1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Показать, что решение задачи о взаимодействии центрированных волн разрежения, распространяющихся навстречу друг другу,определяется формулойt = t0 W (r, l; r0 , l0 ).Здесь t0 — время начала взаимодействия волн, W (r, l; r0 , l0 ) — функцияРимана, определенная в разделе 4.2 как решение задачи (4.26)–(4.27),r и l — инварианты Римана, r0 и l0 — значения инвариантов Римана впростых волнах.4.18. Показать, что функция Римана W (r, l; r0 , l0 ) для политропного газа с γ = 5/3 дается формулойW (r, l; r0 , l0 ) =)r0 − l0 ((r − l0 )(r0 − l) + (r0 − r)(l − l0 ) .3(r − l)944.19. Показать, что функция Римана W (r, l; r0 , l0 ) для политропного газа с γ = 1, 4 дается формулойr0 − l 0 [7(r0 − r)2 (l − l0 )2 + (r − l0 )2 (r0 − l)2 +(r − l)5]+4(r0 − r)(l − l0 )(r − l0 )(r0 − l) .W (r, l; r0 , l0 ) =4.20.
Пусть t = t(r, l) — решение уравнения Эйлера — Пуассона(4.25). Показать, что функцияet=1(tr − tl )r−lудовлетворяет уравнениюβ+1 e eetrl −(tr − tl ) = 0.r−l4.21. Найти общее решение системы уравнений (4.21) для политропного газа с показателем политропы γ = 3.Указание: воспользоваться решением примера 4.3.Ответ:F (r) + G(l)lF (r) + rG(l)t=, x=,r−lr−lгде F (r) и G(l) — произвольные функции.4.22. Найти общее решение системы уравнений (4.21) для политропного газа с показателем политропы γ = 5/3.Указание: воспользоваться примером 4.3 и задачей 4.20.Ответ:F ′ (r) − G′ (l)F (r) + G(l)−2,(r − l)2(r − l)3(r + 2l)F ′ (r) − (2r + l)G′ (l)(r + l)(F (r) + G(l))x=−2,23(r − l)(r − l)3t=где F (r) и G(l) — произвольные функции.4.23.
В бесконечной прямолинейной трубе между двумя заслонками, занимающими положения x = 0 и x = L > 0, покоится политропный газ (γ = 3). В момент времени t = 0 заслонка (x = 0) убирается,и происходит истечение газа в вакуум. Найти распределение скоростизвука c и скорости газа u в трубе при t > 0.95Ответ:(c, u)t6 Lc0(c, u)t> cL0(c0 , 0),( () 1 (x))1 x=+c,−c,002 t2 t(0, . . .),)(L x−L,,t( t) 1 (x))1 (x=+c,−c,002 t2 t(0, . . .
),c0 t 6 x 6 L;−c0 t < x < c0 t;−∞ < x < −c0 t;2L − c0 t 6 x 6 L;−c0 t < x < 2L − c0 t;−∞ < x < −c0 t.4.24. Политропный газ с показателем политропы γ = 3 при t = 0покоится в трубе между неподвижной стенкой (x = L) и поршнем (x =0). При t > 0 поршень выдвигается из газа с постоянной скоростью V =−c0 /2, где c0 — скорость звука в покоящемся газе. Найти распределенияскорости газа u и скорости звука c в трубе в момент времени t = 4L/c0 .Ответ:)(2L − xx − 2Lc,c, −2L < x < 0;0 0 8L8L()(c, u) =x−Lc 0 , c0,0 6 x 6 L.44L4.25. Центрированные волны разрежения, определяемые соотношениями r = r0 и l = l0 , соответственно, распространяются навстречудруг другу по политропному газу (γ = 5/3). В момент времени t = t0в точке x = x0 начинается взаимодействие волн.
Найти решение уравнений (4.21) в области взаимодействия.Ответ:]r0 − l0 [t = t0(r+l)(r+l)−2(rl+rl),0000(r − l)3r0 − l0 [x − x 0 = t02(r0 + l0 )(r2 + rl + l2 ) − 4r2 l−3(r − l)3] t0−(r + l)(l2 + 3r0 l0 ) − (2r0 + l0 ).34.26. Политропный газ с показателем политропы γ = 5/3 при t = 0покоится в области между неподвижной стенкой (x = L) и поршнем(x = 0). При t > 0 поршень выдвигается из газа по закону x = −V t, где96V > 0 — постоянная. Показать, что при V > 3c0 /2 (c0 — скорость звукав покоящемся газе) скорость звука c на стенке изменяется по закону{c0 ,0 6 t 6 L/c0 ;c=c0 a(t), L/c0 < t < ∞,где a(t) – положительный корень уравнения:2c0 t 3a − a2 − 1 = 0.L4.27. В условиях предыдущей задачи показать, что давление p газана стенку x = L при t → ∞ определяется следующей асимптотическойформулой:)5/3(()L+ O t−7/3 .p = p02c0 tЗдесь p0 — давление при t = 0.4.28.
Для уравнения Хопфа ut + uux = 0 рассматривается задачаКошиαa + b, −∞ < x < α;u(x, 0) = ax + b, α 6 x 6 β;βa + b, β < x < ∞;(α, β, a, b — постоянные). Найти решение задачи Коши и выяснитьусловия, при которых возникает “градиентная катастрофа”.Ответ: при a < 0 “градиентная катастрофа” возникает в моментвремени tк = −a−1 .4.29. Найти момент наступления “градиентной катастрофы” tк врешении задачи Коши с начальными данными r(x, 0) = r0 (x), l(x, 0) =l0 (x) для системы уравнений изэнтропического одномерного движенияполитропного газа (γ = 3) с плоскими волнами (r и l — инвариантыРимана).Ответ:{()()}11tк = mininf− ′, ′inf− ′.r0 (ξ)l0 (ξ)ξ,r0′ (ξ)<0ξ,l0 (ξ)<04.30.
Поршень, находившийся при t = 0 в сечении x = 0 бесконечной прямолинейной трубы, заполненной при x > 0 покоящимся политропным газом, вдвигается в газ по закону x = a2 t2 (a2 — постоянная).Найти момент наступления “градиентной катастрофы”, если известнаc0 — скорость звука в покоящемся газе.97c0.+ 1)4.31. Поршень выдвигается из бесконечной трубы, заполненной покоящимся нормальным газом, по закону{f (t), 0 < t 6 t0 < ∞;x = F (t) ≡f (t0 ), t0 < t < ∞.Ответ: tк =a2 (γФункция F (t) дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяетусловиям F (0) = 0, −uв < F ′ (t) 6 0 (uв — скорость истечения покоящегося газа в вакуум).
Показать, что за конечное время в течениивозникнет ударная волна.4.32. Закон выдвижения плоского поршня из покоящегося политропного газа, занимающего при t = 0 область 0 < x < ∞, задан формулой ( ) ()2t2t− 3 , 0 < t 6 t0 ;Lx=t0t0−L,t0 < t < ∞.Здесь t0 = (3γ−2)L, c0 — скорость звука в покоящемся газе, L > 0 —3c0постоянная. Показать, что в возникающем течении произойдет “градиентная катастрофа”, и найти координаты (xк , tк ) зарождения ударнойволны.7γ 2 − 28γ − 209γ 2 − 4 LОтвет: xк =L, tк =.27(γ + 1)9(γ + 1) c04.33. Плоский поршень выдвигается из покоящегося политропногогаза, занимавшего при t = 0 область 0 < x < ∞, по закону) (( ) L cos πt − 1 , 0 < t 6 t ;02t0−L,t0 < t < ∞.Здесь L > 0 — постоянная, t0 = (7γ−1)πL, c0 — скорость звука в покоя8c0щемся газе.
Найти времяtк возникновения “градиентной катастрофы”.√5 3π(γ + 1) + 36γ√Ответ: tк = t0.6 3π(γ + 1)4.34. Показать, что в политропном газе уравнения (u, p)-диаграммударных и простых волн с центром в точке (u0 , p0 ) могут быть преоб-98разованы к виду√p − p0(γ + 1)2 2 γ + 1 2=M 1+M +M ,γp0164()2γ/(γ−1)pγ−1= 1−M.p020|Здесь M = |u−uc0 , c0 — скорость звука перед волной.4.35. Показать, что если при отражении простой волны от жесткойстенки возникает простая волна, то падающая и отраженная волны являются одновременно либо волнами сжатия, либо волнами разрежения.4.36.
Плоский поршень, вдвигающийся с постоянной скоростью впокоящийся газ, мгновенно останавливается. Используя метод (u, p)диаграмм, дать качественное описание движения газа и построить картину движения на плоскости (x, t).4.37. В условиях предыдущей задачи показать, что в политропномгазе давление на поршне после его остановки всегда положительно (газне отрывается от поршня).4.38.
Идущая по покою ударная волна догоняет (встречает) простую волну разрежения. Дать качественное описание процесса взаимодействия этих волн и выяснить, будет ударная волна ускоряться илизамедляться.4.39. Ударная волна, распространяющаяся по покоящемуся политропному газу с параметрами p = p0 , ρ = ρ0 , достигает границы (перегородки) газа с вакуумом. В момент выхода перегородка мгновенноразрушается. Найти последующее движение газа и скорость истечениягаза в вакуум.Ответ: течение описывается центрированной волной разрежения,2uв = u1 + γ−1c1 (uв — скорость разлета газа в вакуум, u1 — скоростьгаза, c1 — скорость звука за ударной волной).4.40.
Рассматривается задача о распаде произвольного разрыва(газ политропный):{(u0 , p0 , τ0 ), x < 0;(ui , pi , τi ) — const.(u, p, τ )|t=0 =(u1 , p1 , τ1 ), x > 0;Найти условия, которым должны удовлетворять начальные данные,для того чтобы возникли следующие конфигурации распада разрыва:(А): в один газ идет ударная волна, в другой — волна разрежения;99(Б): в оба газа идут ударные волны;(В): в оба газа идут волны разрежения;Указание: без ограничения общности можно считать p0 > p1 иu1 = 0 (преобразование Галилея).Ответ:(( )(γ−1)/(2γ) )2 √p1< u0 <(А): −γp0 τ0 1 −γ−1p0)−1/2√ (< (p0 − p1 ) 2τ1 (γ + 1)p0 + (γ − 1)p1;)−1/2√ ((Б): (p0 − p1 ) 2τ1 (γ + 1)p0 + (γ − 1)p1< u0 < ∞;(( )(γ−1)/(2γ) )2 √p1(В): −∞ < u0 < −γp0 τ0 1 −.γ−1p04.41.
Построить графики распределения основных величин (u, p,ρ, s) как функций x для некоторого момента времени t > 0 при распаде произвольного разрыва в случае реализации конфигурации (А)задачи 4.40.4.42. Построить графики распределения основных величин (u, p, ρ,s) для некоторого момента времени t > 0 при распаде произвольногоразрыва в случае конфигураций (Б) и (В) задачи 4.40.4.43. Рассматривается задача о распаде разрыва (газ политропный,γ = 5/3):√(c1 / 5, 2p1 , 3ρ1 /2), x < 0;(u, p, ρ)t=0 =(0, p1 , ρ1 ),x > 0.Здесь p1 , ρ1 — постоянные, c1 — начальная скорость звука справа отразрыва. Предполагая известным коэффициент удельной теплоемкостиcV , найти распределение температуры T в газе при t > 0.Ответ:2p13 ρ c , −∞ < x < √ c1 t;51 VT =31,5p1, √ c1 t < x < ∞.ρ1 cV54.44. Рассматривается задача о распаде разрыва (газ политропный,γ = 3):(−c0 /2, p0 , ρ0 ), x < 0;(u, p, ρ)|t=0 =(0, p /8, ρ ),x > 0.01100Здесь p0 , ρ0 , ρ1 — постоянные, c0 — скорость звука в газе слева отначального разрыва.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
