1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Êîëè÷åñòâî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâïîëó÷àåòñÿ òàê: ñíà÷àëà âûáèðàåì ëþáûå k1 áåëûõ øàðîâ èç îáùåãî êîëè÷åñòâà n1áåëûõ øàðîâ, ýòî ìîæíî ñäåëàòü Cnk11 ñïîñîáàìè. Çàòåì íàáèðàåì k−k1 ÷åðíûõ øàðîâk−k1âàðèàíòîâ. Ïîñëå ÷åãî ïåðåìíîæàåì ýòè äâàèç n − n1 èìåþùèõñÿ, ïîëó÷àåì Cn−n1êîëè÷åñòâà, ïîñêîëüêó êàæäûé èç íàáîðîâ áåëûõ øàðîâ ìîæåò áûòü îáúåäèíåí ââûáîðêó ñ êàæäûì èç íàáîðîâ ÷åðíûõ øàðîâ, â îòâåòå ïîëó÷àåìk−k1Cnk11 Cn−n/Cnk .1Ìû ìîë÷àëèâî ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âåðõíèå èíäåêñû íå ïðåâîñõîäÿò íèæíèõ â çàïèñè ó÷àñòâóþùèõ çäåñü áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îòâåò âçàäà÷å òðèâèàëåí.Ñîâîêóïíîñòü ïîëó÷åííûõ âåðîÿòíîñòåé ïðè ðàçëè÷íûõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõïåðåìåííîé k1 íàçûâàåòñÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì.1.2.Êîíòèíóàëüíûå ïðîñòðàíñòâàÊàê íåòðóäíî âèäåòü èç ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè àíàëîãè÷íûñâîéñòâàì ìàññû òåëà.
Ïðîäîëæàÿ ýòó àíàëîãèþ, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòüñîáûòèÿ ýòî åãî ìàññà, ïðè ýòîì ìíîæåñòâî Ω áóäåò èìåòü åäèíè÷íóþ ìàññó. Âäèñêðåòíîì ïðîñòðàíñòâå âñÿ ýòà åäèíè÷íàÿ ìàññà ðàçáðîñàíà ïî êîíå÷íîìó èëèñ÷åòíîìó íàáîðó òî÷åê. Òåïåðü ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü äðóãóþ êðàéíîñòü, êîãäàâåðîÿòíîñòü êàê ìàññà ¾ðàçìàçàíà¿ ïî âñåìó ïðîñòðàíñòâó ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ,êîòîðîå, ðàçóìååòñÿ, óæå íå áóäåò äèñêðåòíûì.Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü çäåñü, ÷òî Ω = Rn , n ≥ 1.  êà÷åñòâå ñîáûòèé, êàê èðàíüøå, áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïîäìíîæåñòâà Ω, õîòÿ â îòëè÷èå îò äèñêðåòíûõ ïðîñòðàíñòâ íåêîòîðûå ïîäìíîæåñòâà ñëåäîâàëî áû èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ ïî òîéïðè÷èíå, ÷òî íàì íå óäàñòñÿ çàäàòü ïðèåìëåìûì îáðàçîì âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé íàâñåõ áåç èñêëþ÷åíèÿ ïîäìíîæåñòâàõ Ω.
Ýòè ¾íåóäîáíûå¿ ìíîæåñòâà èìåþò âåñüìà ñëîæíóþ ñòðóêòóðó. Îíè èìåþò ÷èñòî òåîðåòè÷åñêèé èíòåðåñ è â ïðèëîæåíèÿõïðàêòè÷åñêè íå âñòðå÷àþòñÿ. Ïîýòîìó ìû ñîçíàòåëüíî íå áóäåì àêöåíòèðîâàòü íàíèõ ñâîå âíèìàíèå.Äëÿ ëó÷øåãî ïîíèìàíèÿ îñòàíîâèìñÿ ñíà÷àëà áîëåå ïîäðîáíî íà ñëó÷àå Ω = R1 .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó íàñ èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ π : Ω → R òàêàÿ, ÷òî:1) π(ω) ≥ 0 äëÿ ëþáîãî ω ∈ Ω;R∞2)π(ω) dω = 1.−∞9Ñ ïîìîùüþ ýòîé âñïîìîãàòåëüíîé ôóíêöèè çàäàåòñÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ. Ïîëîæèì, ïî îïðåäåëåíèþ,ZP(A) = π(ω) dω.AÐàçóìååòñÿ, ìû âïðàâå îïåðèðîâàòü çäåñü òîëüêî òàêèìè ïîäìíîæåñòâàìè A ⊂ Ω,äëÿ êîòîðûõ èíòåãðèðîâàíèå èìååò ñìûñë. Ýòî îïðåäåëåíèå èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë: âåðîÿòíîñòü òîãî èëè èíîãî îòðåçêà íà ïðÿìîé âû÷èñëÿåòñÿ êàêïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, èìåþùåé äàííûé îòðåçîê ñâîèì îñíîâàíèåì èîãðàíè÷åííîé ñâåðõó ãðàôèêîì ôóíêöèè π(ω).π(ω)60App pp-ωÂåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì òàêèì îáðàçîì çàäàþòñÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé, íàçûâàåòñÿ êîíòèíóàëüíûì.ßñíî, ÷òî ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè êàæäûé ýëåìåíòàðíûé èñõîä èìååò íóëåâóþâåðîÿòíîñòü.
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî âñå ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè, ïåðå÷èñëåííûå âïðåäûäóùåì ðàçäåëå, îñòàþòñÿ â ñèëå è äëÿ êîíòèíóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû ôóíêöèé π .1. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðûõ a < b1, ω ∈ [a, b];b−aπ(ω) =0,èíà÷å.Ìû âèäèì, ÷òî ïðè òàêîé ôóíêöèè π áóäåò âûïîëíÿòüñÿ P(A) = 0 äëÿ ëþáîãîìíîæåñòâà A, íå èìåþùåãî ïåðåñå÷åíèé ñ [a, b]. Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî Ω ñóæàåòñÿ äî ðàçìåðîâ îòðåçêà [a, b]. Ïðè ýòîì êàêîå áû ïîäìíîæåñòâîA = [c, d] ⊂ Ω = [a, b] íè âçÿòü, åãî âåðîÿòíîñòü ðàâíàP(A) =d−cλ(A)=,b−aλ(Ω)ãäå λ(A) îáîçíà÷àåò äëèíó ìíîæåñòâà A.Âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé, âû÷èñëÿåìûå ïî ýòîìó ïðîñòîìó ïðàâèëó êàê îòíîøåíèåäëèí ìíîæåñòâ, íàçûâàþòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèìè.
Ýòî åñòü íåïðåðûâíûé àíàëîã êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, ðàññìîòðåííîãî ðàíåå äëÿ äèñêðåòíûõ ñõåì.Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü íå çàâèñèò îò ñäâèãîâ ìíîæåñòâà A âíóòðè Ω. Ìîæíîîáðàçíî ñêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòíàÿ ìàññà ðàâíîìåðíî ¾ðàçìàçàíà¿ ïîîòðåçêó [a, b].2. Ïóñòü12π(ω) = √ e−ω /2 .2π ýòîì ñëó÷àå ìû óæå íå ìîæåì ãîâîðèòü î ðàâíîìåðíîñòè ¾ðàçìàçûâàíèÿ¿ âåðîÿòíîñòíîé ìàññû íà ïðÿìîé. Âåðîÿòíîñòü ëþáîãî èíòåðâàëà áóäåò ìàêñèìàëüíîé, åñëè10åãî öåíòð íàõîäèòñÿ â íóëå, è áóäåò óáûâàòü î÷åíü áûñòðî ïî ìåðå óäàëåíèÿ ýòîãîèíòåðâàëà îò íà÷àëà êîîðäèíàò.3.
Åùå îäèí ïðèìåð: −ωe , ω > 0;π(ω) =0,èíà÷å. ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Ω = [0, ∞).Åñëè Ω = Rn è ÷èñëî n ≥ 1 ïðîèçâîëüíî, òî âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ îïðåäåëÿåòñÿòàêæå ñ ïîìîùüþ âñïîìîãàòåëüíîé ôóíêöèè π(ω), òîëüêî òåïåðü ω = (ω1 , ω2 , . . . , ωn ),è ïî-ïðåæíåìó âûïîëíåíû òàêèå òðåáîâàíèÿ:1) π(ω) ≥ 0 äëÿ ëþáîãî ω ∈ Ω;R∞R∞π(ω) dω1 . . .
dωn = 1....2)−∞−∞Ïîëàãàåì, ïî îïðåäåëåíèþ, äëÿ A ⊂ ΩZ ZZP(A) =. . . π(ω) dω1 . . . dωn .AÅñëè ôóíêöèÿ π ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå íà íåêîòîðîì îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå D ⊂ Rn è ðàâíà íóëþ âíå íåãî, òî, êàê è ðàíüøå, âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòèñîáûòèÿ A ⊂ D ïðîèçâîäèòñÿ ýëåìåíòàðíûì ãåîìåòðè÷åñêèì ñïîñîáîì:P(A) =λ(A),λ(D)ãäå λ(A) çäåñü óæå îáîçíà÷àåò n ìåðíûé îáúåì ìíîæåñòâà A.
Çäåñü, êîíå÷íî, îáÿçàòåëüíî äîëæíî áûòü λ(D) > 0.Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà çàäà÷ó î âñòðå÷å.Äâà ÷åëîâåêà, A è B , äîãîâîðèëèñü âñòðåòèòüñÿ â îïðåäåëåííîì ìåñòå ìåæäó18 è 19 ÷àñàìè âå÷åðà. Îäíàêî ìîìåíò âñòðå÷è îíè íèêàê íå îáîçíà÷èëè, à äîãîâîðèëèñü î ñëåäóþùåì. Òîò, êòî ïðèõîäèò ïåðâûì, æäåò â òå÷åíèå 15 ìèíóò.
Åñëèâòîðîé çà ýòî âðåìÿ íå ïðèõîäèò, òî ïåðâûé óõîäèò è âñòðå÷à â ýòîì ñëó÷àå íåñîñòîèòñÿ. Ðàçóìååòñÿ, åñëè ïåðâûé ïðèäåò, ñêàæåì, çà 5 ìèíóò äî 19 ÷àñîâ, òîæäàòü âñå 15 ìèíóò íåò íèêàêîãî ñìûñëà, òàê êàê ïîñëå 19 ÷àñîâ íèêòî áîëüøåïðèéòè íå ìîæåò.Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âñòðå÷à ñîñòîèòñÿ?Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðåæäå âñåãî íóæíî ïîíÿòü, êàê óñòðîåíî ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç X ìîìåíò ïðèõîäà A è ÷åðåç Y ìîìåíò ïðèõîäàB . ßñíî, ÷òî ñîâîêóïíîñòü âñåâîçìîæíûõ ïàð (X, Y ), ãäå 18 ≤ X ≤ 19, 18 ≤ Y ≤ 19èñ÷åðïûâàåò âñå èñõîäû ýêñïåðèìåíòà, ò.
å. Ω ýòî êâàäðàò íà ïëîñêîñòè ïåðåìåííûõX, Y . Ïîñêîëüêó ìîë÷àëèâî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëÿ ìîìåíòîâ ïðèõîäà êàæäîãî èçíèõ íåò íèêàêèõ ïðåäïî÷òåíèé âíóòðè ïðîìåæóòêà [18, 19], òî ìû âûáèðàåì ìîäåëü ñôóíêöèåé π , ðàâíîé åäèíèöå â óêàçàííîì êâàäðàòå. Èíà÷å ãîâîðÿ, âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ áóäåò ïðîèçâîäèòüñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì ñïîñîáîì, â äàííîì ñëó÷àå êàêîòíîøåíèå ïëîùàäåé. Ïëîùàäü âñåãî Ω ðàâíà 1, íàì îñòàåòñÿ âûäåëèòü èç êâàäðàòàïîäìíîæåñòâî òî÷åê (X, Y ), äëÿ êîòîðûõ âñòðå÷à ñîñòîèòñÿ. Ýòî ìíîæåñòâî õàðàêòåðèçóåòñÿ íåðàâåíñòâîì |Y − X| ≤ 1/4 èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, X − 1/4 ≤ Y ≤ X + 1/4.11191819Êàê íåòðóäíî âèäåòü, ïëîùàäü ýòîãî ìíîæåñòâà ðàâíà 1 − (3/4)2 = 7/16. Ýòî èåñòü èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü.1.3.Âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî îáùåãî âèäàÌû ïîäðîáíî èçó÷èëè äâå ðàçëè÷íûå âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè.
 ïåðâîé èç íèõ,äèñêðåòíîé, âåðîÿòíîñòíàÿ ìàññà ðàñïðåäåëÿëàñü ïî äèñêðåòíîìó íàáîðó ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ; âî âòîðîì íåïðåðûâíûì îáðàçîì ¾ðàçìàçûâàëàñü¿ ïî ïðîñòðàíñòâóèëè ïî åãî ÷àñòè. Äëÿ êàæäîé èç ýòèõ ìîäåëåé ñóùåñòâóåò ìíîãî ïðèìåíåíèé. Îäíàêîðàññìîòðåííûå ìîäåëè ÿâëÿþò ñîáîé âñåãî ëèøü äâà êðàéíèõ ñëó÷àÿ. Ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå ñìåøàííûå ñèòóàöèè, êîãäà ÷àñòü âåðîÿòíîñòíîé ìàññû ðàñïðåäåëÿåòñÿïî äèñêðåòíîìó ìíîæåñòâó òî÷åê, à îñòàëüíàÿ ìàññà ¾ðàçìàçûâàåòñÿ¿ íåïðåðûâíî ïîäðóãîìó ìíîæåñòâó. Òàêèì îáðàçîì, ðàçíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé ìîæíî ñòðîèòüáåñêîíå÷íî ìíîãî.
Îäíàêî, êàê áû îíè íè ñòðîèëèñü, îíè îáÿçàòåëüíî äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ðÿäó òðåáîâàíèé, êîòîðûå ïî ñóòè ÿâëÿþòñÿ àêñèîìàìè âåðîÿòíîñòíîãîïðîñòðàíñòâà.Èòàê, ïî-ïðåæíåìó âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî åñòü òðîéêà hΩ, S, Pi, ãäå ïðî Ωóæå âñå ñêàçàíî ýòî ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà, S ñîâîêóïíîñòü ïîäìíîæåñòâ Ω, íàçûâàåìûõ ñîáûòèÿìè.  îòëè÷èå îò äèñêðåòíîé ìîäåëè Sìîæåò âêëþ÷àòü â ñåáÿ íå âñå ïîäìíîæåñòâà Ω. Íå âäàâàÿñü â ïîäðîáíîñòè, ìû áóäåì ñ÷èòàòü òåì íå ìåíåå, ÷òî ïðàêòè÷åñêè âñå âàæíûå ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèëîæåíèéïîäìíîæåñòâà Ω âõîäÿò â S . Îñíîâíîå âíèìàíèå ñîñðåäîòî÷èì íà àêñèîìàõ çàäàíèÿâåðîÿòíîñòè. Ïî-ïðåæíåìó, âåðîÿòíîñòü ýòî ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ P, îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ S .
Êàêèì áû ñïîñîáîì íè çàäàâàëàñü ýòà ôóíêöèÿ, îíàäîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì òðåì àêñèîìàì:A1. P(A) ≥ 0 äëÿ ëþáîãî A ∈ S .A2. P(Ω) = 1.A3. Ñ÷¼òíàÿ àääèòèâíîñòü: åñëè ñîáûòèÿ A1 , A2 , . . . òàêîâû, ÷òî Ai Aj = ∅ (i 6= j)(ò. å. ïîïàðíî íåñîâìåñòíû), òî!∞∞[XPAi =P(Ai ).i=1i=1Èç ýòèõ àêñèîì âûòåêàåò ðÿä ïîëåçíûõ ñâîéñòâ âåðîÿòíîñòè. Íåêîòîðûå èç íèõ ìûèìåëè âîçìîæíîñòü íàáëþäàòü â äèñêðåòíûõ è â êîíòèíóàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Òåïåðü óñòàíîâèì ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâ.Âñå îíè ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèÿìè ââåäåííûõ òðåõ àêñèîì.Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè1. P(∅) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâèì ïðîèçâîëüíîå ñîáûòèå A â âèäåA = A ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ...,12òîãäà ïî àêñèîìå A3P(A) = P(A) + P(∅) + P(∅) + .
. . ,÷òî èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè P(∅) = 0.2. Àääèòèâíîñòü âåðîÿòíîñòè: äëÿ âñÿêîãî êîíå÷íîãî íàáîðà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé A1 , A2 , . . . , An!nn[XPAi =P(Ai ).i=1Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâëÿåìi=1nSAi â âèäå A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ∪ ∅ ∪ ∅ . . . èi=1ïîëüçóåìñÿ ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòüþ.3. Äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ A èìååò ìåñòî P(A) + P(Ā) = 1 ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àéïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ. Âûäåëÿåòñÿ â âèäå îòäåëüíîãî ñâîéñòâà ââèäó ÷àñòîãîèñïîëüçîâàíèÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷.4. Äëÿ ëþáûõ ñîáûòèé A è BP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäñòàâèì ñîáûòèå A ∪ B â âèäå B ∪ (A \ B), òîãäà â ñèëóàääèòèâíîñòè P(A ∪ B) = P(B) + P(A \ B).
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãîâîñïîëüçóåìñÿ ïðåäñòàâëåíèåì A = AB ∪ (A \ B), îòêóäà îïÿòü ïî àääèòèâíîñòèP(A) = P(AB) + P(A \ B).5. Åñëè A ⊂ B , òî P(A) ≤ P(B).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó B = A ∪ (B \ A), òî èç àääèòèâíîñòè è àêñèîìû À1ïîëó÷àåì P(B) = P(A) + P(B \ A) ≥ P(A).6. Ñâîéñòâî íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè. Îíî ñîñòîèò èç äâóõ ïóíêòîâ:à) åñëè ñîáûòèÿ A1 , A2 , . .
. òàêîâû, ÷òîA1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . ,òî ñóùåñòâóåòlim P(An ) = Pn→∞∞[!Ai;i=1á) åñëè A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . ., òî ñóùåñòâóåòlim P(An ) = Pn→∞Äîêàçàòåëüñòâî. à) Ñîáûòèå∞\!Ai.i=1∞SAi ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåi=1∞[Ai = A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ (A3 \ A2 ) ∪ . . . ,i=1òîãäà ó÷àñòâóþùèå çäåñü ìíîæåñòâà ïîïàðíî íåñîâìåñòíû è ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâîì ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè:!∞[PAi = P(A1 ) + P(A2 \ A1 ) + P(A3 \ A2 ) + . .
. .i=113Ïîñêîëüêó ñóììà ðÿäà åñòü ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòíûõ ñóìì, òî ýòî âûðàæåíèå ðàâíîlim [P(A1 ) + P(A2 \ A1 ) + . . . + P(An \ An−1 )] =n→∞= lim P(A1 ∪ (A2 \ A1 ) ∪ . . . ∪ (An \ An−1 )) = lim P(An ).n→∞n→∞Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïóíêòà á ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ äîïîëíèòåëüíûõ ñîáûòèé èâîñïîëüçóåìñÿ óæå äîêàçàííûì ñâîéñòâîì à.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
