1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Вследствие этого уравнение характеристики OA, проведенной на этом решении, задается выражениемx = c0 t.По характеристике OA к постоянному решению “0” может примыкать либо снова постоянное решение, либо простая l-волна. Поскольку постоянным решением нельзя удовлетворить граничное условие накривой OLE, задаваемой уравнением (4.10), то слева от OA будет lволна. Следовательно, во всей области определения решения инвари2cант l = u − γ−1будет тождественно постоянен и равенl ≡u−2c2c0=−.γ−1γ−1Отсюда получимc = c0 +γ−1u,2u + c = c0 +66γ+1u.2(4.12)Формулы (4.12) показывают, что на OLE наряду с u будет известна искорость звука c:γ−1Vt, 0 < t ≤ t0 ; c0 −2 t0(4.13)c|OLE = c − γ − 1 V, t < t < ∞.002Так как скорость звука не может быть отрицательной, то необходиморазличать два случая:а) c0 −γ−1V ≥ 0;2б) c0 −γ−1V < 0.2Рассмотрим сначала случай (а).
Так как на прямой LE величиныu и c постоянны, то между C + -характеристикой LB, выпущенной източки L, и прямой LE решение будет тождественно постоянным:(BLE) : u = −V,c = c0 −γ−1V.2При этом уравнение характеристики LB таково:LB : x = −V t0 (γ+1 )+ c0 −V (t − t0 ).22Теперь рассмотрим вопрос построения решения в области AOLB,занятой простой l-волной. Решение в этой области определяется соотношениями (4.8), которые в нашем случае можно записать так:γ−1c = c0 +u,2(γ+1 )x − c0 +u t = F (u).2(4.14)Функцию F (u) определим из граничного условия на OL. В точках кривой OL второе уравнение системы (4.14) примет вид−V t0 ( t )2 (γ + 1 V t)− c0 −t = F (−V t/t0 ).2 t02 t0Отсюда определяем вид функции F (u):F (u) =)t0 ( γ 2u + c0 u .V 267Теперь из уравненияt (γ0V)(γ+1 )u2 + c0 u = x − c0 +u t22находится искомая зависимость u = u(x, t):u=1 [− (2c0 t0 + (γ + 1)V t)+2γt0]√+ (2c0 t0 + (γ + 1)V t)2 − 8γV t0 (c0 t − x) .(4.15)Функция c = c(x, t) определяется, в силу (4.14), соотношением c =c0 + γ−12 u(x, t).γ−1Решение в случае (а): c0 − γ−12 V ≥ 0 построено.
Если c0 − 2 V = 0,то при t ≥ t0 на поршне скорость звука равна нулю, а прямые LB иLE совпадают.Теперь рассмотрим случай (б): c0 − γ−12 V < 0. Определим времяt∗ , когда на поршне впервые обратилась в нуль скорость звука.
В силу(4.13), это время равно2t0 c0t∗ =.γ−1 VПоложение поршня X(t∗ ) и скорость поршня X ′ (t∗ ) в этот момент былиследующими:x∗ = X(t∗ ) = −V t 0 ( t ∗ )22t0 c20=−,2 t0(γ − 1)2 VX ′ (t∗ ) = −2c0.γ−1Характеристика C∗+ , выходящая из точки (x∗ , t∗ ), дается формулойC∗+ :x − x∗ = (u(x∗ , t∗ ) + c(x∗ , t∗ ))(t − t∗ ) = −2c0 (t − t∗ ).γ−1Между этой характеристикой и поршнем при t > t∗ находится областьвакуума (c = 0).
Правее этой характеристики решение определяетсяформулой (4.15) и соотношением c = c0 + γ−12 u(x, t).Решение полностью построено. В ходе решения этой задачи намиустановлено также, что скорость uk истечения покоящегося политроп2ного газа в вакуум дается формулой uk = γ−1c0 .Осуществляя в полученном решении предельный переход t0 → 0,V ≡ const, можно получить решение задачи для следующего законадвижения поршня:x = X0 (t) ≡ −V t.68“1”умкува“0”“0”Рис. 4.2: V ≤ 2c0 /(γ − 1)Рис. 4.3: V > 2c0 /(γ − 1)Из уравнения характеристики LB и выражения (4.15) для функции2c0)u(x, t) получим при t0 → 0 (V ≤ γ−10,c0 t ≤ x < ∞;) (γ+1 )2 (x− c0 ,c0 −V t ≤ x < c0 t;u=γ+1 t2(4.16)(γ+1 ) −V,−V t < x < c0 −V t;2γ−1c = c0 +u.2Для V >2c0γ−1предельное решение (t0 → 0) описывается формуламиc0 t ≤ x < ∞; 0,()u=2x2c0− c0 , −t ≤ x < c0 t;(4.17)γ+1 tγ−1γ−1c = c0 +u.2Непосредственно из (4.16) и (4.17) видно, что при постоянной скоростивыдвижения поршня из трубы, заполненной покоящемся газом, решение описывается центрированной волной.
На рис. 4.2 и 4.3 изображены картины в плоскости (x, t), отвечающие двух случаям выдвиженияпоршня из газа с постоянной скоростью V .2c0Заметим, что в случае V > γ−1решение вообще не зависит от V .Это означает, что данное решение может рассматриваться, в частно69Рис. 4.4сти, как решение следующей задачи Коши с разрывными начальнымиданными:t = 0 (x > 0) : u = 0, c = c0 ;t = 0 (x < 0) :c = 0.Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий использование центрированных волн разрежения для разрешения особенностей решения,возникающих из-за нарушения непрерывности в граничных условиях.Пример 4.2.
Пусть поршень, находящийся при t = 0 в сеченииx = 0, выдвигается из покоящегося политропного газа (0 < x < ∞) позакону{X1 (t), 0 < t ≤ t0 ;x = X(t) =X2 (t), t0 < t < ∞,причем функции X1 (t) и X2 (t) удовлетворяют следующим условиям:2c0< X1′ (t) ≤ 0,γ−1X1 (t0 ) = X2 (t0 ) = x0 , X2′ (t0 ) < X1′ (t0 ),X1 (0) = X1′ (0) = 0,−2c0< X2′ (t) < 0,γ−1−X1′′ (t) ≤ 0;X2′′ (t) ≤ 0.Дать качественное описание структуры решения данной задачи.Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, при x ≥ c0 t решением будет u = 0, c = c0 .
Следовательно, к характеристике OA (рис.4.4) будет примыкать простая волна. Прямолинейные характеристики70семейства C + , выходящие из точек кривой OLE, задающей закон движения поршня, полностью определяются величиной λ = u + c, вычисленной на поршне для всех моментов времени. Аналогично предыдущему примеру для λ(t) = (u + c)(X(t), t) легко устанавливается формулаγ+1 ′X1 (t), c0 +2λ(t) = c + γ + 1 X ′ (t),0220 < t ≤ t0 ;(4.18)t0 < t < ∞.Так как по условиям задачи X1′′ (t) ≤ 0, X2′′ (t) ≤ 0 и X2′ (t0 ) < X1′ (t0 ),то функция λ(t) с ростом t не возрастает и в точке t0 претерпеваетотрицательный скачок, т.
е. λ(t0 + 0) < λ(t0 − 0). Это означает, чтохарактеристики C + будут образовывать расходящийся в направлениивозрастания времени веер, т. е. будет реализовываться волна разреже2c02c0ния. Условия X1′ (t) > − γ−1, X2′ (t) > − γ−1обеспечивают невозможность отрыва поршня от газа.Рассмотрим характеристики LB и LC, выходящие из точки L, определяемые значениями λ(t0 + 0) и λ(t0 − 0):LB :LC :)(γ+1 ′X1 (t0 ) (t − t0 );x − x0 = c0 +2()γ+1 ′x − x0 = c0 +X2 (t0 ) (t − t0 ).2(4.19)В областях AOLB и CLE решение определяется уравнениями l-волны(4.8), где для каждой из областей найдется своя функция F (u) посредством удовлетворения граничному условию на поршне.
Неопределенным останется решение только в треугольной области BLC. Легкопроверить, что центрированная волна разрежения с центром L обеспечит непрерывное сопряжение решений в областях AOLB и CLE похарактеристикам LB и LC.Действительно, данная l-волна Римана определяется уравнениямиu−2c2c0=−,γ−1γ−1u+c=x − x0,t − t0откуда находимu=)2 ( x − x0− c0 ,γ + 1 t − t0c=γ − 1 ( x − x02c0 )+.γ + 1 t − t0γ−1(4.20)Величины u и c, вычисленные по формулам (4.19), (4.20) на характе71ристиках LB и LC, будут следующими:uLB = X1′ (t0 ),uLC = X2′ (t0 ),γ−1 ′cLB = c0 +X1 (t0 );2γ−1 ′cLC = c0 +X2 (t0 ).2Данные выражения и доказывают факт непрерывного сопряжения простых волн в областях AOLB и CLE с центрированной волной разрежения в области BLC. Структура решения полностью определена.4.2Плоскость инвариантов Римана.
Градиентная катастрофаПри отыскании решений системы (4.7), не являющихся простыми волнами, иногда бывает целесообразно в качестве независимых переменных выбирать инварианты Римана r и l, а в качестве искомых функций координаты x и t. Эта перемена ролей зависимых и независимыхпеременных оправдывается тем, что уравнения относительно величинx = x(r, l) и t = t(r, l) оказываются линейными. В данном случае онивыглядят следующим образом:∂x∂t− (u + c) = 0,∂l∂l∂x∂t− (u − c)= 0.∂r∂r(4.21)Величины u, c связаны с независимыми переменным r, l формуламиu=r+l,2σ(c) =r−l.2(4.22)Исключением x из (4.21) можно эту систему уравнений привести кодному уравнению относительно функции t = t(r, l):trl − H(r − l)(tr − tl ) = 0,(4.23)где функция H(z) определяется формуламиz = 2σ(c);H(z) =1 + σ ′ (c).4cσ ′ (c)Для политропного газа H(z) имеет видH(z) =β,zβ=72γ+1.2(γ − 1)(4.24)Уравнение Дарбу (4.23) превращается в этом случае в уравнение Эйлера—Пуассона:βtrl −(tr − tl ) = 0.(4.25)r−lС использованием функции h = ρc уравнение (4.23) может быть преобразовано к самосопряженному виду:(4.26)(htl )r + (htr )l = 0.При решении ряда задач для уравнений (4.26) эффективным бываетприменение метода Римана, существенной частью которого являетсяотыскание функции Римана W (r, l; r0 , l0 ).
Задача об отыскании функции Римана W (r, l; r0 , l0 ) для уравнения (4.26) формулируется следующим образом. Найти решение уравнения (4.26), удовлетворяющее условиям√h(r0 − l0 )W (r0 , l; r0 , l0 ) =,h(r0 − l)√(4.27)h(r0 − l0 )W (r, l0 ; r0 , l0 ) =.h(r − l0 )Таким образом, функция W (r, l; r0 , l0 ) является решением специализированной задачи Гурса для уравнения (4.26).В случае политропного газа, т.е. для уравнения (4.25), функция Римана W (r, l; r0 , l0 ) представима в следующем виде:W (r, l; r0 , l0 ) =((r0 − l0 )2β(r0 − r)(l − l0 )F β, β; 1;,ββ(r − l0 ) (r0 − l)(r − l0 )(r0 − l)(4.28)где F (a, b; c; z) — гипергеометрическая функция Гаусса, представимаяпри |z| < 1 таким степенным рядом:F (a, b; c; z) = 1 ++ab1 a(a + 1)b(b + 1) 2z+z + ...+c2!c(c + 1)1 a(a + 1) · · · (a + n − 1)b(b + 1) · · · (b + n − 1) nz + .
. . (4.29)n!c(c + 1) · · · (c + n − 1)Если использовать формулу преобразования(F (β, β; 1; y) = (1 − y)−β F β, 1 − β; 1;73y ),y−1(4.30)то легко видеть, что при целых положительных значениях β ряд (4.29)обрывается и, следовательно, представляет собой некоторую элементарную функцию.Нетрудно заметить, что функция Римана W (r, l; r0 , l0 ) дает решениезадачи о взаимодействии двух центрированных волн разрежения r = r0и l = l0 , идущих навстречу друг другу по одному и тому же состоянию.Если t0 — время начала взаимодействия волн, то решение такой задачибудем описываться формулойt = t0 W (r, l; r0 , l0 ).(4.31)Основной сложностью описанного метода решения является нахождение обратного преобразования r = r(x, t), l = l(x, t) после того, какпостроено решение задачи в виде t = t(r, l), x = x(r, l).
Отметим, чтообратное преобразование существует не всегда, этим ограничиваетсяобласть применения метода.Пример 4.3. Показать, что решение системы уравнений (4.21) может быть представлено в виде∂U,∂r∂Ux − (u − c)t =∂lx − (u + c)t =(4.32)где функция U = U (r, l) удовлетворяет уравнениюe − l)(Ur − Ul ) = 0.Url − H(r(4.33)eЗдесь H(z)определяется формуламиz = 2σ(c),σ′ − 1σ′ − 1eH(z)== ′H(z).′4cσσ +1(4.34)Решение. Пусть функция c = ec(z) является решением уравненияz = 2σ(c).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
