1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 13
Текст из файла (страница 13)
4.7Рис. 4.8обращенных вправо, с центром (u2 , p2 ) и совмещенной (u, p)-диаграммыволн, обращенных влево, с центром (u1 , p1 ) (рис. 4.7). Под совмещенной(u, p)-диаграммой с центром (u0 , p0 ) понимается кривая, составленнаяиз (u, p)-диаграммы ударной волны при p > p0 и (u, p)-диаграммы простой волны при p0 > p > 0.
Уравнения совмещенных (u, p)-диаграмм сцентрами в точках “1” и “2” (см. рис. 4.7) имеют вид√u1 − (p − p1 )(τ1 − τH1 (p; τ1 , p1 )), ∞ > p > p1 ;u = F1 (p) ≡u1 − σ1 (p; s1 ) + σ1 (p1 ; s1 ),0 6 p 6 p2 ;(4.54)√u2 + (p − p1 )(τ2 − τH2 (p; τ2 , p2 )), p2 6 p < ∞;u = F2 (p) ≡u2 + σ2 (p; s2 ) − σ2 (p2 ; s2 ),0 6 p 6 p2 .Уравнения (4.54) написаны в предположении, что газы в состояниях“1” и “2” описываются различными уравнениями состояния.После того как найдена точка пересечения кривых u = F1 (p) иu = F2 (p), решение задачи о распаде произвольного разрыва можно считать, в основном, завершенным. Действительно, пусть эта точка (u3 , p3 ) расположена так, как это показано на рис. 4.7.
Тогда картина движения на плоскости (x, t) изобразится следующим образом(рис. 4.8). Луч OE задает уравнение движения контактного разрыва:x = u3 t. Состояние “2” переходит в “3” посредством ударной волны OA,а состояние “1” в “3” посредством центрированной r-волны разреженияCOD. Величины τ3′ и τ3′′ могут быть вычислены из уравненийp3 = g1 (τ3′′ , s1 ),τ3′ = τH2 (p3 ; τ2 , p2 ).81В области COD решение находится из соотношенийu + σ1 (p; s1 ) = u1 + σ1 (p1 ; s1 ),p = g1 (τ, s1 ),u−c=x.tНаконец, фронты OA, OC и OD волн определяются формуламиOC :x = (u1 − c1 )t;OD :x = (u3 − c3′′ )t;OA :x = D2 t =(4.55)τ2 u3 − τ3′ u2t.τ2 − τ3′В (4.55) скорость звука c3′′ в состоянии “3′′ ” определяется, очевидно,уравнением22 ∂g1 (τ, s1 ) .c3′′ = −τ3′′∂ττ =τ3′′Метод (u, p)-диаграмм применяется при решении многих задач ссильными разрывами.
Его реализация особенно упрощается, если используется акустическое приближение при рассмотрении процессов, вкоторых относительные значения скачков величин [p], [ρ], [u] малы. Вакустическом приближении кривые (u, p)-диаграмм заменяются прямыми, являющимися касательными к этим кривым в центре. (u, p)диаграммы ударных и простых волн с центром в (u0 , p0 ) в акустическом приближении описываются единым уравнением(p − p0 )2 = ρ20 c20 (u − u0 )2 .Пример 4.5. Бесконечная труба с площадью сечения S = 100 см2заполнена покоящимся воздухом с параметрами ρ0 = 0, 012 г/см3 , p0 =1 атм = 1, 013 · 105 Н/м2 и разделена на две части невесомым нетеплопроводным поршнем. Предполагая воздух политропным газом с γ =1, 4, найти мощность установки, способной мгновенно сообщать поршню скорость V = 1, 25 c0 (c0 — скорость звука в покоящемся воздухе) ипараметры воздуха на обеих сторонах поршня в процессе его движениясо скоростью V .Решение.
Пусть поршень движется по закону x = V t. Тогда посостоянию “0” справа от поршня пойдет волна, обращенная вправо, а посостоянию “0” слева от поршня — волна, обращенная влево. За этимиволнами должны реализовываться состояния с известной скоростьюu = V . На плоскости (u, p) соответствующие (u, p)-диаграммы этихдвух волн изображены кривыми “0”–“1” и “0”–“2” (рис. 4.9).82pp“2”“1”pp“0”Рис. 4.9“0”Рис. 4.10Так как данная задача конически автомодельна, то конфигурацияволн, отвечающая (u, p)-диаграмме на рис. 4.9 будет такой, как нарис. 4.10.Давления p1 и p2 рассчитываются на основании уравнений (4.50) и(4.49), описывающих кривые “0”–“1” и “0”–“2”. Для вычисления p1 имеемуравнение (4.50) при γ = 7/5, u0 = 0, u = V :()2p12τ0 p0−125 225c20 (p1 /p0 − 1)2p) 0 ()=c0 = (.7p17167(6p1 /p0 + 1)+1+−15p05Здесь использовано соотношение c2 = γτ p. После элементарных преобразований для величины p′1 = p1 /p0 получим следующее квадратноеуравнение:16(p′1 )2 − 74p′1 + 9 = 0.Данное уравнение имеет два корня: 9/2 и 1/8.
Поскольку p′1 долженбыть больше единицы, то для давления p1 получим p1 = 4, 5 p0 .Давление p2 определяется из уравнения (4.49), написанного применительно к r-волне:[( ) γ−1]2c0p 2γu − u0 = −−1 .γ−1p083Полагая здесь u0 = 0, u = 5 c0 /4, γ = 7/5, получим для отношенияp′2 = p2 /p0 следующее значение:p′2 = (0, 75)7 ≈ 0, 13.Таким образом, для приведения в движение поршня со скоростью V =1, 25 c0 к нему необходимо приложить силуF = (p1 − p2 )S ≈ (4, 5 − 0, 13)p0 S = 4, 37p0 S.Произведение силы F на скорость поршня V даст искомое значениемощности W установки, способной осуществить это движение:()1/27 p0W = 4, 37 · S · p0 · 1, 25=5 ρ0()1/2Н1, 013 · 105м= 4, 37 · 10−2 м2 · 1, 013 · 105 2 · 1, 25 1, 4≈м1, 2с≈ 1, 9 · 106 Вт = 1, 9 МВт.Найдем плотности ρ1 и ρ2 в состояниях “1” и “2”, примыкающих кпоршню (см. рис.
4.10). Видно, что ρ1 должно определяться из уравнения адиабаты Гюгонио с центром (τ0 , p0 ), а ρ2 — из уравнения изэнтропы, проходящей через эту же точку (τ0 , p0 ). Следовательно,(γ + 1) pp10 + γ − 1 ρ1(γ + 1)p1 + (γ − 1)p056===≈ 2, 7;p1ρ0(γ − 1)p1 + (γ + 1)p0(γ − 1) p0 + γ + 1 γ=1,421p1=4,5p0( )1/γ ρ2p2=≈ 0, 23. γ=1,4ρ0p0p2=0,13p0Итак, окончательно получимкг;м3кгρ1 = 0, 23 ρ0 = 0, 276 3 .мp1 = 4, 5 p0 = 455850 Па,ρ1 = 2, 7 ρ0 = 3, 24p2 = 0, 13 p0 = 13169 Па,4.4Автомодельные течения газа. Законы затуханияударных волнДля одномерных движений газа с цилиндрическими (ν = 1) и сферическими (ν = 2) волнами условия на характеристиках (4.4) не интегрируются.
Для таких движений класс задач, решение которых удается84построить в явной аналитической форме, оказывается довольно узкимв отличие от одномерных движений газа с плоскими (ν = 0) волнами.При решении ряда важных прикладных задач могут быть использованы так называемые автомодельные решения. Автомодельными решениями называются решения, инвариантные относительно преобразований растяжения, допускаемых исходной системой уравнений. В частности, легко проверить, что система уравнений (4.2) при ρc2 = γp(γ = const), т.е. для политропного газа, допускает трехпараметрическую группу преобразований растяжения:t′ = at,x′ = abx,u′ = bu,ρ′ = cρ,p′ = cb2 p.(4.56)В (4.56) a, b, c — произвольные вещественные числа, являющиеся параметрами группы преобразований. Допустимость преобразований (4.56)уравнениями (4.2) означает, что после перехода в (4.2) от переменных(t, x, .
. . , p) к переменным (t′ , x′ , . . . , p′ ) вид этих уравнений не изменяется.Положив в (4.56) b = aα−1 , c = aβ , где α, β — произвольные (но фиксированные) постоянные, получим следующую однопараметрическуюгруппу преобразований растяжений, допускаемую (4.2) при ρc2 = γp:t′ = at,x′ = aα x,u′ = aα−1 u,ρ′ = aβ ρ,p′ = aβ+2α−2 p.(4.57)Автомодельные решения уравнений (4.2), инвариантные относительнопреобразований (4.57), могут быть представлены в видеxu′ = U (λ), ρ′ = tβ R(λ), p′ = r2 tβ−2 P (λ); λ = xt−α ,(4.58)tгде U , R, P — искомые функции.
После подстановки (4.57) в (4.2) получим систему обыкновенных уравнений относительно функций U (λ),R(λ), P (λ):λ ′PP − U + U 2 + 2 = 0,RR(U − α)λR′ + λRU ′ + (β + µU )R = 0,(U − α)λU ′ +(4.59)(U − α)λP ′ + γλP U ′ + ((µγ + 2)U + β − 2) P = 0,где µ = 1 + ν.Анализ этой системы показывает, что ее можно свести к одномунезависимому уравнению и двум квадратурам. Независимое уравнениевыглядит следующим образом:dZZ M=,dUU −α N85(4.60)гдеZ=P,R[]M = 2γU − (γ − 1)(2α + β) − 2 Z−[−(U − α) (µ(γ − 1) + 3 − γ)U 2 +]+(γ − αµ(γ − 1) − 2α − 3)U + 2α ,(4.61)N = (µγU + 2α + β − 2)Z − (U − α)(U 2 − U ).По известной зависимости Z(U ) функции U (λ) и R(λ) находятся квадратурами из уравнений(µγU + 2α + β − 2)Z − (U − α)(U 2 − U )dU=,dλ(U − α)2 − γZλ dRλU ′ + µU + β=−.R dλU −αλ(4.62)Полезно отметить, что из интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии применительно к объему λ1 tα 6 x 6 λ2 tα дляавтомодельных движений вытекают следующие интегральные соотношения:(β + α(ν + 1))λ∫2λ1[]2Rλν dλ = − λν+1 R(U − α) 1 ,λ∫2RU λν+1 dλ − P λν+1 dλ =λ1λ1[]2= − λν+2 (P + RU (U − α)) 1 ,)λ∫2 ( 112ν+2dλ =(β + (ν + 3)α − 2)2 RU + γ−1 P λλ1[()]21= − λν+3 P U + ( 12 RU 2 + γ−1P )(U − α).(β + (ν + 2)α − 1)λ∫2(4.63)12Здесь [f (λ)]1 = f (λ2 ) − f (λ1 ).
Для определенных соотношений междупараметрами α, β и ν из (4.63) сразу получаются интегралы уравнений(4.59). Например, при β+α(ν +3)−2 = 0 из последнего уравнения (4.63)получаем такой интеграл уравнения (4.60):()1 21ZU +U +Z (U − α) = 0.(4.64)2γ−1Интеграл (4.64) позволяет получить в аналитической форме решение задачи о сильном взрыве.
Постановка этой задачи такова: в по86коящемся политропном газе с параметрами состояния p1 , ρ1 , заполняющем все пространство R3 , в момент времени t = 0 в точке x = 0мгновенно выделилась большая (по сравнению с внутренней энергиейгаза) конечная энергия E0 (произошел взрыв). При t > 0 в газ распространяется ударная волна, вызывающая движение газа. Требуетсянайти закон перемещения ударной волны и описать движение газа заее фронтом, пренебрегая давлением в покоящемся газе, т.е. при p1 = 0.2.Анализ показывает, что здесь необходимо положить β = 0, α = ν+3При этих значениях параметров α и β соотношение (4.64) оказываетсявыполненным, и тем самым удается получить решение задачи в явнойаналитической форме.
Практическая применимость решения задачи осильном точечном разрыве ограничивается начальной стадией взрыва,когда давление за ударной волной значительно превосходит давлениеперед ней, т.е. когда ударная волна сильная. На больших расстоянияхот места взрыва поведение ударных волн можно оценивать с помощьюасимптотического решения задачи о затухании ударных волн.В этой задаче для анализа течения за слабой ударной волной вво1дится амплитуда ударной волны δ = pρ21−p, где индекс “1” относитсяc21к состоянию перед волной, а индекс “2” — за волной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
