèå. Äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿDX = E(X − EX)2 .Äðóãèìè ñëîâàìè, äèñïåðñèÿ ýòî âòîðîé öåíòðàëüíûé ìîìåíò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

Îíà äåéñòâèòåëüíî ïîêàçûâàåò, íàñêîëüêî âåëèê ðàçáðîñ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû. Âû÷èòàÿ EX èç X , ìû ïîëó÷àåì âñåâîçìîæíûå îòêëîíåíèÿ îò ñðåäíåãî,çàòåì âîçâîäèì ýòè ðàçíîñòè â êâàäðàò, ÷òîáû íå áûëî ñðåäè íèõ îòðèöàòåëüíûõ,à ïîòîì óñðåäíÿåì, áåðÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Òàêèì îáðàçîì, äèñïåðñèÿ åñòüñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îò ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ.Ìîæíî ïðåäëîæèòü àëüòåðíàòèâíóþ ôîðìóëó äëÿ äèñïåðñèè:DX = E(X − EX)2 = E(X 2 − 2XEX + (EX)2 ) == EX 2 − 2EXEX + (EX)2 = EX 2 − (EX)2 .Äëÿ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé äèñïåðñèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëàìDX =∞X(yk − EX)2 P(X = yk ) =k=1∞Xyk2 P(X = yk ) − (EX)2 ,k=1äëÿ ðàñïðåäåëåíèé àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî òèïà èìååìZ ∞Z ∞2DX =(t − EX) fX (t)dt =t2 fX (t)dt − (EX)2 .−∞√−∞DX íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì óêëîíåíèåì.Ñâîéñòâà äèñïåðñèèÇäåñü è âñþäó â äàëüíåéøåì áóêâîé C áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ êîíñòàíòû.1.

DX ≥ 0. Ñâîéñòâî î÷åâèäíî.2. DC = 0. Ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ, ïîñêîëüêó C = EC .3. Åñëè DX = 0, òî P(X = C) = 1 äëÿ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé C . Äåéñòâèòåëüíî,èç ñâîéñòâà 6 ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé âûòåêàåò: ñîîòíîøåíèÿ (X − EX)2 ≥ 0 èE(X − EX)2 = 0 âëåêóò P(X − EX = 0) = 1.4. D(CX) = C 2 DX ; â ÷àñòíîñòè, D(−X) = DX . Ýòî âíîâü ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ: D(CX) = E(CX − ECX)2 = C 2 E(X − EX)2 = C 2 DX .5. D(X + C) = DX .

Ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ: E(X + C − E(X + C))2 = E(X + C −EX − C))2 = DX .6. Åñëè X è Y íåçàâèñèìû, òî D(X ± Y ) = DX + DY .Äîêàçàòåëüñòâî.D(X ± Y ) = E(X ± Y − E(X ± Y ))2 = E((X − EX) ± (Y − EY ))2= E(X − EX)2 + E(Y − EY )2 ± 2E((X − EX)(Y − EY ))= DX + DY ± 2Cov(X, Y ),ãäå îáîçíà÷åíîCov(X, Y ) = E((X − EX)(Y − EY )).Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ êîâàðèàöèåé ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè X è Y .

Åñëè X è Y íåçàâèñèìû, òî X − EX è Y − EY òàêæå íåçàâèñèìû è ïî ñâîéñòâó 4ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé èìååìCov(X, Y ) = E((X − EX)(Y − EY )) = E(X − EX)E(Y − EY ) = 0.45Ïðèìåðû. 1. Ïóñòü X ⊂= Bp . ÒîãäàEX 2 = 1 · p + 0 · (1 − p) = p,EX = p, DX = p − p2 = p(1 − p).2. Åñëè X ⊂= Bn,p , òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî X åñòü ÷èñëî óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõÁåðíóëëè (ðàñïðåäåëåíèå òî æå ñàìîå). Êàê ìû âèäåëè âûøå, â ýòîì ñëó÷àå X ìîæíîïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû X = X1 + . . .

+ Xn , ãäå âñå Xi ðàñïðåäåëåíû ïî çàêîíóÁåðíóëëè. Òåïåðü äîáàâèì, ÷òî îíè íåçàâèñèìû, êîëü ñêîðî ñòðîÿòñÿ ïî íåçàâèñèìûìèñïûòàíèÿì. ÏîýòîìóDX = DX1 + . . . + DXn = np(1 − p).3. Ïóñòü X ⊂= Φα,σ2 . Íàõîæäåíèå DX óïðîñòèòñÿ, åñëè ìû ñâåäåì âñå ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó çàêîíó. Îáîçíà÷èì Y = (X − α)/σ , òîãäà Y ⊂= Φ0,1 è X = σY + α.2 ñèëó ñâîéñòâ äèñïåðñèè DX = σ DY , ïîýòîìó äîñòàòî÷íî íàéòè DY .

Èíòåãðèðóÿïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåìZ ∞Z ∞1122 −t2 /22t edt = √t d(−e−t /2 ) =EY = √2π −∞2π −∞ Z ∞Z ∞∞1−t2 /2−t2 /2−te| +edt =ϕ0,1 (t)dt = 1.= √2π−∞−∞−∞Ïîñêîëüêó EY = 0, òî DY = 1 è DX = σ 2 .Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòðû íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îáëàäàþò âïîëíå êîíêðåòíûì ôèçè÷åñêèì ñîäåðæàíèåì: α ñîâïàäàåò ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, à σ 2 ñ äèñïåðñèåé.3.4.Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèèÊîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòî ÷èñëîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà, êîòîðàÿ ââîäèòñÿ äëÿïàðû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ öåëüþ ïîêàçàòü, íàñêîëüêî îíè çàâèñèìû.Îïðåäåëåíèå. Êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè íàçûâàåòñÿE((X − EX)(Y − EY ))E(XY ) − EXEYCov(X, Y )√√==.ρ(X, Y ) = √DX DYDX DYDX DYÊîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ââîäèòñÿ íå äëÿ âñÿêîé ïàðû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí: íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè âòîðûå ìîìåíòû EX 2 è EY 2 , à òàêæå, ÷òîáû DX > 0,DY > 0.

Ïîñëåäíåå îãðàíè÷åíèå îçíà÷àåò, ÷òî X è Y îòëè÷íû îò êîíñòàíò.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè íåîáõîäèìî çíàòü ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå ïàðû (X, Y ). Åñëè, ê ïðèìåðó, èçâåñòíà ïëîòíîñòü fX,Y (u, v), òî ñìåøàííûéìîìåíò âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåZ∞ Z∞E(XY ) =uv fX,Y (u, v) du dv−∞ −∞(ìû ïðèìåíÿåì çäåñü ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ ìàòîæèäàíèÿ ôóíêöèè g(X, Y ) = X · Y ).Êàê ðàíåå óñòàíîâëåíî, îäíîìåðíûå ïëîòíîñòè ïîëó÷àþòñÿ èç äâóìåðíîé èíòåãðèðîâàíèåì:ZZ∞fX (u) =∞fX,Y (u, v) dv, fY (v) =−∞fX,Y (u, v) du,−∞46äàëåå ìàòîæèäàíèÿ è äèñïåðñèè âû÷èñëÿþòñÿ ïî èçâåñòíûì ôîðìóëàì.Ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè1.

|ρ(X, Y )| ≤ 1.Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûX − EXY − EYX1 = √, Y1 = √.DXDYÇäåñü ê êàæäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ïðèìåíåíà îïåðàöèÿ ñòàíäàðòèçàöèè, êîòîðàÿñîñòîèò â âû÷èòàíèè ìàòîæèäàíèÿ è äåëåíèè íà êîðåíü êâàäðàòíûé èç äèñïåðñèè.Îíà ïðîèçâîäèòñÿ ñ åäèíñòâåííîé öåëüþ: äîáèòüñÿ, ÷òîáû ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåñòàëî íóëåâûì, à äèñïåðñèÿ åäèíè÷íîé. Äåéñòâèòåëüíî,2DX11D(X − EX) == 1.E(X − EX) = 0, DX1 = √EX1 = √DXDXDXÊðîìå òîãî,ρ(X, Y ) = EX1 Y1 = Cov(X1 , Y1 ).Êàê óæå áûëî óñòàíîâëåíî,D(Y1 ± X1 ) = DX1 + DY1 ± 2Cov(X1 , Y1 ) = 2 ± 2ρ(X, Y ) ≥ 0.Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1.2.

|ρ(X, Y )| = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ íåêîòîðûõ êîíñòàíò a 6= 0 è bâûïîëíÿåòñÿ Y = aX + b.Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè Y = aX + b, òîρ(X, Y ) =E((X − EX)(aX + b − E(aX + b)))p=DX D(aX + b)E((X − EX)(aX + b − aEX − b))aE(X − EX)2ap=== ±1|a|DX|a|DX a2 DX)â çàâèñèìîñòè îò çíàêà ÷èñëà a. äðóãóþ ñòîðîíó: ïóñòü, ê ïðèìåðó, ρ(X, Y ) = 1. Âîñïîëüçóåìñÿ îïÿòü ñîîòíîøåíèåìD(Y1 − X1 ) = 2 − 2ρ(X, Y ) = 0.= ñèëó ñâîéñòâ äèñïåðñèè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Y1 − X1 = C ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöàèëè, ÷òî òî æå ñàìîå,√√√DYDY EXX + EY + C DY − √.Y =√DXDXÅñëè ρ(X, Y ) = −1, òî ïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåìD(Y1 + X1 ) = 2 + 2ρ(X, Y ) = 0.3. Åñëè X è Y íåçàâèñèìû, òî ρ(X, Y ) = 0.Ñâîéñòâî î÷åâèäíî.Ê ñîæàëåíèþ, îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íå èìååò ìåñòà.4.

Åñëè ρ(X, Y ) = 0, òî X è Y íå îáÿçàòåëüíî íåçàâèñèìû.Ïðèìåð ýòîìó óæå ïðèâîäèëñÿ: åñëè X ⊂= U−1,1 è Y = X 2 , òî Cov(X, Y ) =ρ(X, Y ) = 0, õîòÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû çàâèñèìû.Ïî ýòîé ïðè÷èíå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íàçûâàþòñÿ íåêîððåëèðîâàííûìè,åñëè ρ(X, Y ) = 0. Íåçàâèñèìîñòü âëå÷åò íåêîððåëèðîâàííîñòü, íî íå íàîáîðîò.473.5.Ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé: ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåè ìàòðèöà êîâàðèàöèé ýòîì ðàçäåëå ìû îáîáùèì ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè íàìíîãîìåðíûé ñëó÷àé.ÏóñòüX11 X12 . .

. X1n X21 X22 . . . X2n X= ...... ... ... Xm1 Xm2 . . . Xmn ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîëîæèì, ïî îïðåäåëåíèþ,EX11 EX12 . . . EX1n EX21 EX22 . . . EX2n .EX =  ............ EXm1 EXm2 . . . EXmnËåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè ñîõðàíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.1. Åñëè A è B ìàòðèöû, ñîñòàâëåííûå èç êîíñòàíò, òî E(AX) = AEX ,E(XB) = (EX)B .2. E(X + Y ) = EX + EY .3. Åñëè ëþáîé ýëåìåíò ìàòðèöû X íå çàâèñèò îò ëþáîãî ýëåìåíòà ìàòðèöû Y , òîE(XY ) = EXEY .Ðàçóìååòñÿ, ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ðàçìåðíîñòè ó÷àñòâóþùèõ çäåñü ìàòðèö ïîçâîëÿþò ïðèìåíÿòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.Àíàëîã äèñïåðñèè ââîäèòñÿ òîëüêî äëÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ.

Íà ïðîòÿæåíèè ýòîãîè ñëåäóþùåãî ïàðàãðàôîâ ìû áóäåì èçîáðàæàòü âåêòîðû â âèäå ñòîëáöîâX1 X2 X= ... .XnÎïðåäåëåíèå. Ìàòðèöåé êîâàðèàöèé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X íàçûâàåòñÿ ìàòðè-öà C(X), ó êîòîðîé íà ìåñòå ñ íîìåðîì (i, j) ñòîèò ci,j = Cov(Xi , Xj ), i, j = 1, . . . , n.Ìàòðèöà êîâàðèàöèé åñòü àíàëîã äèñïåðñèè. Ïðè n = 1 îíà ñîâïàäàåò ñ äèñïåðñèåé.

 îáùåì ñëó÷àå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ó íåå ñòîÿò äèñïåðñèè DX1 , . . . , DXn ,ìàòðèöà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé äèàãîíàëè: ci,j = cj,i .Ìû çíàåì, ÷òî D(AX+B) = A2 DX â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, åñëè A è B êîíñòàíòû.Àíàëîãîì ýòîãî ñâîéñòâà äëÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà. Ïóñòü A ìàòðèöà èç êîíñòàíò, èìåþùàÿ m ñòðîê è n ñòîëáöîâ,à B âåêòîð èç êîíñòàíò ðàçìåðíîñòè m. ÒîãäàC(AX + B) = AC(X)AT ,ãäå âåðõíèé èíäåêñ T ñîîòâåòñòâóåò òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöå.Äîêàçàòåëüñòâî.

Îáîçíà÷èì äëÿ êðàòêîñòè mi = EXi , i = 1, . . . , n, è âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö: åñëè óìíîæèòü âåêòîð-ñòîëáåö íà48âåêòîð-ñòðîêó, òî â èòîãå ïîëó÷èì ìàòðèöó:X1 − m 1 X2 − m 2  · (X1 − m1 , X2 − m2 , . . . , Xn − mn ) =...Xn − m n(X1 − m1 )2(X1 − m1 )(X2 − m2 ) .

. . (X1 − m1 )(Xn − mn ) (X2 − m2 )(X1 − m1 )(X2 − m2 )2. . . (X2 − m2 )(Xn − mn )= ............(Xn − mn )(X1 − m1 ) (Xn − mn )(X2 − m2 ) . . .(Xn − mn )2.Âçÿâ òåïåðü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îò îáåèõ ÷àñòåé, ïîëó÷èìE(X − EX)(X − EX)T = C(X),è àíàëîãè÷íîC(AX + B) ====E(AX + B − E(AX + B))(AX + B − E(AX + B))T =E(AX + B − EAX − B)(AX + B − EAX − B)T =E(A(X − EX)(X − EX)T AT ) =A(E(X − EX)(X − EX)T )AT = AC(X)AT .Òåîðåìà äîêàçàíà.3.6.Ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèåÌû óæå ðàññìàòðèâàëè ðàíåå â êà÷åñòâå ïðèìåðà ÷àñòíûé ñëó÷àé ïëîòíîñòèìíîãîìåðíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà, îíà ñîîòâåòñòâîâàëà ñòàíäàðòíîìó ìíîãîìåðíîìó íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Ñåé÷àñ ââåäåì ýòîò çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ â îáùåéôîðìå.Áóäåì äåéñòâîâàòü ïî àíàëîãèè ñ îäíîìåðíûì ñëó÷àåì.Ïóñòü Y îäíîìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîåðàñïðåäåëåíèå, Y ⊂= Φ0,1 .

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее