1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для определения всех параметров течения заскачком уплотнения необходимо дополнительное задание одной из величин за фронтом или величины δ.Исключив p2 , τ2 , δ из (5.7), получим уравнение ударной поляры:v2Γ1 (M12 (q1 − u)/q1 )=− 1.2(q1 − u)(q1 − u)/q1(5.8)Здесь u, v — компоненты вектора скорости за скачком в декартовойсистеме координат с осью абсцисс, направленной по вектору v1 ; функция Γ1 определяется представлением уравнения адиабаты Гюгонио ввиде(p − p )τ1.(5.9)1−=Γτ1ρ1 c21Индекс “1” означает, что Γ1 зависит в общем случае от p1 , τ1 .
Дляполитропного газа Γ1 = Γ (Γ не зависит от p1 , τ1 ), гдеΓ(z) =2z.2 + (γ + 1)z(5.10)График ударной поляры для политропного газа изображен на рис.5.3. Если соединить начало координат с произвольной точкой D на−−→ударной поляре, то вектор OD определяет скорость за косым скачкомуплотнения. Точка A соответствует скачку уплотнения нулевой интенсивности, точка B — прямому скачку, в котором вектор скорости неизменяет направления при переходе через разрыв (такой ударный переход возникает в случае, когда вектор скорости набегающего потока,перпендикулярен к фронту). Для модели нормального газа ударная поляра, симметричная относительно оси Ou, замкнутая кривая.
В точкеu = u0 , где (q1 − u0 )/q1 = Γ1 (M12 (q1 − u0 )/q1 ), она имеет вертикальнуюкасательную, в точке u = q1 : dv/du = ± ctg α1 .114ppРис. 5.4Ударная поляра звездна относительно точки A, угол поворота вектора скорости θe не превышает значения θmax < π/2.Из соотношений (5.7) можно получить связь между давлением p заскачком уплотнения и углом поворота вектора скорости θe = θ − θ1 . Дляэтого нужно использовать следствия (5.7):|v − v1 |2 = (p − p1 )(τ1 − τ ),q 2 = q12 − (p − p1 )(τ1 + τ )(5.11a)и уравнение адиабаты Гюгонио τ = τ (p, τ1 , p1 ).В результате получается уравнение кривой на плоскости θ, p —(θ, p)-диаграммы косых скачков уплотнения:[(p − p1 )(τ1 − τ − τ12 q1−2 (p − p1 ))θ − θ1 = ± arcsinq12 − (p − p1 )(τ1 + τ )]1/2.(5.11)Вид этой кривой в случае политропного уравнения состояния изображен на рис. 5.4.
Знаки “±” соответствуют правой и левой ветвям кривой, симметричной относительно прямой θ = θ1 . Максимальное значение p на (θ, p)-диаграмме достигается при прямом скачке уплотнения,когда θ = θ1 .Рассмотрим вектор σ, касательный к ударному фронту, такой чтоσ·v1 ≥ 0. Введем χ−θ1 — угол между векторами v1 и σ (|χ−θ2 | < π/2).Знак χ − θ1 совпадает со знаком θ − θ1 в силу равенства, следующегоиз соотношений (5.7):()ctg(χ − θ1 ) = tg(θ − θ1 ) τ1−1 q1 (p − p1 )−1 − 1 .(5.12)115pударныеволны,обращенныевлевоударныеволны,обращенныевправоpпростыеволныпростыеволныРис. 5.5Совпадение знаков χ − θ2 и χ − θ1 следует из закона сохранения массына разрыве:ρ1 q1 sin(χ − θ1 ) = ρ1 q2 sin(χ − θ2 )Будем называть скачки уплотнения, на которых выполняется неравенство χ − θ > 0, обращенными вправо (соответственно при χ − θ < 0— обращенными влево).
Учитывая сказанное выше, знак “+” в (5.11)соответствует скачкам, обращенным вправо, знак “−” — обращеннымвлево. С помощью (θ, p) — диаграмм ударных и простых волн можнопостроить общую (θ, p) — диаграмму переходов заданного состояния“1” в другие состояния (рис. 5.5).Верхняя часть диаграммы (p ≥ p1 ) отвечает переходам с помощьюударных волн, нижняя (p ≤ p1 ) описывает переходы с помощью простых центрированных волн. Диаграмма “a” определяет переходы, обращенные вправо, диаграмма “б” — переходы, обращенные влево. Спомощью этих диаграмм можно строить решения задач о взаимодействии косых скачков уплотнения по аналогии с построением решениязадачи о распаде произвольного разрыва методом (u, p) — диаграмм.Точка пересечения двух (θ, p)-диаграмм, обращенных в разные стороны, соответствует переходу заданных состояний в состояния, которыеможно связать соотношениями на контактном разрыве [p] = 0, [θ] = 0.Пример 5.3.
Построить решение задачи обтекания бесконечногоклина угла раствора 2β, расположенного симметрично относительнооси Ox (рис. 5.6), равномерным сверхзвуковым потоком политропногогаза с параметрами v = v1 = (q1 , 0), p = p1 , ρ = ρ1 (q1 > c1 ).Решение. Условие непротекания на стенках клина можно предста116Рис. 5.6вить в видеθy=x tg β = β, θy=−x tg β = −β.Так как задача инвариантна относительно равномерных растяженийнезависимых переменных x → ax, y → ay (a — параметр растяжения),решение ее будем искать в классе автомодельных решений (зависящихот xy ) уравнений газовой динамики.
В силу того, что набегающий поток сверхзвуковой, возмущения этого потока будут распространятьсятолько в область x > 0. Очевидно, что фронты ударных (или центрированных) волн должны располагаться при y > 0 так, что χ − θ > 0, апри y < 0 так, что χ − θ < 0. Рассмотрим (θ, p)-диаграмму переходов,обращенных вправо (рис. 5.5,а). Точки пересечения прямой θ = β и(θ, p)-диаграммы должны определять состояние за волной, возникающей при обтекании.
Из свойств (θ, p)-диаграммы следует, что таких точек две (2 и 2∗ ). Нижняя точка отвечает “слабому” скачку уплотнения,верхняя — “сильному”. В качестве решения принято выбирать состояние, отвечающее минимальному значению p (p = p2 ), что согласуется с экспериментальными данными и теоретическими результатами поустойчивости таких течений. После определения p2 с помощью уравнения адиабаты Гюгонио определяется величина ρ2 ; соотношение (5.11a)определяет q2 , при этом v2 = q2 (cos β, sin β).
Угол наклона фронта косого скачка уплотнения χ определяется из соотношения (5.12). Аналогичным образом определяются параметры течения за скачком уплотнения, обращенным влево (на нижней стороне клина). Таким образом,при сверхзвуковом обтекании клина образуются два скачка уплотнения, за которыми потоки равномерные.Замечание. Приведенное выше построение возможно в том случае,117Рис. 5.7когда β < θmax . Если β > θmax , то автомодельного решения задача обтекания не имеет. При сверхзвуковом обтекании конечного клина с углом раствора 2β > 2θmax и при обтекании затупленного тела возникаеттечение с отошедшим скачком уплотнения (рис.
5.7).Скачки уплотнения, изображенные на рис. 5.6, называют присоединенными. В случае обтекания симметричного затупленного тела равномерным потоком, направленным вдоль оси симметрии, в точке пересечения фронта и оси симметрии скачок будет прямым. При движениивдоль фронта интенсивность скачка меняется, при этом всевозможныезначения θ, p за фронтом соответствуют различным точкам кривой нарис. 5.4. Построение решений с отошедшими скачками уплотнения сводится к достаточно сложной задаче с неизвестной границей (фронтомскачка).Задача о взаимодействии косых скачков уплотнения возникает присверхзвуковом обтекании двух клиньев (рис. 5.8).
Фронты косых скачков уплотнения AO и BO, возникших при обтекании каждого клина,пересекаются в точке 0.Пример 5.4. Пусть заданы прямолинейные фронты взаимодействующих скачков уплотнения AO, BO; параметры сверхзвукового равномерного течения в областях “0” , “1” , “2”. Требуется найти параметрытечения в окрестности точки 0 вниз по потоку.Решение. Поместим начало координат в точку 0.
Рассмотрим (θ, p)диаграмму переходов, обращенных вправо, для состояния “1” и (θ, p)диаграмму переходов, обращенных влево, для состояния “2” (рис. 5.9).Пусть (θ3 , p3 ) — точка пересечения указанных (θ, p)-диаграмм (p3 —наименьшее значение по сравнению со значениями давления в других точках пересечения). Так как пересекаются ударные ветви (θ, p)118p“1”“3’’”“2”“3’”Рис.
5.8Рис. 5.9диаграмм, при переходах из состояния “1” в “3′ ”, из состояния “2” в “3′′ ”возникают косые скачки уплотнения. По известному значению p3 можно определить параметры течения в областях “3′ ”, “3′′ ”, углы наклонафронтов OC и OD точно так же, как в примере 5.1. Угол наклонафронта контактного разрыва OE совпадает с углом наклона вектораскорости v3 . Решение задачи построено.5.4Уравнения Чаплыгина.
Дозвуковые и околозвуковые теченияПотенциал вектора скорости φ (v = ∇φ) в изэнтропическом безвихревом установившемся течении удовлетворяет дифференциальному уравнению:(5.13)(φ2x − c2 )φxx + 2φx φy φxy + (φ2y − c2 )φyy = 0Величину c2 = c2 (ρ, s0 ) можно выразить через |∇φ|2 с помощью интеграла Бернулли (5.2).Если течение дозвуковое (φ2x + φ2y < c2 ), то уравнение (5.13) имеет эллиптический тип, если течение сверхзвуковое (φ2x + φ2y > c2 ), тоуравнение (5.13) гиперболическое.119Введем функцию тока ψ с помощью равенствψx = −ρv, ψy = ρu.Квазилинейное уравнение (5.13) можно преобразовать в линейное дифференциальное уравнение, если в качестве независимых переменныхвыбрать компоненты вектора скорости u, v либо q и θ (u = q cos θ, v =q sin θ). Действительно, по определению φ и ψcos θsin θdφ −dψ =qρq)()(sin θcos θsin θcos θφq −ψq dq +φθ −ψθ dθ;=qρqqρqsin θcos θdy =dφ +dψ =qρq()()cos θcos θsin θsin θ=φq +ψq dq +φθ +ψθ dθqρqqρqdx =(5.14)Условия полных дифференциалов дают уравнения Чаплыгина:φq =M2 − 1qψθ , φ θ = ψq .ρqρ(5.15)Исключение φ из системы (5.15) приводит к уравнению Чаплыгина дляфункции тока:()1 − M2∂ qψθθ +ψq = 0.(5.16)ρq∂q ρУравнение (5.16) является линейным, коэффициенты в этом уравнении, стоящие при производных неизвестной функции ψ, зависят толькоот независимой переменной q.Уравнение (5.16) допускает разделение переменных — на этом факте основан метод Чаплыгина решения стационарных задач газовой динамики.Если решение уравнения (5.16) известно, то производные функцииφ, найденные с помощью (5.15), а также производные функции ψ подставляются в (5.14).
Интегрированием уравнений в полных дифференциалах (5.14) определяются функции x = x(q, θ), y = y(q, θ). Если это отображение удается обратить, то определяется решение q =q(x, y), θ = θ(x, y). Поэтому преобразование к переменным годографа применяется к тем задачам, решения которых взаимно однозначно отображают область определения решения плоскости x, y на некоторую область в плоскости годографа. Примером решения уравнений120(5.4), для которого нет указанной взаимной однозначности, являетсяпростая волна: двумерной области определения простой волны в плоскости переменных x, y соответствует одномерное многообразие — кривая (θ ± µ(q) = const).Пример 5.5.
Пусть известно частное решение ψ = aθ (a = const)уравнения Чаплыгина (5.16). Построить картину течения в плоскости(x, y).Решение. Из уравнений (5.15) следует, чтоφq =M2 − 1a, φθ = 0.ρqС учетом этих равенств первое уравнение (5.14) можно представить ввидеcos θsin θdx =(M 2 − 1)a dq −a dθ.(5.17)ρq 2ρqИз (5.17) следует, чтоsin θxθ = −a.ρqИнтегрированием этого уравнения определяемx=acos θ+ x0 (q)ρq(5.18)(x0 (q) — произвольная функция).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
