1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Если данные Коши на характеристике Γ таковы, что соотношения (3.8) выполнены, то производные по нормали к Γ определяютсяиз уравнений (3.4) неоднозначно, так как уравнение (3.4) с нулевойправой частью имеет нетривиальные решения. Этот факт позволяетстроить непрерывные кусочно-гладкие решения уравнений (3.2) путем“склейки” двух гладких решений по характеристической поверхностиh(x) = 0. При этом удовлетворяются условия непрерывности решенияи его производных по касательным к Γ направлениям, а производныев нормальном направлении могут быть разрывны.3.2Слабый разрывОпределение 5.

Гладкая гиперповерхность Γ является поверхностьюслабого разрыва решения U = ψ(x), если решение и его первые производные по касательным к Γ направлениям непрерывны в окрестности Γ, а некоторые из первых производных по направлению нормали,будучи непрерывны вне Γ и односторонне непрерывны на Γ, имеютразрыв первого рода в точках поверхности Γ.Легко проверяется, что решение уравнений газовой динамики сослабым разрывом удовлетворяет определению обобщенного движениягаза.Если Γ — поверхность слабого разрыва, то Γ-характеристика уравнений (3.2). Действительно, если на Γ вычислить разность предельных52значений величин, входящих в уравнения (3.4), то получим равенство[ ∂U ]|ξ|−2 A(ξ)= 0,(3.9)∂ξ Γ(здесь [.

. .]Γ — обозначение скачка функции на Γ). Так как на поверхности слабого разрыва [∂U/∂ξ] ̸= 0, то необходимо det A(ξ) = 0, а этои означает, что Γ является характеристикой.Пример 3.1. Пусть решение системы дифференциальных уравнений∂ri∂ri+ ki (r, x, t)= fi (r, x, t)∂t∂x(i = 1, . . . , n;r = (r1 , . . . , rn ),k1 < k2 < . . .

< kn )имеет слабый разрыв на характеристике x = xm (t), определяемой дифференциальным уравнением dx/dt = km . Вывести дифференциальныеуравнения для скачков производных на характеристике, если известнорешение системы при x ≥ xm (t).Решение. По определению слабого разрыва производные функцийrj в касательном направлении непрерывны на x = xm (t):[rjt + km rjx ] = 0.С учетом уравнений системы и соотношения [fj ] = 0 получаем равенство(km − kj )[rjx ] = 0.Следовательно, на характеристике[rjx ] = 0,j ̸= m.Выведем дифференциальное уравнение для [rmx ]. Для этого продифференцируем m-е уравнение системы по x:∑ ∂kmdm rmx∂km 2∂km+rjx rmx +r +rmx =dt∂rj∂rm mx∂xj̸=m∑ ∂fm∂fm∂fm=rjx +rmx +,∂rj∂rm∂xj̸=mdm∂∂=+ km .dt∂t∂xВычислим разность предельных значений на линии x = xm (t) величин,входящих в уравнение:( ∑ ∂k +dm∂k + ∂f + )∂k +∂k + +m +[rmx ]+rjx +2 m rmx+ m − m [rmx ]− m [rmx ]2 = 0.dt∂rj∂rm∂x∂rm∂rmj̸=m53+−Здесь φ± — предельные значения φ(xm (t) ± 0, t), [rmx ] = rmx− rmx.Коэффициенты полученного уравнения заданы, если заданы функцииrj (x, t) в области x ≥ xm (t).

Решение обыкновенного дифференциального уравнения определяет величину [rmx ](t), если известен начальный скачок производной [rmx ](0). Скачки производных по переменнойt определяются из соотношения[rmt ] = −km [rmx ].Для систем уравнений, не приводящихся к инвариантам Римана, после соответствующей модификации приведенных выше рассужденийполучаются дифференциальные уравнения, описывающие изменениескачков производных решения при движении вдоль характеристической кривой.3.3Характеристики уравнений газовой динамикиСистему уравнений газовой динамики можно представить в векторномвидеAt Ut + Ax Ux + Ay Uy + Az Uz = 0,(3.10)где U = (u, v, w, p, s)T ,ρ 0 0 0 ρ 0At =  0 0 ρ 0 0 00 0 0A =yρv00000ρv01000ρv00b = 1/(ρc2 ),0 0ρu 0 0 ρu0 0 x0 0 0, A =  0 1b 000 100010bv00000v,A =zρw0000Характеристическая матрица A(ξ) имеет видρχ 00ξ 0 0 ρχ 0η000ρχζ0A(ξ) =  ξηζ bχ 00000 χ5400ρu000ρw0001 00 00 0bu 00 u00ρw10001bw0,0000w.(ξ = (τ, ξ, η, ζ)).(3.11)Здесь χ = τ + uξ + vη + wζ.

Равенство detA(ξ) = 0 выполнено, еслиτ + uξ + vη + wζ = 0или√τ + uξ + vη + wζ = ∓c ξ 2 + η 2 + ζ 2 .Система уравнений газовой динамики — гиперболическая система; вкачестве направления гиперболичности можно выбрать η = (1, 0, 0, 0),при этомτ = −uξ − vη − wζбудет трехкратным корнем характеристического уравнения, каждыйиз корней√τ = −uξ − vη − wζ ∓ c ξ 2 + η 2 + ζ 2— однократным корнем. Соответствующие этим корням векторы λ(ξ)образуют базис в R5 .Поверхности h(x, t) = 0 называются контактными характеристиками, если функция h(x, t) удовлетворяет уравнениюht + uhx + vhy + whz = 0.(3.12)Звуковые характеристики двух семейств C ± определяются решениямидифференциальных уравнений:√(3.13)ht + uhx + vhy + whz ± c h2x + h2y + h2z = 0В дальнейшем контактные характеристики будут обозначаться символом C 0 , а звуковые — символами C + или C − соответственно выборузнака в (3.13).Если положить n = ∇x h|∇x h|−1 , Dn = −ht |∇x h|−1 , то из (3.13)следует соотношениеDn = un ± c (un = u · n).Звуковая характеристика, определяемая уравнением (3.13) со знаком“+” в правой части, движется в R3 в сторону области h(x, t) > 0 с нормальной скоростью un + c, а характеристика, соответствующая знаку“−” в (3.13), движется с нормальной скоростью un − c.Для построения характеристики на заданном решении достаточно решить задачу Коши для уравнений (3.12) или (3.13) с даннымиh(x, 0) = h0 (x).

При этом уравнение h0 (x) = 0 определяет начальноеположение характеристической поверхности.55Пример 3.2. Пусть задано решение уравнений газовой динамикиu = u1 (x, t), v = v1 (x, t), w = w1 (x, t), p = p1 (x, t), S = S1 (x, t).Найти уравнение контактной характеристики, если ее положение в момент времени t = 0 определено уравнением h0 (x, y, z) = 0.Решение.

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнений бихарактеристик):dtdx= 1,= u1 (x, y, z, t),ds′ds′dydz= v1 (x, y, z, t),= w1 (x, y, z, t),′dsds′ts′ =0 = 0, xs′ =0 = x0 , y s′ =0 = y0 , z s′ =0 = z0 .(3.14)Пусть t = s′ , x = x1 (s′ , x0 , y0 , z0 ), y = y1 (s′ , x0 , y0 , z0 ), z = z1 (s′ , x0 , y0 , z0 )— решение задачи Коши. Выразим x0 , y0 , z0 через x, y, z, t из полученных соотношений. Тогда функция()h(x, t) = h0 x0 (x, y, z, t), y0 (x, y, z, t), z0 (x, y, z, t)(3.15)удовлетворяет уравнениюht + uhx + vhy + whz = 0(3.16)и, следовательно, h(x, t) = 0 задает уравнение искомой характеристики. Действительно, так как x0 (x1 (s′ , x0 ), s′ ) = x0 при 0 ≤ s′ ≤ t, тоh(x1 (s′ , x0 ), s′ ) = h0 (x0 ) и)d (h x1 (s′ , x0 , y0 , z0 ), y1 (s′ , x0 , y0 , z0 ), z1 (s′ , x0 , y0 , z0 ), s′ = 0.dsЕсли положить в этом равенстве s′ = t, x1 = x и учесть уравнения(3.14), то получим равенство (3.16).

Выполнение начального условияh(x, 0) = h0 (x) следует из равенства x0 (x, 0) = x.Пример 3.3. Пусть задано решение уравнений газовой динамикиu = u1 (x, t),ρ = ρ1 (x, t),v = v1 (x, t),w = w1 (x, t),()S = S1 (x, t),p1 = f (ρ1 , S1 ) .Найти уравнение звуковой характеристики C − , если ее положение вмомент времени t = 0 определено уравнением h0 (x, y, z) = 0.56Решение. Введем обозначение P = hx , Q = hy , R = hz . Рассмотримзадачу Коши для системы уравнений (уравнений бихарактеристик):dxP;= u1 − c1 √ds′P 2 + Q2 + R2dyQ= v1 − c1 √;2ds′P + Q2 + R 2Rdzdt= w1 − c1 √= 1;;ds′ds′P 2 + Q2 + R2√dP=cP 2 + Q2 + R2 − u1x P − v1x Q − w1x R;1xds′√dQ= c1y P 2 + Q2 + R2 − u1y P − v1y Q − w1y R;′ds√dR= c1z P 2 + Q2 + R2 − u1z P − v1z Q − w1z R;′dsxs′ =0 = x0 , y s′ =0 = y0 , z s′ =0 = z0 , ts′ =0 = 0,P s′ =0 = h0x0 (x0 , y0 , z0 ), Qs′ =0 = h0y0 (x0 , y0 , z0 ),Rs′ =0 = h0z0 (x0 , y0 , z0 ).(3.17)Пусть соотношения t = s′ , x = x1 (s′ , x0 , y0 , z0 ), y = y1 (s′ , x0 , y0 , z0 ),z = z1 (s′ , x0 , y0 , z0 ) получены в результате решения задачи Коши (3.17).Выразим x0 , y0 , z0 через t, x, y, z.

Функцияh(x, t) = h0 (x0 (x, t), y0 (x, t), z0 (x, t))удовлетворяет уравнениюht + u1 hx + v1 hy + w1 hz = c1√h2x + h2y + h2z ,и следовательно, искомая звуковая характеристика задается уравнением h(x, t) = 0.Замечание. При доказательстве факта, что h(x, t) удовлетворяетуравнению для звуковой характеристики C − , используется то, что уравнения для P, Q, R получены дифференцированием исходного дифференциального уравнения звуковой характеристики по x, y, z и равенство h(x1 , y1 , z1 , s′ ) = h0 (x0 , y0 , z0 ).Приведенный выше алгоритм построения звуковой характеристической поверхности позволяет строить гладкое решение дифференциальных уравнений в “малом” по времени, так как обращение найденных отображений в общем случае возможно лишь для малых значений57t.

Обобщенные решения уравнений (3.13) могут определять негладкиеповерхности, имеющие ребра, складки и другие особенности.Понятие характеристики играет важную роль при качественноманализе газодинамических течений. Движущиеся в R3 характеристические поверхности являются волновыми фронтами, ограничивающимиобласти влияния возмущений, возникающих в течении. Например, еслипо покоящемуся газу распространяется непрерывная волна возмущения, то поверхность, по которой происходит примыкание возмущенногодвижения к невозмущенному, является характеристической поверхностью, так как только на таких поверхностях возможно непрерывноепримыкание двух решений уравнений газовой динамики с разрывомпроизводных.Если данные Коши u(x, 0) = φ(x) имеют слабый разрыв на поверхности Γ ⊂ R3 , то решение уравнений газовой динамики имеет слабыеразрывы на контактной и двух звуковых характеристиках, проходящихпри t = 0 через Γ.

Характеристики

Список файлов книги