1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872), страница 8
Текст из файла (страница 8)
, tn ) = fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ). Êàê è â îäíîìåðíîì ñëó÷àå, ïëîòíîñòü ïîëó÷àåòñÿ èç ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì,òîëüêî çäåñü òðåáóåòñÿ áðàòü ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî êàæäîé ïåðåìåííîé:fX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn ) =∂ n FX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn ).∂t1 . . . ∂tn33Ñâîéñòâà ìíîãîìåðíûõ ïëîòíîñòåé1. fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , .
. . , tn ) ≥ 0.Z∞ Z∞2.Z∞...−∞ −∞fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ) dtn . . . dt1 = 1.−∞Z Z3.P((X1 , X2 , . . . , Xn ) ∈ B) =Z...fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ) dtn . . . dt2 dt1Bäëÿ ëþáîãî ïðÿìîóãîëüíèêà B = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × . . . × [an , bn ] ⊂ Rn .4. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , . . . , Xn èìåþò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî îíè íåçàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàfX1 ,...,Xn (t1 , . .
. , tn ) = fX1 (t1 )fX2 (t2 ) . . . fXn (tn ).Ýòî ñâîéñòâî ïîëó÷àåòñÿ èç ôîðìóëû (1) ïîî÷åðåäíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïîêàæäîé ïåðåìåííîé, à ñàìî îíî ïðåâðàùàåòñÿ â ñîîòíîøåíèå (1) ïîñëå ïîî÷åðåäíîãîèíòåãðèðîâàíèÿ ïî êàæäîé èç ïåðåìåííûõ.5. Åñëè èçâåñòíà n-ìåðíàÿ ïëîòíîñòü fX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn ), òî ïîëó÷èòü ïëîòíîñòüìåíüøåé ðàçìåðíîñòè ìîæíî ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ:Z∞fX1 ,...,Xn (t1 , t2 , . . . , tn ) dtn .fX1 ,...,Xn−1 (t1 , t2 , . .
. , tn−1 ) =−∞Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ñâîéñòâà ìû äîëæíû ïðåäñòàâèòü â âèäå ñîîòâåòñòâóþùåãîèíòåãðàëà (n − 1)-ìåðíóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ:FX1 ,...,Xn−1 (y1 , . . . , yn−1 ) = FX1 ,...,Xn (y1 , . . . , yn−1 , ∞) =yZn−1Zy1= ∞Z...−∞−∞fX1 ,...,Xn (t1 , . . . , tn ) dtndtn−1 . . . dt1 .−∞Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ, è áóäåò èñêîìîé ïëîòíîñòüþ. äèñêðåòíîì ñëó÷àå óìåíüøåíèå ðàçìåðíîñòè ïðîèçâîäèëîñü àíàëîãè÷íî, íîòîëüêî ñ ïîìîùüþ ñóììèðîâàíèÿ (ñì. ðàññìîòðåííûé âûøå òàáëè÷íûé ñïîñîá çàäàíèÿ äâóìåðíûõ äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé).Ïðèìåðû ìíîãîìåðíûõ ïëîòíîñòåé1. Ìíîãîìåðíîå ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïëîòíîñòü çàäàåòñÿ ôîðìóëîé 1, t ∈ D,f (t) = λ(D)0,èíà÷å,ãäå D ⊂ Rn îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, ó êîòîðîãî n-ìåðíûé îáúåì λ(D) > 0. Ëåãêîâèäåòü, ÷òî äëÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X ñ òàêîé ïëîòíîñòüþP(X ∈ B) =λ(B),λ(D)åñëè B ⊂ D, ò.
å. âåðîÿòíîñòü âû÷èñëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì ñïîñîáîì.342. Ìíîãîìåðíîå ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ)(nnY11X 2f (t) =t=ϕ0,1 (ti ), t = (t1 , . . . , tn ).exp−(2π)n/22 i=1 ii=1Êîìïîíåíòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, èìåþùåãî òàêóþ ïëîòíîñòü, íåçàâèñèìû è èìåþò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.2.4.Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ýòîì ïàðàãðàôå ìû èçó÷èì, êàê èçìåíÿþòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Òåîðåìà 1. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñèìû, g è h ôóíêöèè èçR â R. Òîãäà ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû g(X) è h(Y ) òàêæå íåçàâèñèìû.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáûõ B1 ⊂ R, B2 ⊂ RP(g(X) ∈ B1 , h(Y ) ∈ B2 ) = P(X ∈ g −1 (B1 ), Y ∈ h−1 (B2 )) == P(X ∈ g −1 (B1 )) P(Y ∈ h−1 (B2 )) = P(g(X) ∈ B1 ) P(h(Y ) ∈ B2 ),ãäå g −1 (B1 ) = {y : g(y) ∈ B1 }, h−1 (B2 ) = {y : h(y) ∈ B2 }.Ïóñòü òåïåðü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X îáëàäàåò ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ fX (t).Îáðàçóåì íîâóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Y = g(X), ãäå g íåêîòîðàÿ íåñëó÷àéíàÿôóíêöèÿ.
Ðàçóìååòñÿ, Y íå îáÿçàòåëüíî îáëàäàåò ïëîòíîñòüþ, äîñòàòî÷íî âçÿòüg(t) ≡ C , ÷òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì. Îäíàêî åñëè g òàêîâà, ÷òî fY (t) âñå-òàêè ñóùåñòâóåò, òî êàê åå íàéòè?Íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FY (y).Z−1FY (y) = P(g(X) < y) = P(X ∈ g ((−∞, y))) =fX (u) du.g −1 ((−∞,y))Òåïåðü çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïðåîáðàçîâàòü ïîëó÷åííûé èíòåãðàë ê âèäóZ yh(t) dt−∞ñ íåêîòîðîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé h(t), êîòîðàÿ è áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïëîòíîñòüþäëÿ Y â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì. Åäèíîãî ïîäõîäà çäåñü íå ñóùåñòâóåò, ÷àùåâñåãî ïîìîãàåò ïðåîáðàçîâàòü èíòåãðàë ê íóæíîìó âèäó ïîäõîäÿùàÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ.Ïðîèëëþñòðèðóåì âñå ýòî áîëåå ïîäðîáíî íà ïðèìåðå ïðåîáðàçîâàíèÿ Y = aX +b,ãäå a 6= 0.Òåîðåìà 2.
Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îáëàäàåò ïëîòíîñòüþfX (t). Òîãäà äëÿ ëþáûõ ÷èñåë a 6= 0 è b1t−bfaX+b (t) =fX.(2)|a|a35Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a > 0. Òîãäày−bFY (y) = P(aX + b < y) = P X <a(y−b)/aZ=fX (u) du.−∞Ñäåëàåì çàìåíó t = au + b. ÒîãäàZyFY (y) =−∞1fXat−badt.Åñëè a < 0, òî, èñïîëüçóÿ òó æå çàìåíó ïåðåìåííîé, ïîëó÷àåìZ∞y−bFY (y) = P(aX + b < y) = P X >=afX (u) du =(y−b)/aZ−∞=1fXat−baZydt =1fX|a|t−badt.−∞yÒàêèì îáðàçîì, ïðè âñåõ a 6= 0 âåðíà ôîðìóëà (2).Âûâåäåì îòñþäà íåñêîëüêî ïîëåçíûõ ñëåäñòâèé äëÿ ãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé.Ñëåäñòâèå 1.Åñëè X ⊂= Φα,σ2 , òî Y = (X − α)/σ ⊂= Φ0,1 .Ñëåäñòâèå 2.
Åñëè Y ⊂= Φ0,1 , òî X = σY + α ⊂= Φα,σ2 .Ñëåäñòâèå 3. Åñëè X ⊂= Φα,σ2 , òî Y = AX + B ⊂= ΦAα+B, σ2 A2 .Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèÿ ïåðâûõ äâóõ ñëåäñòâèé ïðÿìî âûòåêàþò èç ôîðìóëû (2). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òðåòüåãî óòâåðæäåíèÿ óäîáíî ñíà÷àëà ïðåäñòàâèòüX −α+ Aα + B,AX + B = σAσè çàòåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäûäóùèìè äâóìÿ óòâåðæäåíèÿìè.Ïóñòü òåïåðü X è Y äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ èçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìîæíî ëè âûðàçèòü FX+Y ÷åðåç FX è FY ?Îòâåò îòðèöàòåëüíûé: åñëè áîëüøå íè÷åãî íå ïðåäïîëàãàòü ïðî X è Y , òî èíôîðìàöèè, çàëîæåííîé â FX è FY , íåäîñòàòî÷íî, ÷òîáû íàéòè FX+Y . Ïðè îäíèõ è òåõæå FX è FY ìîæíî ïîëó÷àòü ðàçíûå ðåçóëüòàòû.Ïðèìåð. Ïóñòü X ⊂= Φ0,1 , Y = X , òîãäà X + Y = 2X ⊂= Φ0,4 .Åñëè æå âçÿòü Y = −X , òî ïî-ïðåæíåìó Y ⊂= Φ0,1 , è ïîëó÷àåì, ÷òî X +Y = 0 ⊂= I0ïðè òåõ æå FX è FY .Åñëè äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî X è Y íåçàâèñèìû, òî FX+Y ïîëíîñòüþîïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç FX è FY .
Ìû ïîêàæåì, êàê ýòî äåëàåòñÿ, îòäåëüíî äëÿ öåëî÷èñëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è äëÿ ðàñïðåäåëåíèé ñ ïëîòíîñòüþ.Òåîðåìà 3. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñèìû è êàæäàÿ èç íèõïðèíèìàåò öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, ïðè ýòîìP(X = k) = pk ,P(Y = k) = qk ,k = 0, 1, 2, . . . .Òîãäà äëÿ k = 0, 1, 2, . . .rk = P(X + Y = k) =kXi=036pi qk−i .Äîêàçàòåëüñòâî.P(X + Y = k) = P({X = 0, Y = k} ∪ {X = 1, Y = k − 1} ∪ . . .
∪ {X = k, Y = 0}) ==kXP(X = i, Y = k − i) =i=0kXP(X = i)P(Y = k − i) =i=0kXpi qk−i .i=0PÏîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë {rk = ki=0 pi qk−i , k = 0, 1, 2, . . .} íàçûâàåòñÿ ñâåðòêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {pk , k = 0, 1, 2, . . .} è {qk , k = 0, 1, 2, . . .}. êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ ïîëó÷èì ñëåäóþùèé èíòåðåñíûé ðåçóëüòàò.Òåîðåìà 4. Ïóñòü X1 è X2 íåçàâèñèìû, X1 ⊂= Πλ1 , X2 ⊂= Πλ2 . ÒîãäàX1 + X2 ⊂= Πλ1 +λ2 .Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ïîëó÷åííîé ôîðìóëîé:kkXe−(λ1 +λ2 ) X i i k−i (λ1 + λ2 )k −(λ1 +λ2 )λi1 −λ1 λk−i2−λ2=eeCk λ1 λ2 =e.P(X +Y = k) =i!(k − i)!k!k!i=0i=0Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ïëîòíîñòåé ñóìì íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Òåîðåìà 5.
Ïóñòü X è Y íåçàâèñèìû è èìåþò ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ fX èfY ñîîòâåòñòâåííî. ÒîãäàZ ∞Z ∞fY (v) fX (t − v) dv.fX (u) fY (t − u) du =fX+Y (t) =−∞−∞Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ïåðâîå ñîîòíîøåíèå, âòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èçíåãî çàìåíîé v = t − u. Èìååì äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿZ ZFX+Y (y) = P(X + Y < y) = P((X, Y ) ∈ {(u, v) : u + v < y}) =fX,Y (u, v) dudvu+v<yy−uZZ∞=fX (u)−∞Zy=−∞fY (v) dvdu =−∞ ∞ZZyZ∞fX (u)−∞fX (u)fY (t − u) dufY (t − u) dtdu =−∞dt.−∞Ìû çäåñü âîñïîëüçîâàëèñü ñâîéñòâîì fX,Y (u, v) = fX (u)fY (v) äëÿ íåçàâèñèìûõ Xè Y è çàìåíîé ïåðåìåííîé t = u + v . Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ, èáóäåò èñêîìîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû.
Òåîðåìà äîêàçàíà.Îáà èíòåãðàëà, ïðèñóòñòâóþùèå â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû, íàçûâàþòñÿ ñâåðòêàìè ïëîòíîñòåé fX è fY .Ïðîäåìîíñòðèðóåì íà ïðèìåðàõ, êàê ðàáîòàåò îïåðàöèÿ ñâåðòêè.Òåîðåìà 6. Ïóñòü X1 è X2 íåçàâèñèìû, X1 ⊂= Γα, λ1 , X2 ⊂= Γα, λ2 . ÒîãäàX1 + X2 ⊂= Γα, λ1 +λ2 .Äîêàçàòåëüñòâî.Z ∞fX1 +X2 (t) =γα,λ1 (u) γα,λ2 (t − u) du.−∞37Ïîñêîëüêó γα,λ (u) = 0 ïðè u ≤ 0, òî ñòîÿùèå ïîä èíòåãðàëîì ôóíêöèè îáå îòëè÷íûîò íóëÿ òîëüêî åñëè îäíîâðåìåííî u > 0 è t − u > 0. Ïðè t ≤ 0 ýòè íåðàâåíñòâàíåñîâìåñòíû, ò. å.
fX1 +X2 (t) = 0. Åñëè t > 0, òî ïîäûíòåãðàëüíûå ôóíêöèè îòëè÷íûîò íóëÿ ïðè 0 < u < t, ïîýòîìóZ tαλ1 λ1 −1 −αu αλ2fX1 +X2 (t) =ue(t − u)λ2 −1 e−α(t−u) duΓ(λ2 )0 Γ(λ1 )Z tλ1 +λ2αuλ1 −1 (t − u)λ2 −1 du.=e−αtΓ(λ1 )Γ(λ2 )0Ñäåëàåì çàìåíó u = vt. Òîãäàαλ1 +λ2fX1 +X2 (t) =tλ1 +λ2 −1 e−αtΓ(λ1 )Γ(λ2 )Z1v λ1 −1 (1 − v)λ2 −1 dv.0Ïîñëåäíèé èíòåãðàë îò t óæå íå çàâèñèò. Ýòî êîíñòàíòà, êîòîðóþ ìîæíî îáúåäèíèòü ñ êîíñòàíòàìè, ñòîÿùèìè â íà÷àëå ôîðìóëû. Íà ýòîì äîêàçàòåëüñòâî ìîæíîçàâåðøèòü, ïîòîìó ÷òî ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå âèäà C tλ1 +λ2 −1 e−αt , ò.å. ïëîòíîñòüãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè (α, λ1 + λ2 ).
Ìîæíî, âïðî÷åì, è óòî÷íèòü çíà÷åíèå êîíñòàíòû. Óêàçàííûé èíòåãðàë èçâåñòåí â òåîðèè êàê áåòà-ôóíêöèÿZ 1Γ(λ1 )Γ(λ2 )B(λ1 , λ2 ) =v λ1 −1 (1 − v)λ2 −1 dv =.Γ(λ1 + λ2 )0Ïîñëåäíåå ìîæíî íàéòè â òàáëèöàõ èíòåãðàëîâ. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñëåäñòâèå. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , . . . , Xn íåçàâèñèìû è âñå Xi ⊂= Eα , òîX1 + . . . + X n ⊂= Γα,n .Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî Eα = Γα,1 .= Φα2 , σ22 . ÒîãäàÒåîðåìà 7.
Ïóñòü X1 è X2 íåçàâèñèìû, X1 ⊂= Φα1 , σ12 , X2 ⊂X1 + X2 ⊂= Φα1 +α2 , σ12 +σ22 .Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì íîâûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíûY1 =X1 − α1,σ1Y2 =X2 − α2.σ1Òîãäàσ2 X2 − α2⊂= Φ0, σ22 /σ12 .σ1 σ2Åñëè ìû äîêàæåì, ÷òî Y1 + Y2 ⊂= Φ0, 1+σ22 /σ12 , òî ïî ñâîéñòâó ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèéX1 + X2 = σ1 (Y1 + Y2 ) + α1 + α2 ⊂= Φα1 +α2 , σ12 +σ22 .Y1 ⊂= Φ0, 1 ,Y2 =Îáîçíà÷èì äëÿ êðàòêîñòè θ2 = σ22 /σ12 . ÒîãäàZ ∞u21(t − u)21√ exp − 2 √ exp −du =fY1 +Y2 (t) =2θ22π−∞ θ 2πZ ∞11 u222exp −+ u − 2tu + tdu ==2πθ −∞2 θ2(!)rrZ ∞22222111+θ1+θθθt=exp −u2 2 − 2ut+ t2+du =2πθ −∞2θθ21 + θ21 + θ2 1 + θ238=21texp −2πθ2(1 + θ2 ) 1exp − 2−∞Z∞rur1 + θ2−tθ2θ21 + θ2!2 du.Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîérv=ur1 + θ2θ2−t.θ21 + θ2Òîãäà 2Z ∞vt21√exp −dvexp −fY1 +Y2 (t) =22(1 + θ )22π 1 + θ2−∞1t2.= pexp −2(1 + θ2 )2π(1 + θ2 )Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñëåäñòâèå. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
