1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Найти распределение плотности при t > 0.Ответ:3ρ0 , () −∞ < x 6 − 2 c0 t; 1 ρ 1 − 2x , − 3 c t < x < − c0 t;0c0 t2 02ρ= 4c01− 2 t 6 x < 0; 2 ρ0 ,ρ1 ,0 < x < ∞.4.45. Вычислить температуру, получаемую при столкновении двуходинаковых политропных газов, двигавшихся навстречу друг другу соскоростью u0 . Скорость звука в газах c0 , температура T0 .γ + 1 − (γ − 1)HОтвет: T = T0 H, где(γ + 1)H − (γ − 1)√γ + 1 u20(γ + 1)2 u40u2H =1+· 2 −· 4 + 20 .4c016c0c04.46.
Плоский поршень вдвигается в трубу, заполненную покоящимся политропным газом (γ = 3), со скоростью 34 c0 , где c0 — скоростьзвука в покоящемся газе. Найти скорость ударной волны, распространяющейся по газу.Ответ: D = 2c0 .4.47. Доказать, что в политропном газе при взаимодействии двухударных волн, идущих навстречу друг другу, всегда образуются двеударные волны.4.48. Ударная волна падает на контактный разрыв, разделяющийдва состояния покоя политропного газа. Показать, что при определенных условиях контактный разрыв после взаимодействия с ударной волной может исчезнуть.4.49. В бесконечной прямолинейной трубе заданы два равновесныхсостояния покоя “1” и “2” одного и того же политропного газа, разделенные контактным разрывом x = 0.
По состояниям “1” и “2” соскоростями D1 и D2 движутся навстречу друг другу ударные волны.Фронты этих волн одновременно достигают сечения x = 0. Показать,что при выполнении условия ρ1 D12 = ρ2 D22 (ρ1 и ρ2 — плотности газов“1” и “2”) контактный разрыв останется неподвижным после взаимодействия ударных волн.4.50. По покоящемуся газу, заполняющему при t 6 0 область x < 0,движется с постоянной скоростью ударная волна. Скорость газа зафронтом равна u1 . В момент времени t = 0 ударная волна падает на101поршень, находящийся при t 6 0 в сечении x = 0.
При t > 0 поршеньначинает двигаться с постоянной скоростью V . Выяснить возможныережимы движения газа при t > 0 в зависимости от соотношений скоростей V и u1 и построить для каждого случая картину движения наплоскости (x, t).4.51. По полубесконечной трубе, заполненной покоящимся политропным газом с параметрами p = p1 , ρ = ρ1 движется ударная волна,давление за которой равно p2 (p2 > p1 ). В некоторый момент времениударная волна достигает закрытого торца трубы и отражается от него.1Найти коэффициент усиления ударной волны k = pp32 −p−p1 и отношениеплотностей ρ3 /ρ1 .
Здесь p3 , ρ3 — давление и плотность газа на стенкепосле отражения ударной волны.Ответ:k=(3γ − 1)a + 4γ,(γ − 1)a + 2γρ3γ(a + 1)(2γ + (γ + 1)a),=ρ1(γ + (γ − 1)a)(2γ + (γ − 1)a)где a = (p2 − p1 )/p1 .4.52. В ствол пневматического ружья, один конец которого закрытпулей, начал вдвигаться поршень со скоростью V = 0, 5 c0 (c0 — скорость звука в покоившемся в стволе воздухе). Найти время задержкивылета пули, если известно, что она вылетает, как только давление нанее превысит первоначальное в 5 раз. Длина ствола 0, 5 м, скоростьзвука c0 = 330 м/с, воздух считать политропным газом с γ = 1, 4.Ответ: tв ≈ 0, 002 с.4.53.
Закрытая с обоих торцов цилиндрическая ампула заполненавоздухом с температурой T0 = 0◦ C и давлением p0 = 1 атм. Ампулемгновенно сообщается в осевом направлении скорость V = 10 c0 (c0 —скорость звука в начальном состоянии). После того как ампула пролетает половину своей длину, она мгновенно останавливается. Предполагая, что через некоторое время после остановки воздух в ампулеприходит в равновесное состояние, найти давление и температуру вэтом состоянии. Воздух считать политропным газом с γ = 1, 4, ампулу— нетеплопроводной.Указание: найти работу, совершаемую над газом, и использоватьпервый закон термодинамики.Ответ: p1 ≈ 35 атм, T1 ≈ 9555 K.4.54. Цилиндрическая ампула −L 6 x 6 L с площадью сечения F ,заполненная покоящимся политропным газом (γ = 3), перегорожена всечении x = 0 нетеплопроводной непроницаемой пластиной.
При t > 0пластина мгновенно приобрела скорость V = 0, 75 c0 (c0 — скорость102звука в покоящемся газе) и остановилась после прохождения ею расстояния 0, 25 L. Предполагая ампулу неподвижной, найти равновесныесостояния газа по обе стороны от пластины после остановки и работу,которую надо затратить на движение пластины. В начальном состоянии заданы давление газа p0 , плотность ρ0 и температура T0 .Ответ:415ρ+ = ρ0 , p+ = 5 p0 , T+ =T0 ;341271274p 0 , T− =T0 ;ρ− = ρ0 , p− =5160128351A=p0 F L.2564.55. В условиях предыдущей задачи пластина пролетает расстояние 0, 25 L не с постоянной скоростью V , а равноускоренно с ускорениемc20 /(2L).
Дать качественное описание движения газа и определить равновесные состояния в каждой из частей ампулы после ее остановки.Вычислить работу, затраченную на движение пластины.Ответ:459177ρ+ = ρ0 , p+ =p 0 , T+ =T0 ;32080674T0 ;ρ− = ρ0 , p− = 0, 67 p0 , T− =58021A=p0 F L.404.56.
Вывести формулы для решения задачи о распаде произвольного разрыва(u0 , p0 , ρ0 ), x < 0;(ui , pi , ρi — const)(u, p, ρ)|t=0 =(u , p , ρ ), x > 0;1 1 1()0|0|в акустическом приближении |p1p−p≪ 1, |u1|u−u≪1 .00|Указание: использовать линейные аппроксимации (u, p)-диаграмми адиабат Гюгонио и Пуассона.Ответ:(u0 , p0 , ρ0 ), −∞ < x < (u0 − c0 )t;(u2 , p2 , ρ2 ), (u0 − c0 )t < x < u2 t;(u, p, ρ) t>0 =(u2 , p2 , ρ3 ), u2 t < x < (u1 + c1 )t;(u1 , p1 , ρ1 ), (u1 + c1 )t < x < ∞,103где c0 , c1 — скорости звука в газах “0” и “1”,p0 − p1 + ρ0 c0 u0 + ρ1 c1 u1,ρ1 c1 + ρ0 c0ρ1 c1 p0 + ρ0 c0 p1 + ρ0 c0 ρ1 c1 (u0 − u1 )p2 =,ρ1 c1 + ρ0 c0p2 − p1p2 − p0, ρ3 = ρ1 +.ρ2 = ρ0 +2c0c21u2 =4.57. Показать, что при взаимодействии двух слабых волн алгебраическая сумма амплитуд до и после взаимодействия сохраняется с точностью до малых более высокого порядка по сравнению с амплитудамиисходных волн.
(Амплитуда ударной волны считается положительной,а волны разрежения — отрицательной.)4.58. Слабая ударная волна, распространяющаяся по покоящемусягазу “0” с параметрами p0 , ρ0 , c0 , падает на границу контакта этогогаза с покоящимся газом “1”, имеющим параметры p0 , ρ1 , c1 . Показать,что при ρ0 c0 > ρ1 c1 по газу “0” после взаимодействия пойдет волнаразрежения, а при ρ0 c0 < ρ1 c1 — ударная волна.4.59. Показать, что амплитуда волны разрежения, возникающейпри взаимодействии двух слабых ударных волн, есть малая величинаболее высокого порядка по сравнению с амплитудами исходных волн.4.60.
В прямолинейную трубу, заполненную при t = 0 покоящимсяполитропным газом (γ = 3), вдвигается поршень по законуεc0 t, 0 < t 6 t0 ;x=εc t , t < t < ∞.0 00Здесь c0 — скорость звука в покоящемся газе, t0 > 0 — постоянная.Предполагая ε ≪ 1, найти закон движения ударной волны.Указание: использовать приближенные соотношения (4.65) асимптотической теории затухания ударных волн.Ответ:1+ε(1 + ε)c0 t,0<t6t0 ;ε[()1/2 ]x=√tt1+ε,t0 < t < ∞.c0 t0 ε + t − 1 + 2 ε t − 1ε004.61. Плоский поршень вдвигается в покоящийся политропный газ,104заполняющий при t = 0 область 0 < x < ∞ по закону]2() [() γ+1γ+1γ−1t21+− 1 , t 6 t1 ;− γ − 1 c0 t + γ − 1 c0 t0 1 + 2 εt0[(]x=) γ+1γ − 1 γ−1γ+11+ε−1−ε ,t > t1 .c0 t022Здесь c0 — скорость звука в покоящемся газе, t0 , ε — положительныепостоянные, t1 определяется формулойt1=t0() γ+1γ − 1 γ−11+ε− 1.2Предполагая ε ≪ 1, найти с точностью до O(ε2 ) закон движения ударной волны.[√]Ответ: x = c0 t + γ+11 + t/t0 − 1 .2 c 0 t0 ε4.62.
В начальный момент времени t = 0 покоящийся политропныйгаз заполнял область вне цилиндрического поршня радиуса R0 . При()2/3t > 0 поршень вдвигается в газ по закону x = R0 1 + t/t0, t0 =2R0 /(3εc0 ). Здесь c0 — скорость звука в покоящемся газе, ε > 0 —постоянная. Предполагая ε ≪ 1, найти с точностью до O(ε2 ) закондвижения ударной волны, распространяющейся по газу.Указание: использовать соотношения (4.65) при ν = 1.Ответ:(√)c0γ+1x = R0 + c0 t +εR0t+1−1 .2R04.63.
Показать, что законы сохранения массы и энергии в одномерных движениях газа с плоскими (ν = 0), цилиндрическими (ν = 1) исферическими (ν = 2) волнами для произвольно меняющегося со временем объема x1 (t) 6 x 6 x2 (t) имеют видddtddt[()]2dxνρx dx + ρx u −= 0,dt 1x∫2 (t)νx1 (t)x∫2 (t)ρx1 (t)()[ () ()]21 21 2dxu + ε xν dx + ρu + ε xν u −+ pxν u = 0,22dt12где символ [f (x, t)]1 обозначает разность f (x2 , t) − f (x1 , t).1054.64. Показать, что закон сохранения импульса для одномерныхдвижений газа в случае произвольно меняющегося со временем объемаx1 (t) 6 x 6 x2 (t) имеет видddt[x∫2 (t)()]2dxνρux dx + ρux u −+ px=νpxν−1 dx,dt1x∫2 (t)νx1 (t)νx1 (t)2где [f (x, t)]1 = f (x2 , t) − f (x1 , t).4.65. Вывести законы сохранения (4.63) (см.
разд. 4.4) для автомодельных движений политропного газа.Указание: использовать задачи 4.63 и 4.64.4.66. Построить решение задачи о сильном точечном разрыве в политропном газе с γ = 7 (одномерное движение со сферическими волнами).Ответ: движение за ударной волной при 0 < x < λф t2/5 описывается формуламиxu = 0, 1 ,tгдеρ=4 ρ1 x,3 λф t2/5p = 0, 04ρ1 x3,λф t2,4()1/5( )1/5E0E0≈ 3, 4,λф = 450ρ1ρ1E0 — энергия, выделившаяся при взрыве.4.67. Рассматривается одномерное движение газа при сильном взрыве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
