1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Из первого закона термодинамики вытекает, что Q = A,т.е. Q также больше нуля. Это означает, что тепло, взятое из резервуара, полностью переходит в работу, что противоречит принципу Томсона— Кельвина.Пример 1.7. Теплота плавления льда при 1 атм и 0◦ C равна Lпл =1436,3 кал/моль, а теплота испарения при 1 атм и 100◦ C Lисп = 9717кал/моль. Считая, что средняя теплоемкость воды при p = 1 атм итемпературах 0 − 100◦ C равна 18,046 кал/(град· моль), вычислить разность между энтропией 1 моль льда при 1 атм и энтропией 1 моль парапри 1 атм и 100◦ C.Решение.
Согласно определению разность энтропий Sп − Sл мо25жет быть вычислена с помощью интеграла∫δQ/T , где интегрироЛ→Пвание идет по квазистатическому пути превращения льда в пар Л→В1 →В2 →П. Здесь Л — лед при 0◦ C, В1 — вода при 0◦ C, В2 — водапри 100◦ C. Итак, имеем∫∫∫Sп − Sл =δQ/T +δQ/T +δQ/T ∼=Л→В1В1 →В2(1436кал∼+ Cp=273 град · моль∫373273= (5,26 + 18,046 lnВ2 → ПкалdT )9717кал+=T град · моль373 град · молькалкал373+ 26,05)≃ 36,94.273град · мольград · мольПример 1.8. Пусть однокомпонентная двухфазная система находится в фазовом равновесии, и пусть L — количество теплоты, необходимое для перехода единицы массы вещества из первой фазы во вторую при заданной температуре T .
Доказать, что функция p = PΦ (T ),описывающая кривую фазового равновесия на плоскости (T, p), удовлетворяет уравнению Клапейрона — Клаузиуса:dPΦρ1 ρ2L,=dTT ρ1 − ρ2где ρ1 , ρ2 — плотности вещества в первой и второй фазах, L — удельнаятеплота фазового перехода.Решение. Вдоль кривой фазового равновесия тождественно удовлетворяется условие (1.28)ψ1 (PΦ (T ), T ) ≡ ψ2 (PΦ (T ), T ),где ψ1 и ψ2 — полные удельные термодинамические потенциалы (химические потенциалы) первой и второй фаз. Дифференцируя это тождество, получаем( ∂ψ∂ψ2 ) dPΦ∂ψ2∂ψ11−=−.∂p∂p dT∂T∂TТак как ∂ψ/∂p = τ , ∂ψ/∂T = −S то предыдущее соотношение перепишется так:S2 − S1dPΦ=.dTτ2 − τ126Приращение энтропии при постоянной температуре выражается формулой S2 − S1 = L/T , где L — указанная в задаче теплота.
В силуэтогоdPΦLLρ1 ρ2 L==−1 = T (ρ − ρ ) .dTT (τ2 − τ1 )T (ρ−1−ρ)12211.4Задачи1.1. При постоянной температуре 20◦ C идеальный газ квазистатически переходит из состояния с давлением 20 атм в состояние с давлением 1 атм. Какую работу совершает 1 моль газа (в джоулях)? Какоеколичество тепла (в калориях) необходимо передать газу?Ответ: A ∼= 7,26 · 103 Дж, Q ∼= 1,74 ккал/моль.1.2. Воздух характеризуется следующими параметрами: при p =21атм = 1,013 · 106 дин/см и T = 0◦ C его плотность ρ = 0,00129 г/см3 ,удельная теплоемкость при постоянном давлении Cp = 0,238 кал/(г·град)и γ = Cp /CV = 1,41.
Вычислить количество тепла, необходимое длянагревания воздуха от 0 до 20◦ C (а) при постоянном объеме; (б) припостоянном давлении. Начальный объем воздуха 27 м3 .Ответ: (а) Q = 1,176 · 105 кал; (б) Q = 1,658 · 105 кал.1.3. Уравнение состояния смеси из r видов идеальных газов имеетвидr∑pV = nRT, n =ni .i=1Здесь ni — число молей i-го компонента. Внутренняя энергия задаетr∑ся выражением U =ni CV0i T , где CV0i — мольная теплоемкость приi=1постоянном объеме i-го компонента. Найти CV и Cp смеси.rr∑∑Ответ: CV =ni CV0i , Cp =ni (CV0i + R).i=1i=11.4.
Вычислить удельную теплоемкость воздуха при постоянномобъеме, считая его смесью кислорода O2 и азота N2 с соотношениеммасс компонентов 23:77. Удельная теплоемкость газообразного кислорода при постоянном объеме равна 0,158 кал/(г·град), а газообразногоазота 0,176 кал/(г·град).Ответ: CV ∼= 0,172 кал/(г·град).1.5. Пусть δQ — теплота, необходимая для изменения температуры1 г вещества на величину dT при сохранении величины x. Показать,что удельная теплоемкость Cx = (∂Q/∂T )x определяется формулой( ∂ε )[( ∂ε ) ]( ∂τ )cx =+ p+.∂T τ∂τ T ∂T x271.6. Идеальный газ с постоянной теплоемкостью совершает адиабатический переход из состояния (p1 , V1 , T1 ) в состояние (p2 , V2 , T2 ).
Показать, что в данном процессе pV γ = const (γ = Cp /CV ), а работа A,совершаемая газом, равна A = CV (T1 − T2 ).1.7. Состояния идеального газа с постоянной теплоемкостью изменяются в соответствии с квазистатическим изотермически-адиабатнымциклом (циклом Карно), изображенным на рис. 1.2. Процессы 1 → 2и 3 → 4 изотермические, 2 → 3 и 4 → 1 адиабатические. ДоказатьсоотношениеQ2Q1+= 0,T1T2где Q1 — тепло, полученное от резервуара с температурой T1 при переходе 1 → 2, а Q2 — тепло от резервуара с температурой T2 , полученнойпри переходе 3 → 4.1.8.
Для газа с уравнением состояния Ван-дер-Ваальса (1.11) критической точкой K называется точка, в которой( ∂p )( ∂2p )== 0.∂V T∂V 2 TНайти значения давления pk , объема Vk и температуры Tk в критической точке и исследовать изотерму T = Tk на плоскости (p, V ). Какбудет вести себя изотермы T = T∗ на плоскости (p, V ) при T∗ > Tk иT∗ < Tk ?1 a8 aОтвет: pk =, Vk = 3nb, Tk =.227 b27 Rb1.9. Пусть уравнения состояния среды заданы в виде(а) ε = ε(τ, p), s = s(τ, p), T = T (τ, p);(б) ε = ε(s, T ), τ = τ (s, T ), p = p(s, T ).Найти соотношения, которым должны удовлетворять заданные функции.∂s∂ε∂S∂εОтвет: (а) T=+ p, T=;∂τ∂τ∂p∂p∂ε∂τ ∂ε∂τ(б) T =+p ,+p= 0.∂s∂s ∂T∂T1.10.
Доказать соотношение( ∂ε )( ∂ε ) ( ∂p )++ p = 0.∂τ p∂p τ ∂τ s1.11. Используя потенциалы Гиббса (1.20), доказать следующие соотношения Максвелла:( ∂T )( ∂p )( ∂T )( ∂V )=−;=;∂V S∂S V∂p S∂S p28( ∂S )∂V=T( ∂p )∂T;( ∂S )∂pTT=−( ∂V )∂T.p1.12. Доказать, что внутренняя энергия в идеальном газе есть функция только температуры.1.13. Показать, что скорость звука c (c2 = (∂p/∂ρ)S ) в идеальномгазе зависит только от температуры.1.14. Пусть уравнения состояния среды заданы в виде p = p(ρ, T ),ε = ε(ρ, T ). Найти выражение для скорости звука c как функции плотности ρ и температуры T .∂p ( p∂ε )/ ∂ε∂p+−.Ответ: c2 =∂ρ ∂T ρ2∂ρ∂T1.15. Вычислить якобиан перехода D(T, s)/D(p, τ ) от переменныхT , s к переменным p, τ .Ответ: D(T, s)/D(p, τ )=1.1.16. Показать, что ε(τ, T ) = ε1 (τ ) + ε2 (T ) тогда и только тогда,когда p = p(τ, T ) — линейная функция T .1.17.
Найти вид функции ε(τ, T ) для реального газа с уравнениемсостояния Ван-дер-Ваальса.aОтвет: ε = E(T ) − 2 , где M — молекулярная масса газа, E(T )M τ— произвольная функция.1.18. Показать, что в газе Ван-дер-Ваальса теплоемкость при постоянном объеме зависит только от температуры. Найти выражениедля удельной энтропии в предположении постоянства удельной теплоемкости CV .RОтвет: s = CV ln T + Mln(τ − b/M ) + s0 , где M — молекулярнаямасса газа, s0 — постоянная.1.19. Пусть в газе Ван-дер-Ваальса теплоемкость при постоянномобъеме CV постоянная.
Газ свободно адиабатически расширился, увеличив объем с V1 до V2 > V1 . Найти изменение температуры и энтропиипри этом расширении.Ответ:an2 V2 − V1T2 − T1 = −,CV V1 V2( V − nb )T22S2 − S1 = CV ln+ nR ln,T1V1 − nbгде n — число молей газа.1.20. Доказать формулуCp − CV = T( ∂p ) ( ∂τ ).∂T τ ∂T p291.21. Доказать, что при (∂p/∂τ )T < 0 (т.е. для устойчивых равновесных состояний) справедливо неравенство Cp > CV .1.22. Показать, что процесс свободного адиабатического расширения газа необратим.1.23.
При 25◦ C объем воды V определяется выражениемV = (18 − 7 · 10−4 p + 4,6 · 10−8 p2 ) см3 /мольдля давлений p в диапазоне от 1 до 1000 атм, а(∂V)p = (4,5 · 10−3 + 1,4 · 10−6 p) см3 /(град · моль).∂TОпределить работу, необходимую для сжатия 1 моля воды от 1 до1000 атм при 25◦ C и найти изменение внутренней энергии.Ответ: A ∼= 33 Дж/моль; △U = −124 Дж/моль.Указание: при вычислении △U использовать соотношение()∂S/∂p= −(∂V /∂T )p .T1.24.
Выписать условия для функции ε = ε(T ), задающей законизменения удельной внутренней энергии идеального газа в зависимостиот температуры, при выполнении которых газ будет нормальным (см.(1.22), (1.23)).1.25. Доказать, что функции состояния нормального газа удовлетворяют неравенствам−2ε(∂p/∂τ )s > p2 .2(∂ε/∂τ )p + p > 0,1.26. Калорическое уравнение состояние некоторых сред (вода, металлы) часто берется в виде так называемого двучленного уравнениясостоянияp = A(s)(ρ/ρ0 )γ − ρ0 c20 /γ (p > −ρ0 c20 /γ),где ρ0 , c0 — значения плотности и скорости звука среды в исходномнедеформированном состоянии. Найти выражение для удельной внутренней энергии ε в виде ε = e(τ, p), принимая ε = 0 при ρ = ρ0 и p = 0, ивыяснить, выполняютсяли условия нормальногогаза для таких сред.)(1Ответ: ε = γ−1τ p + c20 (τ /τ0 − 1) .1.27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
