1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поэтому расположениеадиабат H1 , H2 и изэнтропы s = s2 будет таким, как на рис. 2.2.2.3Дифференциальные уравненияВ классе непрерывных движений газа интегральные законы сохранения могут быть преобразованы к соответствующим дифференциаль38ным уравнениям. В основе этих преобразований лежит следующая формула дифференцирования интегралов:)∫∫∫∫∫∫ (d∂FF (x, t)dω =+ v · ∇F + F divv dω(2.15)dt∂tω(t)ω(t)∂F+ v · ∇F называется∂tполной (материальной, субстациональной) производной величины FdFпо времени и обозначается символом.dtДифференциальные уравнения движения невязкого, нетеплопроводного (κ = 0) газа в случае отсутствия массовых сил (f = 0) имеют вид(ω(t) — индивидуальный объем). Выражениеdv 1+ ∇p = 0,dtρdρ+ ρdivv = 0,dtds= 0.dtСистема уравнений (2.16) замыкается уравнением состояния:(())1p = f (ρ, s),f (ρ, s) ≡ g,s.ρ(2.16)(2.17)Первое уравнение системы (2.16), называемое уравнением импульсов,может быть записано в виде (форма Громеки—Ламба)()∂v1 21+∇|v| + ∇p = v × ω,(2.18)∂t2ρгде ω = rotv, а знак “×” означает векторное произведение.Движение газа, в котором ω = 0, называется безвихревым или потенциальным.
В случае потенциального движения существует функция φ(x, t), называемая потенциалом скорости, с которой справедливопредставление v = ∇φ. Для изэнтропических (s ≡ const) потенциальных движений из (2.18) вытекает интеграл Коши—Лагранжа:∂φ 1+ |∇φ|2 + i = A(t),(2.19)∂t2где i = ε + pτ — удельная энтальпия. ()∂v∂ρ∂sВ установившихся движениях газа= 0,== 0 вдоль∂t∂t∂tq2линий тока сохраняются энтропия и полная энтальпия h =+ i, где2q = |v|. Уравнениеq2+ i = h0 (L)(2.20)239Рис. 2.3называется интегралом Бернулли.Величина h0 (L) сохраняет постоянные значения вдоль линий тока(вообще говоря, разные на различных линиях). Для безвихревого изэнтропического установившегося движения h0 постоянна всюду в областитечения.Следующий пример показывает, как из интегральных законов сохранения можно получить дифференциальные уравнения, описывающие в гидравлическом приближении течение газа в трубе.Пример 2.2.
По теплоизолированному каналу переменного сечения в установившемся режиме течет теплопроводный газ. Предполагая величины v, p, ρ распределенными однородно на плоских сечениях, ортогональных “средней” линии тока x = x(ξ) (ξ — длина дуги),вывести приближенные дифференциальные уравнения, описывающиедвижения газа (гидравлическое приближение).Решение. Обозначим через l(ξ) орт касательной к линии тока x =x(ξ). Так как ξ — длина дуги, то l = dxdξ . Поскольку в плоском сеченииSξ (рис. 2.3), ортогональном l(ξ), величины v, p, ρ постоянны, то онимогут быть представлены как функции ξ:p = p(ξ),ρ = ρ(ξ),v = q(ξ)l(ξ).(2.21)Для вывода искомых дифференциальных уравнений воспользуемся интегральными законами сохранения массы, импульса и энергии вформе (2.2).
В качестве объема Q рассмотрим область, ограниченнуюплоскими нормальными к линии x = x(ξ) сечениями Sξ , Sξ+∆ξ и стенкой S0 канала, отсекаемой этими сечениями (см. рис. 2.3). Обозначивчерез F (ξ) площадь сечения Sξ , получим следующее уравнение из закона сохранения массы:(ρqF )|ξ+∆ξ − (ρqF )|ξ = 0.Поделив это равенство на ∆ξ и устремив ∆ξ к нулю, придем к уравне40ниюd(ρqF )= 0.dξ(2.22)Обратимся теперь к закону сохранения импульса. После вычисления поверхностных интегралов по Sξ и Sξ+∆ξ этот закон дает следующее соотношение:∫∫[ 2][ 2](ρq F + pF )l ξ+∆ξ − (ρq F + pF )l ξ +p ndσ = 0.(2.23)S0Здесь, как и в предыдущем случае, использовано условие v · n|S0 = 0.Последнее слагаемое в (2.23) преобразуется следующим образом:∫∫∫∫∫∫p ndσ = p(ξ)ndσ + O(∆ξ)ndσ =S0S0(∫∫= p(ξ)ndσ + O(∆ξ) = p(ξ)S0∫∫−S0)∫∫ndω −Sξ+∆ξndω+ O(∆ξ) =Sξ[]= −p(ξ) (lF )ξ+∆ξ − (lF )ξ + O(∆ξ),где O(∆ξ) удовлетворяет соотношениюlim∆ξ→0O(∆ξ)= 0.∆ξПоделив (2.23) на ∆ξ и устремив ∆ξ к нулю, получим равенство]d(lF )d [ 2(ρq F + pF )l − p(ξ)= 0.dξdξ(2.24)( )dl= 0, то после скалярного умножения уравнения (2.24)Так как l · dξна l оно преобразуется к виду]d [ 2dFρq F + pF − p(ξ)= 0.dξdξВ силу уравнения (2.22) последнее соотношение эквивалентно следующему:dq1 dpq+= 0.(2.25)dξρ dξ41Аналогичные выкладки с привлечением закона сохранения энергии играничных условий на S0 :v · n = 0, κ∇T · n = 0 приводят куравнению[ ()]d1 2dTρq + ε qF + pqF − κF = 0.(2.26)dξ2dξИнтегрирование уравнения (2.22) дает равенствоρqF = G (= const).Величина G называется расходом газа и равна массе газа, протекающего по каналу в единицу времени через его сечение.
Используя этосоотношение, уравнение (2.22), основное термодинамическое тождество(1.19), преобразуем (2.26) к виду()ds1 ddTT=κF.(2.27)dξG dξdξВ итоге получена система уравнений:ρqF = G;1 dpdq+= 0;dξρ dξ()ds1 ddTT=κF.dξG dξdξq(2.28)При заданных G и F (ξ) система (2.28) в совокупности с термодинамическими уравнениями состояния образует замкнутую систему уравнений,описывающую стационарное движение теплопроводного газа в каналес теплоизолированными стенками в гидравлическом приближении.В примере 2.3 дается вывод дифференциальных уравнений, описывающих простые волны — частные решения системы уравнений (2.16),заданные соотношениямиv = v(α),ρ = ρ(α),p = p(α),где α = α(x, t).Пример 2.3. Показать, что движение газа в невырожденной простой волне (с давлением p ̸= const) является изэнтропическим и безвихревым, а поверхности уровня α(x, t) = const — плоскими.
Вывестиуравнения, описывающие простые волны.42Решение. Для указанных частных решений справедливы формулыdαdv= v′ (α) ,dtdtdρdα= ρ′ (α) ,dtdtdivv = v′ (α) · ∇α.С учетом этих соотношений уравнения газовой динамики (2.16) записываются в видеdα 1 ′v′+ p ∇α = 0;dtρ′ dα(2.29)ρ+ ρv′ · ∇α = 0;dtdαs′= 0.dtТак как p′ (α) ̸≡ 0, то из первых двух уравнений (2.29) следует, чтоdαdt ̸≡ 0. Из последнего уравнения (2.29) вытекает, что s ≡ const — изэнтропичность движения газа.
После векторного умножения первогоуравнения (2.29) на ∇α получим равенство rotv = ∇α × v′ = 0. Следовательно, течение в простой волне потенциально. Равенство v′ ×∇α = 0позволяет представить ∇α в виде ∇α = k(x, t)v′ (α), где k(x, t) — некоторая скалярная функция. Из второго уравнения (2.29) следует, что∂αρ+ v · ∇α = − ′ v′ · ∇α,∂tρ()()∂αρρ= −k v · v′ + ′ |v′ |2 = −k qq ′ + ′ |v′ |2 ,∂tρρгде q = |v|. Приведенное выше представление ∇α и αt позволяет заключить, что нормаль к каждой поверхности α = const имеет одно ито же направление для всех точек гиперповерхности.
Это означает, чтогиперповерхность α = const является плоскостью.Домножив первое уравнение (2.29) скалярно на ∇α и заметив, чтоp′ = c2 ρ′ , получим с учетом второго уравнения (2.29) уравнение дляфункции α(x, t):( )2dα− c2 |∇α|2 = 0.(2.30)dtИз (2.30) следует, что гиперповерхности α(x, t) = const являются звуковыми характеристиками (см. разд.
3).Из первых двух уравнений системы (2.29) получаем уравнениеρ2 |v′ |2 = ρ′ p′ ,43(2.31)связывающее только функции переменной α. Так как()ρdα = −k qq ′ + ′ |v′ |2 dt + kv′ dx =ρ( ())1= k − qq ′ + ′ p′ dt + v′ · dx ,ρто на поверхности α = const необходимо()p′′′v · dx − qq +dt = 0.ρПоскольку в этом уравнении множители при dx и dt постоянны наповерхности α = const, его можно проинтегрировать:()p′′′v · x − qq +t = F (α).(2.32)ρЗдесь F (α) — произвольная функция.Уравнения (2.30)–(2.32) полностью описывают рассматриваемый классрешений — невырожденные (p ̸= const) простые волны.2.4Задачи2.1. Пусть ω(t) — индивидуальный объем, а Ω(t) — произвольно меняющийся со временем объем такой, что ω(t0 ) = Ω(t0 ).
Доказать соотношение( ∫∫∫))( ∫∫∫∫∫ddF dω F dω F (v · n − Dn ) dσ.=+dtdtω(t)t=t0t=t0Ω(t)Σ(t0 )Здесь Σ(t) — граница объема Ω(t), Dn — скорость перемещения Σ(t)в направлении внешней нормали n к Σ(t), v — вектор скорости, F —произвольная функция переменных x, t.2.2. Движущаяся поверхность задана уравнением h(x, t) = 0. Доказать, что Dl — скорость перемещения поверхности в направлениипроизвольного вектора l, |l| = 1, вычисляется по формулеDl = −ht.(l, ∇h)2.3.
Вывести уравнения, описывающие в гидравлическом приближении нестационарное течение теплопроводного газа по криволинейному каналу с теплоизолированными стенками. При выводе уравнений44Рис. 2.4считать в любой момент времени все гидравлические величины постоянными на сечениях, ортогональных к “средней” линии канала, а вектор скорости — направленным по касательной к этой линии.Указание: Воспользоваться методом примера 2.2.Ответ:∂∂(ρF (ξ)) +(ρqF (ξ)) = 0;∂t∂ξ∂q∂q+q+∂t∂ξ()∂s∂sρT F+q−∂t∂ξ1 ∂p= 0;ρ ∂ξ()∂∂TκF=0∂ξ∂ξ(обозначения те же, что в примере 2.2).2.4. Рассматривается стационарное течение газа в трубе переменного сечения (рис. 2.4).
Доказать, что на участке от S1 до S на стенкитрубы действует силаR = G(V1 − v) + p1 S1V1v− pS .|V1 ||v|Здесь G — расход газа в трубе, S1 и S — площади выделенных сеченийтрубы, V1 , v — скорости газа в этих сечениях, p1 , p — соответствующие давления (скорость в указанных на рис. 2.4 сечениях считаетсянаправленной по нормали к сечению).2.5. Показать, что условие на сильном разрыве, вытекающее из интегрального закона сохранения момента импульса, является следствием условий (2.4).2.6. Пусть функция ε = e(τ, p), определяющая уравнение состояниянормального газа, удовлетворяет неравенству ep 6 bτ (b = const > 0)для всех p и τ < τ1 . Показать, что для адиабаты Гюгонио выполненонеравенство lim τ (p; τ1 , p1 ) = τ∞ > 0.p→∞452.7. Показать, что скорость перемещения ударной волны Dn строгомонотонно возрастает вместе с силой разрыва [p], причем Dn → ∞ при[p] → ∞.2.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
