1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Çíà÷èò,P(|Y | < 3) = 0.9973, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,P(|X − α| < 3σ) = 0.9973.Ïîñëåäíåå èçâåñòíî êàê ïðàâèëî òðåõ ñèãì.Íàñêîëüêî âàæíî íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ ïðèëîæåíèé, ñòàíåò ÿñíî ïîçæå, êîãäà áóäåò èçó÷åíà öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà. Çàáåãàÿ âïåðåä, ñêàæåì,÷òî î÷åíü ÷àñòî ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû áóäåò áëèçêî ê íîðìàëüíîìó,åñëè îíà ñôîðìèðîâàëàñü â ðåçóëüòàòå íàêîïëåíèÿ áîëüøîãî ÷èñëà áîëåå ¾ìåëêèõ¿ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ.3. Ïîêàçàòåëüíîå (ýêñïîíåíöèàëüíîå) ðàñïðåäåëåíèå Eα .
Ïëîòíîñòü ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîé(α e−αt , t > 0,eα (t) =0,t ≤ 0.Çäåñü α > 0 ïàðàìåòð ðàñïðåäåëåíèÿ.eα (t)6-0tÔóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ëåãêî ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì:(0,y ≤ 0,Eα (y) =−αy1 − e , y > 0.Eα (y)16-0yÏîêàçàòåëüíî ðàñïðåäåëåííûìè îêàçûâàþòñÿ äëèòåëüíîñòè òåëåôîííûõ ðàçãîâîðîâ, ïðîìåæóòêè âðåìåíè ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíûìè ïðèõîäàìè êëèåíòîâ íà îáñëóæèâàíèå (íàïðèìåð, êîðàáëåé â ïîðò èëè ïîêóïàòåëåé â ìàãàçèí), äëèòåëüíîñòèîáñëóæèâàíèÿ êëèåíòîâ, âðåìÿ áåçîòêàçíîé ðàáîòû ïðèáîðà è ìíîãîå äðóãîå.28Îñòàíîâèìñÿ áîëåå ïîäðîáíî íà îäíîì çàìå÷àòåëüíîì ñâîéñòâå ïîêàçàòåëüíîãîðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïóñòü X ïðîäîëæèòåëüíîñòü òåëåôîííîãî ðàçãîâîðà è ïóñòüX⊂= Eα , ò. å.P(X ≥ y) = e−αy , y > 0.Òåëåôîííûé ðàçãîâîð íà÷àëñÿ â ìîìåíò âðåìåíè 0 è, êîãäà â ìîìåíò âðåìåíè y ìûðåøèëè ïîäêëþ÷èòüñÿ ê íåìó (ñ íåáëàãîâèäíîé öåëüþ ïîäñëóøèâàíèÿ), îí âñå åùåïðîäîëæàëñÿ, òî åñòü X ≥ y . Êàêîâî áóäåò ðàñïðåäåëåíèå ó îñòàâøåéñÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà X − y ? Îêàçûâàåòñÿ, â òî÷íîñòè òàêîå æå, êàê è ó âñåé ïðîäîëæèòåëüíîñòè X . Äåéñòâèòåëüíî, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îñòàâøàÿñÿ äëèòåëüíîñòüðàçãîâîðà áóäåò íå ìåíüøå t, ðàâíàP(X − y ≥ t/X ≥ y) =P(X ≥ y + t, X ≥ y) P(X ≥ y + t)==P(X ≥ y)P(X ≥ y)e−α(y+t)== e−αt = P(X ≥ t),−αyet > 0.4.
Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå Γα,λ . Ïëîòíîñòü ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà λ αtλ−1 e−αt , t > 0,γα,λ (t) = Γ(λ)0,t ≤ 0.Çäåñü ó÷àñòâóþò äâà ïàðàìåòðà α > 0, λ > 0. Íàïîìíèì, ÷òîZ∞Γ(λ) =tλ−1 e−t dt0 èçâåñòíàÿ ãàììà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà; îíà îáëàäàåò ñâîéñòâîì Γ(λ + 1) = λΓ(λ). Äëÿöåëûõ çíà÷åíèé λ = n èìååò ìåñòî ïî ýòîé ïðè÷èíå Γ(n + 1) = n!.Ãðàôèêè ïëîòíîñòè ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àþòñÿ â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðà λ (ñì.
ðèñóíîê). Ïðè λ < 1 ïëîòíîñòü íåîãðàíè÷åííà âîêðåñòíîñòè íóëÿ, ïðè λ = 1 ïîëó÷àåòñÿ ïëîòíîñòü ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ(Γα,1 = Eα ). Ïðè λ > 1 ãðàôèê ïëîòíîñòè èìååò îäíó âåðøèíó, êîòîðàÿ óäàëÿåòñÿâïðàâî ñ óâåëè÷åíèåì λ.γ (t)λ<16 α,λλ=1λ>1-0tÔóíêöèÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàåòñÿ ôîðìóëîéZ yΓα,λ (y) =γα,λ (t)dt0ïðè y > 0 è Γα,λ (y) = 0 ïðè y ≤ 0. Ýòîò èíòåãðàë ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþíåîäíîêðàòíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, åñëè λ öåëîå, è íå áåðåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõôóíêöèÿõ ïðè ïðî÷èõ λ.29Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â òåîðèè ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå, òåîðèè íàäåæíîñòè.5.
Ðàñïðåäåëåíèå Êîøè K . Ïëîòíîñòü çàäàåòñÿ ôîðìóëîék(t) =1 1,π 1 + t2−∞ < t < ∞.k(t)6-0tÏî ñâîåìó âèäó ãðàôèê ïëîòíîñòè íàïîìèíàåò ïëîòíîñòü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãîðàñïðåäåëåíèÿ, òîëüêî â îòëè÷èå îò ïîñëåäíåãî ñòðåìëåíèå k(t) → 0 ïðè |t| → ∞ïðîèñõîäèò çíà÷èòåëüíî ìåäëåííåå. Èíòåãðèðóÿ ïëîòíîñòü, íàõîäèì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ:Zy11 11dt=+ arctg y.K(y) =π1 + t22 π−∞K(y)612-0yÎïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F îòíîñèòñÿ ê ñìåøàííîìó òèïó, åñëèïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ yF (y) = α F1 (y) + β F2 (y),ãäå F1 (y) àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ, à F2 (y) äèñêðåòíàÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ,α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1.ßñíî, ÷òî ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ñìåøàííûõ ðàñïðåäåëåíèé ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòíîíåïðåðûâíûå (èì ñîîòâåòñòâóþò α = 1, β = 0) è äèñêðåòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ (ïðèα = 0, β = 1).Ïðèìåð ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñìåøàííîãî òèïà.
Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí ãðàôèêíåêîòîðîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. ßñíî, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíîé(èìååòñÿ ó÷àñòîê íåïðåðûâíîãî ðîñòà) è íå ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé â ñèëóíàëè÷èÿ ñêà÷êà. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñìåøàííîãî òèïà.F (y)611201302-yÄëÿ ðàçëîæåíèÿ ýòîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íà êîìïîíåíòû ïðîùå âñåãî âûäåëèòü ñíà÷àëà äèñêðåòíóþ ÷àñòü: îíà äîëæíà èìåòü åäèíñòâåííûé ñêà÷îê â òî÷êåy = 1. Áåðåì F2 (y) = I1 (y) (âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèå â åäèíèöå), β = 1/2. Òîãäàÿñíî, ÷òî F1 (y) = U1,2 (y), α = 1/2.Òàêèì îáðàçîì, ïîñòàâèâ ïåðâîíà÷àëüíóþ çàäà÷ó èçó÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,ìû íà ñàìîì äåëå ñòàëè ïîäðîáíî èçó÷àòü èõ ðàñïðåäåëåíèÿ.
Òåì ñàìûì ïðîèçîøëàíåêîòîðàÿ ïîäìåíà.Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóåò ñëó÷àéíóþâåëè÷èíó? Îêàçûâàåòñÿ, íåò. Ïî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ìû èçâåñòíûì îáðàçîì ñòðîèìðàñïðåäåëåíèå, à âîò ïî ðàñïðåäåëåíèþ âîññòàíîâèòü ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó íåâîçìîæíî.Ñëåäóþùèé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî íà îäíîì è òîì æå âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ïîñòðîèòü áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàçëè÷íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõîäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå.Ïðèìåð.
Ïóñòü Ω = [0, 1]. Äëÿ âñÿêîãî èíòåðâàëà A ⊂ Ω ïîëîæèì P(A) = λ(A),ãäå λ(A) äëèíà èíòåðâàëà. Âîçüìåì äàëåå ïðîèçâîëüíûé èíòåðâàë B ⊂ Ω, èìåþùèé äëèíó 1/2, è çàäàäèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó(1, ω ∈ B,X(ω) =0, ω 6∈ B.Îíà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå.1 6X(ω)0B1-ωßñíî, ÷òî X ⊂= B1/2 :1P(X = 1) = λ(B) = ,21P(X = 0) = .2Ïåðåìåùàÿ ìíîæåñòâî B âíóòðè Ω, ìû áóäåì ïîëó÷àòü âñå íîâûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îäíàêî âñå îíè áóäóò èìåòü îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå B1/2 .2.3.Ìíîãîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòè ðÿäå ïðèêëàäíûõ çàäà÷ âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àéíûå âåêòîðû.
Ìû áóäåì íàçûâàòü ñëó÷àéíûì âñÿêèé âåêòîð X = (X1 , X2 , . . . , Xn ), êîìïîíåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Èçîáðàæàòüñÿ ñëó÷àéíûå âåêòîðûáóäóò â âèäå ñòðîê èëè â âèäå ñòîëáöîâ (êàê ýòî óäîáíî).Íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü ïîíÿòèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X (ìíîãîìåðíîéôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîâìåñòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ) íàçûâàåòñÿFX1 ,X2 ,...,Xn (y1 , y2 , . . . , yn ) = P(X1 < y1 , X2 < y2 , .
. . , Xn < yn ),31ãäå ïåðå÷èñëåíèå ñîáûòèé ÷åðåç çàïÿòóþ îçíà÷àåò îäíîâðåìåííîå èõ îñóùåñòâëåíèå,òî åñòü ïåðåñå÷åíèå.Ñâîéñòâà ìíîãîìåðíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ1. 0 ≤ FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) ≤ 1.2. Åñëè y1 ≤ z1 , y2 ≤ z2 , . . . , yn ≤ zn , òîFX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) ≤ FX1 ,...,Xn (z1 , . .
. , zn ).Ýòè äâà ñâîéñòâà î÷åâèäíû.Ïî àíàëîãèè ñî ñâîéñòâàìè îäíîìåðíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèé ðàññìîòðèì äàëåå ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ìíîãîìåðíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè.Íî çäåñü, âïðî÷åì, ïðèñóòñòâóåò n àðãóìåíòîâ. Ìû áóäåì óñòðåìëÿòü ê −∞ è ê +∞îäèí èç íèõ (äîïóñòèì, ïîñëåäíèé).3. à) lim FX1 ,...,Xn (y1 , . . .
, yn ) = 0,yn →−∞á) lim FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) = FX1 ,...,Xn−1 (y1 , . . . , yn−1 ).yn →∞ ÷àñòíîñòè, FX1 (y1 ) = FX1 ,...,Xn (y1 , ∞, . . . , ∞).Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà. Åñëè óñòðåìèòü yn → −∞, òî ñîáûòèå {Xn < yn } áóäåòóìåíüøàòüñÿ äî ðàçìåðîâ ïóñòîãî ìíîæåñòâà è ïîòÿíåò çà ñîáîé âñå ïåðåñå÷åíèå{X1 < y1 , X2 < y2 , . . . , Xn < yn }. Ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü ýòîãî ïåðåñå÷åíèÿ áóäåòñõîäèòüñÿ ê íóëþ.Åñëè æå yn → ∞, òî ñîáûòèå {Xn < yn } áóäåò ðàçðàñòàòüñÿ äî ðàçìåðîâ âñåãîïðîñòðàíñòâà Ω, ïîýòîìó ïåðåñå÷åíèå ñîáûòèé {X1 < y1 , X2 < y2 , .
. . , Xn < yn } âïðåäåëå ïðåâðàòèòñÿ â {X1 < y1 , X2 < y2 , . . . , Xn−1 < yn−1 }.Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , . . . , Xn íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè,åñëè äëÿ ëþáûõ B1 ⊂ R, . . . , Bn ⊂ R âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåP(X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 , . . .
, Xn ∈ Bn ) = P(X1 ∈ B1 )P(X2 ∈ B2 ) . . . P(Xn ∈ Bn ).Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ê ïðèìåðó, ïîïàðíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõâåëè÷èí: åñëè ïîëîæèòü B3 = B4 = . . . = Bn = R, òî áóäåì èìåòüP(X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 ) = P(X1 ∈ B1 )P(X2 ∈ B2 ).Åñëè X1 , X2 , . . . , Xn íåçàâèñèìû, òîFX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) = FX1 (y1 ) . . . FXn (yn ).(1)Ýòî ñîîòíîøåíèå ïîëó÷àåòñÿ, åñëè â îïðåäåëåíèè íåçàâèñèìîñòè ïîëîæèòüBi = (−∞, yi ), i = 1, . .
. , n.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ââåäåíèå ìíîãîìåðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ñóùåñòâó íå äàåò íè÷åãî íîâîãî: îíà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îäíîìåðíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ñ çàâèñèìûìè êîìïîíåíòàìè åãî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñîäåðæèò èíôîðìàöèþ êàê î ðàñïðåäåëåíèèîòäåëüíûõ êîìïîíåíò, òàê è î çàâèñèìîñòè ìåæäó íèìè.Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè âåðíî ñîîòíîøåíèå (1) äëÿ âñåõ çíà÷åíèé y1 , y2 , . .
. , yn ,òî X1 , X2 , . . . , Xn íåçàâèñèìû.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà, îäíàêî ìû âïîñëåäñòâèè áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ýòèì óòâåðæäåíèåì.Åñëè êàæäàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà (X1 , X2 , . . . , Xn ) äèñêðåòíà, òî åãî ìíîãîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå òàêæå áóäåò íàçûâàòüñÿ äèñêðåòíûì. Äëÿ äèñêðåòíîãî ñëó÷àÿ32îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí óäîáíî èñïîëüçîâàòü â ñëåäóþùåéýêâèâàëåíòíîé ôîðìå.Îïðåäåëåíèå. Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , . .
. , Xn íåçàâèñèìû, åñëè äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ýòèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíP(X1 = y1 , X2 = y2 , . . . , Xn = yn ) = P(X1 = y1 )P(X2 = y2 ) . . . P(Xn = yn ).Äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå äâóìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X, Y ) óäîáíî çàäàâàòü òàáëèöåé. Ïóñòü X ïðèíèìàåò âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ x1 , x2 , . . ., à Y çíà÷åíèÿy1 , y2 , .
. .. Îáîçíà÷èìpij = P(X = xi , Y = yj ),i = 1, 2, . . . ,j = 1, 2, . . . .Ïðèâåäåííàÿ íèæå òàáëèöà ïîëíîñòüþ çàäàåò ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà (X, Y ).X \ Yx1x2x3...ßñíî, ÷òîy1p11p21p31...y2p12p22p32...∞ X∞Xy3p13p23p33..................pij = 1.i=1 j=1Åñëè ñóììèðîâàòü òîëüêî ýëåìåíòû i-é ñòðîêè, òî ïîëó÷èì∞Xpij =j=1∞XP(X = xi , Y = yj ) = P(X = xi ).j=1Òî÷íî òàê æå ñóììà ýëåìåíòîâ j -ãî ñòîëáöà ðàâíà∞Xi=1pij =∞XP(X = xi , Y = yj ) = P(Y = yj ).i=1Ýòè ôîðìóëû äåìîíñòðèðóþò ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé èçäâóìåðíûõ.Îïðåäåëåíèå.
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíîé, åñëè äëÿ âñåõ çíà÷åíèé àðãóìåíòîâZy1 Zy2FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn ) =Zyn...−∞ −∞f (t1 , t2 , . . . , tn ) dtn . . . dt2 dt1 .−∞Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ìíîãîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ,êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå åå ïðèíÿòî ñíàáæàòü èíäåêñàìè, óêàçûâàþùèìè íà ñâÿçüñî ñëó÷àéíûì âåêòîðîì: f (t1 , t2 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
