1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Показать, что скорость газа u, давление p и плотность ρ на фронтеударной волны изменяются с расстоянием xф , пройденным ударнойволной, в соответствии с формулами−(ν+1)/2u = A1 xф,−(ν+1)p = A2 xф,ρ=γ+1ρ1 .γ−1Здесь ρ1 — плотность газа перед фронтом ударной волны, ν — параметргеометрии движения (ν = 0, 1, 2), A1 и A2 — некоторые постоянные.4.68. Проинтегрировать уравнения (4.62) для случая, отвечающегопостановке задачи и сильном взрыве (β = 0, (ν + 3)α − 2 = 0).106Ответ:()mα−nλ = AU −α U −(a − U ) ;γ() 2m(1−α)α(γ−1)22nα−R = B (α − U ) γ−2 U −(a − U ) 1+(γ−2)α , (γ ̸= 2);γ()(α )1−α2α(1 − α)1−2αR = B (α − U ), (γ = 2).U−exp2α−UЗдесьa=α,γ − 1 − α(γ − 2)m=α(γ − 1),2(1 + α(γ − 2))A, B — произвольные постоянные.107(γm )n=a 1+− α;α55.1Плоскопараллельные установившиеся движенияИнтегралы уравнений движения, характеристикиДвижение газа называется установившимся, если основные величиныv, p, ρ не зависят от времени (в эйлеровой системе координат).
Плоскопараллельное движение характеризуется независимостью основныхвеличин от одной из декартовых координат (например, от координатыz) и равенством нулю проекции вектора скорости на соответствующуюкоординатную ось (w = 0). Уравнения газовой динамики, описывающие этот класс движений, имеют видρ(uux + vuy ) + px = 0, (ρu)x + (ρv)y = 0,ρ(uvx + vvy ) + py = 0, usx + vsy = 0, p = f (ρ, s).(5.1)В плоскопараллельном установившемся течении частицы движутсявдоль линий тока, определяемых соотношениемdxdy=.uvЛинии тока являются контактными характеристиками системы уравнений (5.1). Соотношения на контактных характеристиках можно проинтегрировать.
Это дает следующие интегралы:2.s = s0 , q 2 + 2i(ρ, s0 ) = qm(5.2)Здесь q 2 = u2 + v 2 , величины s0 = s0 (L), qm = qm (L) постоянные вдольлиний тока (но принимают в общем случае разные значения на разныхлиниях тока). Второе соотношение (5.2) называется интегралом Бернулли. Входящую в интеграл Бернулли удельную энтальпию i можновычислить с помощью уравнения состояния:∫ρi(ρ, s0 ) =c2 (ρ′ , s0 ) ′dρ =ρ′0∫ρfρ (ρ′ , s0 ) ′dρ .ρ′0В случае политропного газаi(ρ, s0 ) =c2 (ρ, s0 ).γ−1108Если движение безвихревое (ω = vx − uy = 0) и изэнтропическое (s0 ≡const), то qm ≡ const всюду в области течения. Критическая скоростьc∗ определяется соотношениями2.c∗ = c(ρ∗ , s0 ), c2 (ρ∗ , s0 ) + 2i(ρ∗ , s0 ) = qmВ общем случае c∗ = c∗ (L), но в изэнтропическом безвихревом теченииc∗ ≡ const.
Равенство q = c влечет за собой равенство q = c∗ .Система уравнений (5.1) является гиперболической системой приq > c (сверхзвуковое течение). В качестве направления гиперболичности можно выбрать направление скорости v. Введем число Маха M ,угол Маха α и угол наклона скорости θ, отсчитываемый от положительного направления оси x, соотношениямиq1M = , sin α =, v = (u, v) = q(cos θ, sin θ).cMЗвуковые характеристики C ± при M > 1 определяются в соответствиис общей теорией как интегральные кривые обыкновенных дифференциальных уравнений:C+ :dydy= tg(θ + α), C − := tg(θ − α).dxdx(5.3)В случае безвихревого изэнтропического движения из (5.1) получаютсяследующие уравнения:(u2 − c2 )ux + 2uvuy + (v 2 − c2 )vy = 0, uy − vx = 0.(5.4)Величина c2 = c2 (ρ, s0 ) может быть выражена через q из интегралаБернулли (5.2).
Для сверхзвукового течения соотношения на звуковыххарактеристиках (5.3) получаются из уравнений (5.4) известным способом (см. разд. 3). Эти соотношения имеют вид∂r∂r∂l∂l+ tg(θ + α)= 0,+ tg(θ − α)= 0.∂x∂y∂x∂y(5.4a)Инварианты Римана r, l заданы формуламиr = θ − µ(q), l = θ + µ(q)µ(q) =∫q √M2 − 1c∗109dq ′.q′(5.5)В случае политропного газа√√√γ+1γ−1µ(q) =arctg(M 2 − 1) − arctg M 2 − 1.γ−1γ+1Для дозвукового течения (M < 1) уравнения (5.4) имеют эллиптический тип.5.2Простые волныСистема уравнений (5.4) при M > 1 имеет решение в виде простыхволн u = u(λ(x, y)), v = v(λ(x, y)). Невырожденные простые волны подразделяются на два типа: r−волны (решения с постоянным инвариантом Римана r) и l-волны (решения с постоянным инвариантом Риманаl).
В простой r (l)-волне характеристики семейства C − (C + ) образуют семейство прямых на плоскости x, y. Если в установившемся плоскопараллельном безвихревом течении основные величины постояннывдоль звуковой характеристики C + (C − ), то решение уравнений (5.4) вокрестности этой характеристики либо постоянно, либо является простой l (r)-волной.
В частности, непостоянное решение, примыкающее кпостоянному по звуковой характеристике, является простой волной. Вклассе простых волн уравнения (5.1) интегрируются и соотношенияr = θ − µ(q) = r0 , y = x tg(θ − α) + f (θ);(5.6a)l = θ + µ(q) = l0 , y = x tg(θ + α) + f (θ)(5.6б)определяют соответственно r и l-волны. Здесь r0 , l0 — произвольныепостоянные, f (θ) — произвольная функция. При решении конкретныхзадач в классе простых волн вид функции f определяется заданнымиграничными условиями.Пример 5.1. Равномерный сверхзвуковой поток движется вдольпрямолинейного участка жесткой стенки, форма которой задана уравнением{0,x < 0;y=−h(x),x ≥ 0,(h(0) = h′ (0) = 0; h(x) > 0, h′ (x) > 0, x ̸= 0). Построить решениезадачи обтекания изогнутого участка стенки, если известны параметрынабегающего потока.Решение.
Решение задачи в окрестности стенки ищем в классенепрерывных движений. Тогда течение будет изэнтропическим и безвихревым в силу того, что набегающий поток изэнтропический и безвихревой. Заданные параметры определяют значение энтропии s =1102s1 (p1 = f (ρ1 , s1 )) и qm= q12 + 2i(ρ1 , s1 ). На изогнутом участке стенкиусловие непротекания v · n = 0 (n — нормаль к стенке) можно преобразовать к виду:θ y=−h(x) = arctg h′ (x)Область влияния прямолинейного участка стенки ограничивается прямолинейной характеристикой C + : y = x tg α1 (рис. 5.1).
Теорема единственности решения задачи Коши и смешанной задачи с условием непротекания позволяет утверждать, что в указанной области решение постоянно. По характеристике C + происходит примыкание простой l−волнык постоянному решению. В области определения простой волны выполнены соотношенияθ + µ(q) = µ(q1 ),y = x tg(θ + α) + f (θ).На первом шаге построения решения определяется вид функции f .Значения θ на кривой Γ ( y = −h(x) ) известны: θ = θ(x). Первоесоотношение (5.6б) позволяет найти q |Γ = q(x) . Из второго соотношения после подстановки y |Γ , θ |Γ , d(q) |Γ определяется вид функцииf .
После того как f определена, функции θ(x, y), q(x, y) в областипростой волны находятся из уравнений (5.6б). Значения θ, q на характеристике C + , выходящей из точки A, принадлежащей Γ, определяются следующим образом. Из точки A проводится характеристика+CA: y − yA = (x − xA ) tg(θ(xA )+ α(xA )). Вдоль характеристики полагаем θ(x, y) C + = θ(xA ), q(x, y) C + = q(xA ).
Определив θ, q на каждойAAхарактеристике, мы будем знать θ(x, y), q(x, y) в окрестности жесткойстенки. Вообще говоря, при продолжении решения в более широкуюокрестность характеристики могут пересечься (возникает градиентнаякатастрофа) и решение задачи обтекания может стать разрывным.Простая r-волна, центрированная в фиксированной точке x = x0 ,y = y0 , определяется соотношениямиr = θ − µ(q) = r0 (= const), tg(θ − α) =y − y0x − x0Простая центрированная l-волна определяется соотношениямиl = θ + µ(q) = l0 (= const), tg(θ + α) =y − y0x − x0Рассмотрим установившееся течение, описываемое центрированнойпростой волной.111ppРис.
5.1Рис. 5.2Пример 5.2. Пусть в условиях примера (5.1) h(x) = x tg θ0 . Построить решение задачи сверхзвукового обтекания стенки с изломом.Решение. Так же как в предыдущем примере, решение постояннов области левее характеристики C + : y = x tg α1 (рис. 5.2). По этой характеристике происходит примыкание постоянного решения к простойl-волне. Так как заданные значения θ |Γ кусочно-постоянны, задача инвариантна относительно преобразования растяжения независимых переменных x → ax, y → ay (a — параметр растяжения). Решение задачибудет автомодельным, соответственно, простая волна будет центрирована в точке x = 0, y = 0.
В области центрированной волныθ + µ(q) = µ(q1 ), tg(θ + α) =yxИз этих двух уравнений определяются функции θ( xy ), q( xy ). Областьпростой волны замыкается звуковой характеристикой C + , на которойдостигается значение θ = −θ0 . Значение q0 на этой характеристикеопределяется из первого соотношения (5.6б). При этом замыкающаяхарактеристика задается уравнением y = x tg(−θ0 +α(q0 )). Правее этойхарактеристики течение постоянно θ = −θ0 , q = q0 , соответственноплотность ρ0 можно найти из интеграла Бернулли:2q02 + 2i(ρ0 , s1 ) = q12 + 2i(ρ1 , s1 ) = qm,а давление — с помощью уравнения состояния: p0 = f (ρ0 , s1 ).
Установившееся сверхзвуковое течение газа при обтекании угла большего πназывается течением Прандтля — Мейера.Следует отметить, что при некотором значении θ0 = θ0max модульскорости достигает значения q0 = qm , а плотность — значения ρ0 = 0.112Это означает, что при θ0 > θ0max происходит отрыв потока от стенки;на замыкающей характеристике простой волны θ = −θ0max , ρ = 0, ав области между замыкающей характеристикой и стенкой появляетсязона вакуума, где p = 0.Переходы, описываемые решениями из класса простых волн, удобноизображать на плоскости переменных θ, p специальными кривыми —(θ, p) — диаграммами простых волн:r − волна:θ−µc1 (p) = θ1 − µc1 (p1 );l − волна:θ+µc1 (p) = θ1 + µc1 (p1 ).Здесь индекс “1” соответствует течению перед простой волной. Функ2ция µc1 (p) задается так: интеграл Бернулли (5.2), в котором qm= q12 +2i(ρ1 , s1 ), уравнение состояния p = f (ρ, s1 ) определяют зависимостьq = q1 (p) и величину c∗ ; тогда, по определению, µc1 (p) = µ(q1 (p)).
Легко′заметить, что µc1 (p) < 0. Будем называть l–волну обращенной вправо,r−волну обращенной влево (для наблюдателя, находящегося в точке0 (см. рис. 5.2), обращенного лицом в сторону, противоположную направлению вектора скорости, фронт, ограничивающий область простойволны, отходит вправо от точки 0, так как θ + α > θ).5.3Косые скачки уплотненияВ стационарном течении нормальная скорость ударного фронта Dn =0. Вектор скорости при переходе через фронт в общем случае изменяет свое направление, так как проекция этого вектора на касательноек фронту направление сохраняется, а нормальная составляющая изменяется.
Стационарные ударные волны называются косыми скачкамиуплотнения.Если поток перед скачком уплотнения известен: v = v1 = (u1 , v1 ),p = p1 , ρ = ρ1 , то параметры течения за скачком v2 , p2 , ρ2 и векторнормали к фронту n = (cos(δ), sin(δ)), направленный в сторону состояния перед скачком, связаны четырьмя соотношениями на разрыве:22+ p2 , v1l = v2l ,+ p1 = ρ2 v2nρ1 v1n = ρ2 v2n , ρ1 v1nε(τ1 , p1 ) + p1 τ1 +2v1nv2= ε(τ2 , p2 ) + p2 τ2 + 2n .22(5.7)Здесь vil = vi · l, l · n = 0. Для течения перед скачком уплотнениядолжно выполняться неравенство |v1 | > c1 , так как в силу теоремы113AРис. 5.3Цемплена |v1 · n| > c1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
