1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Здесь p(e)— давление во внешней среде. Итак, в процессе 1 → 2 A1→2 = 0 иQ1→2 = 0 (процесс адиабатический!). Из первого закона термодинамики U2 − U1 = Q1→2 − A1→2 вытекает, что U2 = U1 . Следовательно, всостоянии “2” температура T2 = T1 .Далее, при переходе 2 → 3 имеем∫V1∫T3p2 dV = p2 (V1 − V2 ),A2→3 =Cp dT = Cp (T3 − T2 ),Q2→3 =V2T213где Cp — молярная теплоемкость при постоянном давлении. В изохорическом процессе 3 → 1 работа не совершается, т.е. A3→1 = 0. Если CV— молярная теплоемкость при постоянном объеме, то для совершенияпроцесса 3 → 1 затрачивается следующее количество теплоты:∫T1CV dT = CV (T1 − T3 ).Q3→1 =T3Из первого закона термодинамики получим:Q1→2 + Q2→3 + Q3→1 = A1→2 + A2→3 + A3→1 .Отсюда, подставляя значения для теплоты и работы, будем иметьCp (T3 − T1 ) − CV (T3 − T1 ) = p2 (V1 − V2 ).Из уравнения Клапейрона для состояний “2” и “3” следуют равенстваp2 V2 = RT1 ,p2 V1 = RT3 .Подставляя их в предыдущее уравнение, получимCp − CV = R.Пример 1.4.
Вычислить механический эквивалент тепла J, еслиизвестно, что для воздуха при нормальных температуре и давлении22(т. е. при T = 0◦ C, p = 1 атм = 1,013 · 106 дин/см = 1, 013 · 105 Н/м )3плотность ρ = 0,00129 г/см , удельная теплоемкость при постоянномдавлении cp = 0,235кал/(г · град) и ее отношение к теплоемкости припостоянном объеме γ = Cp /CV = 1,41. Предполагается, что воздухявляется идеальным газом, объем которого при этих условиях равен22,4 л/моль.Решение. Газовую постоянную R, выраженную в Дж/(моль·град),можно получить из уравнения состояния идеального газа для одного моля pV = RT .
Кроме того, эту постоянную можно выразить вкал/(моль·град) из соотношения Майера Cp − CV = R (см. пример 1.3).Если обозначить последнюю величину через R′ , то J = R/R′ Дж/кал.Итак, имеемR=pV1,013 · 106 · 22,4 · 103== 8,32 · 107 эрг/(моль · град) =T273= 8,32 Дж/(моль · град).14Масса m одного моля воздуха равнаm = ρV = 0,00129 · 22,4 · 103 ∼= 28,9 г/моль.Отсюда следуетCp = mcp = 28,9 · 0,238 ∼= 6,88 кал/(моль · град),CV =1Cp = 6,88/1,41 ∼= 4,88 кал/(моль · град).γСледовательно, J ∼=1.3RCp −CV=8,322,00= 4,16 Дж/кал.Второй закон термодинамики.
Основные термодинамические функции и условия равновесияПредположим, что при переходе рассматриваемой системы из состояния α в состояние α′ окружающая среда (термостат) переходит изсостояния β в состояние β ′ . Если существует принципиальная возможность возвратить систему из состояния α′ в состояние α, а термостатиз состояния β ′ в состояние β, то процесс перехода (α, β) → (α′ , β ′ )называется обратимым.Пусть система совершает циклический процесс α → α, при которомтермостат переходит из состояния β в состояние β ′ .
Цикл (α, β) →(α, β ′ ) называется обратимым циклом, если процесс (α, β) → (α, β ′ )обратим.Ясно, что квазистатические процессы и циклы являются обратимыми. Более того, так как квазистатические процессы являются равновесными, т.е. каждое промежуточное состояние системы равновесно,то в квазистатическом процессе каждый элементарный акт переходасистемы и термостата в новое состояние является обратимым.
В силу сказанного, совокупность обратимых процессов не сводится, вообщеговоря, только к квазистатическим процессам.Второй закон термодинамики так же, как и первый закон термодинамики, является эмпирическим и допускает различные его формулировки, эквивалентные друг другу. Одна из формулировок второгозакона термодинамики, носящая название принципа Томсона — Кельвина, гласит:невозможно превратить в работу все количество тепла, взятоеот тела с однородной температурой, не производя никаких другихизменений состояния системы.15pppppРис. 1.2В этой формулировке под термином “другие изменения” подразумеваются такие изменения системы, которые сохраняются после завершения процесса.Второе начало (закон) термодинамики имеет важное значение в теории тепловых двигателей — непрерывно действующих устройств, результатом работы которых является превращение теплоты в работу.Для производства работы нужно иметь два тела с разными температурами и вспомогательное тело, называемое рабочим телом, котороедолжно периодически многократно изменять свое состояние, совершаяциклический процесс.
На одном из участков этого процесса рабочее тело расширяется, совершая работу A1 за счет теплоты, полученной отболее нагретого тела, и частично за счет собственной внутренней энергии. На втором участке над рабочим телом совершается работа сжатияA2 . Часть этой работы идет на восстановление внутренней энергии рабочего тела, другая часть передается в виде теплоты менее нагретомутелу. Полезная работа A = A1 − A2 согласно первому закону термодинамики совпадает с разностью Q1 − Q2 , где Q1 — количество теплоты,полученной рабочим телом от более нагретых тел, Q2 — количествотеплоты, полученной от рабочего тела менее нагретыми телами.
Второе начало утверждает, что теплота, получаемая от более нагретыхтел, превращается в работу не полностью, часть теплоты переходит кменее нагретым телам (Q2 > 0). Рассмотрим цикл Карно, соответствующий обратимому круговому процессу превращения теплоты в работумежду двумя источниками теплоты с температурами T1 , T2 (рис. 1.2).Участок 1–2 соответствует изотермическому расширению, в процес16се которого рабочее тело находится в тепловом контакте с источникомтепла с температурой T1 , на участке 2–3 происходит адиабатическоерасширение (δQ = 0), участок 3–4 соответствует изотермическому сжатию, когда рабочее тело находится в тепловом контакте с источникомтеплоты с температурой T2 (T2 < T1 ), участок 4–1 соответствует адиабатическому сжатию.На участке 1–2 рабочее тело получает теплоту Q1 , на участке 3–4— теплоту Q2 .
Полезная работа за один цикл A = Q1 + Q2 . Из второгоначала термодинамики следует, что обязательно Q2 < 0 при положительной A. При этом термический коэффициент полезного действияη=Q1 + Q2< 1.Q1Из второго начала термодинамики следует также, что ни одна тепловаямашина не может иметь больший КПД, чем машина, соответствующаяциклу Карно, и что все обратимые тепловые машины имеют один и тотже КПД независимо от используемого цикла и рабочего тела (КПДзависит только от T1 , T2 ).Для идеального газа η можно вычислить в виде η = (T1 − T2 )T1−1 .Сравнение двух формул для η показывает, что в обратимом цикле длялюбого телаQ2Q1+= 0.T1T2Для необратимого цикла знак равенства нужно заменить на знак “ <′′ .Применение второго закона термодинамики к циклическому процессу, при котором система последовательно проходит n состояний ипоглощает при каждом переходе теплоту Qi (i = 1, .
. . , n) из тепловых(e)резервуаров Ri (i = 1, . . . , n) с температурами Ti дает неравенствоn∑((e) )Qi /Ti≤ 0.(1.12)i=1Если изменение состояний происходит непрерывно, то (1.12) принимаетвидIδQ≤ 0.(1.13)T (e)Знак равенства в (1.12), (1.13) имеет место только для обратимых процессов.17Пусть L и L′ представляют собой два квазистатических процесса,связывающих состояния α и α0 . Рассмотрим обратимый квазистатичеLL′ский цикл α0 → α → α0 . В силу (1.13) имеем (так как T (e) = T )∫αδQ+T∫α0δQ= 0.Tαα0(L)(L′ )Это означает, в силу обратимости процессов L и L′ , что интеграл∫αα0(L)∫αδQ=TδQTα0(L′ )не зависит от процесса, а определяется только начальным и конечнымсостояниями процесса. Вследствие этого, выбирая в качестве исходного состояния некоторое равновесное состояние α0 для любого другогосостояния α можно определить новый термодинамический параметрсостояния — энтропию S(α)∫αS(α) − S(α0 ) =δQ,T(1.14)α0где интегрирование производится по любому квазистатическому процессу, связывающему состояния α0 и α.Для бесконечно близких α0 и α будем иметьdS = δQ/T.(1.15)В статистической теории энтропия системы определяется выражениемS = k ln W , где k — постоянная Больцмана, а W — термодинамическаявероятность.
Последняя величина определяется как число равновероятных микросостояний, отвечающих рассматриваемому макросостоянию.Очевидно, что энтропия является экстенсивным параметром состояния системы. Из выражения (1.15) вытекает, что если система квазистатически переходит из состояния α в состояние α + δα, то количествотеплоты δQ в таком процессе дается выражением δQ = T dS, т.е. вквазистатических процессах энтропия S играет роль “тепловой координаты” по аналогии с обобщенными координатами при вычисленииработы, совершаемой системой.18В общем случае для процесса перехода системы из состояния α1 всостояние α2 второй закон термодинамики выражается неравенством∫α2α1δQ≤ S(α2 ) − S(α1 ),T (e)(1.16)где T (e) — температура термостата. Для бесконечно близких значенийсостояний α1 и α2 соотношение (1.16) принимает видδQ ≤ T (e) dS.(1.17)В (1.16) и (1.17) знак равенства имеет место только для обратимых процессов.
Из второго закона термодинамики вытекает важное следствие:в изолированной (или адиабатно изолированной) системе энтропия может только возрастать.Неравенство (1.16) дает правило определения направления развития реальных процессов, происходящих в системе, когда она подвергается внешнему воздействию, или когда в ней происходят самопроизвольные процессы (химические реакции, фазовые переходы).Для квазистатических процессов в однокомпонентной двухфазнойсистеме первый закон термодинамики (1.13) будет записываться в силу(1.6) и (1.15) следующим образом:T dS = dU + pdV − µ1 dm1 − µ2 dm2 ,(m1 + m2 = const).(1.18)Для квазистатических процессов в термомеханической системе первый закон термодинамики имеет видT dS = dU + pdV.(1.19)Уравнение (1.19), играющее ключевую роль в газовой динамике, будемназывать основным термодинамическим тождеством.Так как (1.19) есть уравнение в полных дифференциалах, а системаявляется двухпараметрической средой, то для описания всевозможныхсостояний этой системы необходимо задать, по крайней мере, еще однуфункциональную связь между величинами T , S, p, V , U .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
