1625915142-52fa2794958ee6e606a6276d57de83ae (843872), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Îáîçíà÷èì ÷èñëî áðàêîâàííûõ ñïè÷åê Sn . Òîãäà ãîäíûõ ñïè÷åê áóäåò58â êîðîáêå íå ìåíåå 100, åñëè Sn ≤ x. Èç ïðèâåäåííîé âûøå îöåíêè çàêëþ÷àåì, ÷òîïðèáëèæåíèå Ïóàññîíà äàåò â íàøåì ñëó÷àå âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíóþ òî÷íîñòü.Ñ÷èòàÿ äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî np = (100 + x)0.015 ' 1.5, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèåP(Sn ≤ x) =xXP(Sn = k) ' e−1.5k=01.521.5x1 + 1.5 ++ ... +.2x!Òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ýòà âåðîÿòíîñòü áûëà íå ìåíåå 0.95. Íåòðóäíî âû÷èñëèòü, ÷òî äëÿýòîãî äîñòàòî÷íî âçÿòü x = 4 â ïðàâîé ÷àñòè.59Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà×àñòü II.5.5.1.ÂâåäåíèåÎñíîâíûå ïîíÿòèÿÏðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî n ðàç ïðîèçâîäèòñÿ íåêîòîðûé ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò èêàæäûé ðàç ïî ðåçóëüòàòàì ýêñïåðèìåíòà ìû èçìåðÿåì êàêóþ-òî õàðàêòåðèñòèêó.Ðåçóëüòàòîì íàøèõ èçìåðåíèé (èëè íàáëþäåíèé) áóäåò ñîâîêóïíîñòü èç n ñëó÷àéíûõâåëè÷èí X1 , X2 , .
. . , Xn , êîòîðûå áóäåì íàçûâàòü íàáëþäåíèÿìè. Ìû ïðåäïîëàãàåì,÷òî ðåçóëüòàòû îòäåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ íå âëèÿþò äðóã íà äðóãà, ïîýòîìó ñ÷èòàåì íàáëþäåíèÿ íåçàâèñèìûìè. Êðîìå òîãî, îíè áóäóò ïðåäïîëàãàòüñÿ îäèíàêîâîðàñïðåäåëåííûìè â ñîîòâåòñòâèè ñ íåêîòîðîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F , ïîñêîëüêó ïîâòîðÿåòñÿ îäèí è òîò æå ýêñïåðèìåíò. Ñëó÷àéíûé âåêòîð X = (X1 , X2 , . . . , Xn )íàçûâàåòñÿ âûáîðêîé. Áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå X ⊂= F . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîêàæäîå íàáëþäåíèå Xi ⊂= F . Ïðè ýòîì îáû÷íî óïîòðåáëÿþòñÿ ñëîâà ¾âûáîðêà èçðàñïðåäåëåíèÿ F ¿, õîòÿ íà ñàìîì äåëå F îòíîñèòñÿ ê îòäåëüíûì íàáëþäåíèÿì.Çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X ïðèíàäëåæàò Rn ýòî ïðîñòðàíñòâî çäåñü áóäåòíàçûâàòüñÿ âûáîðî÷íûì. çàäà÷àõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, êàê ïðàâèëî, ìû îïåðèðîâàëè èçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ñòðîèëè ïî íèì è èçó÷àëè ðàçíûå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè, èññëåäîâàëè ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ñóìì áîëüøîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ è ò.
ä. ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ äðóãèå çàäà÷è.  êà÷åñòâåèñõîäíîãî ìàòåðèàëà ìû ðàñïîëàãàåì âûáîðêîé X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) îíà ïîëó÷åíà â ðåçóëüòàòå n-êðàòíîãî ïîâòîðåíèÿ ýêñïåðèìåíòà. Îäíàêî ðàñïðåäåëåíèå F ,êîòîðîìó ïîä÷èíÿþòñÿ íàáëþäåíèÿ, íåèçâåñòíî ïîëíîñòüþ èëè ÷àñòè÷íî, â ðàçíûõçàäà÷àõ ïî-ðàçíîìó. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû óìåíüøèòü íåîïðåäåëåííîñòü íàøèõ çíàíèé î ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F , îñíîâûâàÿñü íà èíôîðìàöèè, çàëîæåííîéâ âûáîðêå.Ðàçóìååòñÿ, åñëè áû ìû çíàëè â ïîëíîé ìåðå, êàê óñòðîåíà, ñêàæåì, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X1 , òî è åå ðàñïðåäåëåíèå íàøëè áû â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåìF (y) = P(X1 < y). Îäíàêî ïðîáëåìà â òîì, ÷òî íà ïðàêòèêå ðåçóëüòàòîì íàáëþäåíèé ÿâëÿåòñÿ âñåãî ëèøü íàáîð ÷èñåë, íàçûâàåìûé, êñòàòè, òîæå âûáîðêîé.
Ê íåìóíàäî îòíîñèòüñÿ êàê ê îäíîìó êîíêðåòíîìó çíà÷åíèþ âåêòîðà X (èëè êàê ê n íåçàâèñèìûì ðåàëèçàöèÿì îäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû). Ïî îäíîìó çíà÷åíèþ âåêòîðà X(èëè ïî n çíà÷åíèÿì îäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû) ïîëíîñòüþ âîññòàíîâèòü ðàñïðåäåëåíèå F íåâîçìîæíî. Ëþáûå âûâîäû áóäóò íîñèòü âåðîÿòíîñòíûé õàðàêòåð. ýòîé ñèòóàöèè ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà ïðåäëàãàåò öåëûé ðÿä ïðîöåäóð èìåòîäîâ, ïîçâîëÿþùèõ ñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé òî÷íîñòüþ âîññòàíîâèòü íåäîñòàþùèå çíàíèÿ î ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F .Òðàäèöèîííî ðàññìàòðèâàþòñÿ òðè áëîêà çàäà÷.Ïåðâûé èç íèõ ïîñâÿùåí îöåíèâàíèþ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ. Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå âûáîðêè çàâèñèò îò íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ.
Íàøàåäèíñòâåííàÿ öåëü ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ýòîãî ïàðàìåòðà. Êîëü ñêîðî íàéòè çíà÷åíèå ïàðàìåòðà â òî÷íîì âèäå íàì íå óäàñòñÿ, ìû áóäåì äîâîëüñòâîâàòüñÿ åãî îöåíêàìè, ò. å. ïðèáëèæåíèÿìè, êîòîðûå ñòðîÿòñÿ íà îñíîâå èìåþùèõñÿ íàáëþäåíèé.60Çäåñü áóäóò ïðåäëîæåíû ìåòîäû, ïîçâîëÿþùèå ñðàçó ïîëó÷àòü âåñüìà òî÷íûå îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà.Äðóãîé òèï çàäà÷ ñîñòîèò â íàõîæäåíèè èíòåðâàëà, â êîòîðîì ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ ñîäåðæèòñÿ íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð. Ýòîò áëîê çàäà÷ íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëüíûì îöåíèâàíèåì.È íàêîíåö, òðåòèé áëîê ýòî çàäà÷è ïðîâåðêè ãèïîòåç î íåèçâåñòíîì ðàñïðåäåëåíèè âûáîðêè.Áîëåå ïîäðîáíî ýòè çàäà÷è áóäóò îáñóæäàòüñÿ íèæå.5.2.Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêèÍà÷íåì ñ ïîíÿòèÿ âàðèàöèîííîãî ðÿäà.Ïîëó÷åííûå íàìè íàáëþäåíèÿ íå îáÿçàíû ðàñïîëàãàòüñÿ â âîçðàñòàþùåì ïîðÿäêå, õîòÿ ýòî ÷àñòî áûâàåò ïîëåçíî.
Ðàñïîëîæèâ íàáëþäåíèÿ â ïîðÿäêå íåóáûâàíèÿ,ïîëó÷èì óïîðÿäî÷åííóþ âûáîðêóX(1) ≤ X(2) ≤ . . . ≤ X(n) ,êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ âàðèàöèîííûì ðÿäîì. Ýëåìåíòû âàðèàöèîííîãî ðÿäà íàçûâàþòñÿ ïîðÿäêîâûìè ñòàòèñòèêàìè: X(1) ïåðâàÿ ïîðÿäêîâàÿ ñòàòèñòèêà, X(2) âòîðàÿ ïîðÿäêîâàÿ ñòàòèñòèêà è ò. ä. Âîîáùå, â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå ïðèíÿòîôóíêöèè îò âûáîðêè íàçûâàòü ñòàòèñòèêàìè.Åñëè èçâåñòíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F âûáîðêè, òî áåç òðóäà ìîæíî íàéòèðàñïðåäåëåíèå ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê.
Íàïðèìåð:P(X(n) < y) = P(X1 < y, X2 < y, . . . , Xn < y) = F n (y).Äàëåå ââåäåì ïîíÿòèå ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.Îïðåäåëåíèå. Ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàåòñÿFn∗ (y) =ν(y),nãäå ν(y) ÷èñëî íàáëþäåíèé Xi òàêèõ, ÷òî Xi < y . Äðóãèìè ñëîâàìè,0, y ≤ X(1) ,kFn∗ (y) =, X(k) < y ≤ X(k+1) , k = 1, . . .
, n − 1,n1, y > X(n) .Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ñâîåìó òèïó ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíîé, îíàèìååò ñêà÷êè, ðàâíûå 1/n, âî âñåõ òî÷êàõ Xi .∗Fn (y)61X(1) X(2) X(3) . . .2/n1/n061-yX(n)Òàêèì îáðàçîì, ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñàìà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé,ïîñêîëüêó åå ñêà÷êè ïðîèñõîäÿò â ñëó÷àéíûõ òî÷êàõ.Ïóñòü X ⊂= F . Îêàçûâàåòñÿ òîãäà, ÷òî åñëè óâåëè÷èâàòü ÷èñëî íàáëþäåíèé, òîýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fn∗ (y) áóäåò ïðèáëèæàòüñÿ ê F (y). Îá ýòîìãîâîðèòñÿ â ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè.Òåîðåìà ÃëèâåíêîÊàíòåëëè. Ïóñòü X ⊂= F , òîãäà ïðè n → ∞Psup |Fn∗ (y) − F (y)| → 0.yÄîêàçàòåëüñòâî. Ìû äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå â îñëàáëåííîì âàðèàíòå, áåç çíàêà sup, ò.
å. ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî y ïðè n → ∞PFn∗ (y) → F (y).Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû(1, Xi < y,Zi =,i = 1, . . . , n.0, èíà÷å,Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Z1 , . . . , Zn íåçàâèñèìû, ïîñêîëüêó ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îòíåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé, è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû ïî çàêîíó Áåðíóëëè:P(Zi = 1) = P(Xi < y) = F (y),P(Zi = 0) = 1 − F (y), i = 1, . . . , n.Êðîìå òîãî, Z1 + . . .
+ Zn = ν(y). Ïîýòîìó ïî çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåëFn∗ (y) =Z1 + . . . + Zn P→ EZ1 = F (y),n÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ýòà òåîðåìà ëåæèò â îñíîâå ìíîãèõ ñòàòèñòè÷åñêèõ âûâîäîâ. Îíà äàåò íàì ïðàâî èñïîëüçîâàòü ïðè áîëüøèõ n ýìïèðè÷åñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ Fn∗ âìåñòîíåèçâåñòíîé òåîðåòè÷åñêîé (èëè èñòèííîé) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F .Ïî âûáîðêå ìîæíî òàêæå ñòðîèòü ïðèáëèæåíèÿ äëÿ íåèçâåñòíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, åñëè îíà ñóùåñòâóåò. Ïðîñòåéøåå èç íèõ íàçûâàåòñÿ ãèñòîãðàììîé.
Äëÿåå ïîñòðîåíèÿ âîçüìåì êàêîé-íèáóäü îòðåçîê [a, b], ñîäåðæàùèé âñå íàáëþäåíèÿ, èðàçîáüåì åãî íà k ðàâíûõ ïî äëèíå îòðåçêîâ ∆1 , ∆2 , . . . , ∆k . Ïóñòü äëèíà êàæäîãî èçýòèõ ìàëûõ îòðåçêîâ ðàâíà h. Íà êàæäîì îòðåçêå ∆i , êàê íà îñíîâàíèè, ïîñòðîèìïðÿìîóãîëüíèê ñ âûñîòîé, ðàâíîé νi /nh, ãäå νi ÷èñëî íàáëþäåíèé, ïîïàâøèõ â ∆i ,i = 1, . . .
, k , ν1 + . . . + νk = n.6∆1∆2∆3... 062-∆kÂåðõíèé êîíòóð ýòîé ôèãóðû, ñîñòàâëåííûé èç ãîðèçîíòàëüíûõ îòðåçêîâ, è åñòüãèñòîãðàììà. Ïîïðîáóåì ïîíÿòü, ÷òî îíà â íåêîòîðîì ñìûñëå ïðèáëèæàåò íåèçâåñòíóþ ïëîòíîñòü f ðàñïðåäåëåíèÿ íàáëþäåíèé. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà, òî ïðèáîëüøèõ n â ñèëó çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåëZνif (t) dt ' f (t0 )h,' P(X1 ∈ ∆i ) =n∆iãäå t0 ∈ ∆i íåêîòîðàÿ ñðåäíÿÿ òî÷êà.
Èíà÷å ãîâîðÿ, νi /nh ïðèáëèæåííî ðàâíÿåòñÿçíà÷åíèþ ïëîòíîñòè f â íåêîòîðîé âíóòðåííåé òî÷êå îòðåçêà ∆i .Ãèñòîãðàììà òåì ñàìûì ÿâëÿåòñÿ ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèåé. Åñëè æå ïëîòíîñòü fíåïðåðûâíà, òî, êàê èçâåñòíî, ëó÷øèé ðåçóëüòàò äàåò ïðèáëèæåíèå åå íåïðåðûâíûìèôóíêöèÿìè. Ìû ìîæåì ìîäèôèöèðîâàòü ãèñòîãðàììó, ñîåäèíèâ îòðåçêàìè ïðÿìûõñåðåäèíû ãîðèçîíòàëüíûõ îòðåçêîâ. Ïîëó÷åííàÿ òàêèì ñïîñîáîì ëîìàíàÿ áóäåò óæåãðàôèêîì íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, îíà íàçûâàåòñÿ ïîëèãîíîì ÷àñòîò. Çäåñü ñåðåäèíû êðàéíèõ îòðåçêîâ (ñîîòâåòñòâóþùèõ ∆1 è ∆k ) ñîåäèíÿþòñÿ ñ îñüþ àáñöèññ òàê,÷òîáû ïî-ïðåæíåìó ñóììàðíàÿ ïëîùàäü ïîä ãðàôèêîì ðàâíÿëàñü åäèíèöå.Îòìåòèì, ÷òî ïðè ïîñòðîåíèè ãèñòîãðàììû äîïóñêàëîñü ìíîãî ïðîèçâîëà: íè÷åãîíå ñêàçàíî îá èñõîäíîì îòðåçêå [a, b], î êîëè÷åñòâå è äëèíå ìàëûõ îòðåçêîâ ∆i .
Ñîâåðøåííî íå èñïîëüçóåòñÿ èíôîðìàöèÿ î òîì, êàê íàáëþäåíèÿ ðàñïîëàãàþòñÿ âíóòðèîòðåçêîâ ∆i . Ïîýòîìó ãèñòîãðàììà ÿâëÿåòñÿ âåñüìà ãðóáûì ïðèáëèæåíèåì äëÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè è åå ðåêîìåíäóåòñÿ èñïîëüçîâàòü òîëüêî íà ïðåäâàðèòåëüíûõ ýòàïàõ îáðàáîòêè ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèè ñ ïîñëåäóþùèì ïðèìåíåíèåìáîëåå òî÷íûõ ìåòîäîâ.Äàëåå ââåäåì ïîíÿòèå âûáîðî÷íûõ ìîìåíòîâ.Îáîçíà÷èì ñíà÷àëà ak = EX1k , k = 1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
