1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Пусть u1 = 0 иволна распространяется в положительном направлении оси x. Из соотношений на ударной волне вытекают следующие соотношения дляэнтропии s и инварианта Римана l:s2 − s1 = O(δ 3 ),l2 − l1 = O(δ 3 ).Предположение о постоянстве энтропии и инварианта Римана l всюдуза ударной волной (асимптотическая теория) позволяет проинтегрировать условие на C+ -характеристике:xν/2 ρu = α,где величина α постоянна вдоль C+ -характеристики, но, вообще говоря,меняется при переходе от одной характеристики к другой.В итоге предположения асимптотической теории движения слабойударной волны сводятся к тому, что за фронтом волны предполагаютсявыполненными следующие уравнения:s = s1 = const,l = l1 = const,xν/2 ρu = α.(4.65)На основе уравнений (4.65) определяются законы затухания ударныхволн для одномерных движений газа с плоскими, цилиндрическими исферическими волнами.

В частности, если x = xф (t) — закон движения87затухающей ударной волны, то при xф → ∞ амплитуда ударной волныδ имеет следующие асимптотические представления:−1/2,ν = 0;δ0 (xф )−3/4δ = δ1 (xф ),ν = 1;−1−1/2δ2 (xф ) (ln xф ), ν = 2,где δ0 , δ1 , δ2 - некоторые постоянные.Пример 4.6. В начальный момент времени t = 0 покоящийся политропный газ находится вне сферического поршня радиуса x0 > 0.При t > 0 поршень вдвигается в газ по закону()1/2t,x = x0 1 +t0t0 =x0,2εc0где c0 — скорость звука в покоящемся газе, ε > 0 — постоянная. Предполагая ε ≪ 1, найти с точностью до O(ε2 ) закон движения ударнойволны, распространяющейся по газу от поршня.Решение.

Для скорости поршня V имеем формулу(V = εc0t1+t0)−1/2.Из нее следует, что скорость поршня при 0 < t < ∞ монотонно убываетот εc0 до 0. Это означает, что ударная волна, распространяющаяся отпоршня, при всех значениях t может считаться слабой. В соответствиис асимптотической теорией затухания ударной волны для нахождениярешения за волной воспользуемся уравнениями (4.65):pρ−γ = p0 ρ−γ0 ,u−2c2c0=−,γ−1γ−1xρu = α.(4.66)Здесь α — постоянная вдоль C + -характеристик.Поскольку u ∼ ε, ρ ∼ ρ0 + O(ε), то с точностью до O(ε2 ) последнееуравнение в (4.66) можно заменить следующим: xρ0 u = α. Рассмотрим()1/2характеристику C + , выходящую из точки t = τ , x = x0 1 + tτ0.Вэтой точке()−1/2τu = V (τ ) = εc0 1 +,t0()1/2()−1/2ττα = x0 1 +ρ0 εc0 1 += ερ0 c0 x0 .t0t088Следовательно, в (4.66) величина α является тождественно постоянной.Для нахождения решения за ударной волной имеем соотношенияu−2c2c0=−,γ−1γ−1u=εc0 x0.xТак как для скорости ударной волны D справедливо асимптотическое представление (см.

задачу 2.18)D=)1(u + c + c0 + O(ε2 ),2где u, c — величины за ударной волной, то для нахождения закона движения ударной волны необходимо решить следующую задачу Коши:γ+1γ+1x0dx= c0 +u + O(ε2 ) = c0 +εc0+ O(ε2 ),dt44xx(0) = x0 .Решение ее дается формулойc0 t = x − x0 −4.5xγ+1εx0 ln + O(ε2 ).4x0Задачи4.1. Массовая лагранжева координата m = m(x, t) в одномерномдвижении определяется уравнениями∂m= xν ρ,∂x∂m= −xν ρu.∂tПоказать, что после перехода к лагранжевым координатам (m, t) система уравнений (4.2) преобразуется к виду∂u∂p+ xν= 0,∂t∂m∂τ∂uν− xν= τ u,∂t∂mx∂s= 0;∂t∂x= u, p = g(τ, s).∂t4.2.

Найти характеристическую форму уравнений одномерного движения газа в лагранжевых координатах (см. задачу 4.1).4.3. Показать, что задача Коши для системы уравнений одномерных движений газа с плоскими волнами в лагранжевых переменных89сводится к задаче Коши для системы из двух уравнений. Привести этусистему к инвариантам Римана.4.4. Показать, что в политропном газе с показателем политропы γ =3 характеристики уравнений изэнтропического одномерного движениягаза с плоскими волнами являются прямыми линиями на плоскости(x, t).4.5. Рассматривается непрерывное изэнтропическое одномерное движение политропного газа (1 < γ 6 3) с плоскими волнами. Пусть приt = 0 инварианты Римана r = r0 (x) и l = l0 (x) не убывают с ростом x иограничены.

Показать, что производные rx , lx , (u ± c)x положительныпри t > 0.4.6. В условиях предыдущей задачи показать, что для решения задачи Коши справедливы априорные оценки:0 6 rx (x, t) 6 max r0′ (x);x0 6 lx (x, t) 6 max l0′ (x).xУказание: рассмотреть изменение rx и lx вдоль характеристик.4.7. Найти закон движения частиц в простой центрированной rволне, распространяющейся по покоящемуся политропному газу.Ответ: для центрированной в точке x = t = 0 r-волны закон движения частицы, находящейся при t = 0 в точке x = ξ < 0, даетсяформулойξ0<t<− ;ξ,c0x=() 2ξ2c0γ+1c0 γ+1, − < t < ∞.t+ξ − tγ−1γ−1ξc04.8. Из бесконечной прямолинейной трубы, заполненной при t =0, x > 0 покоящимся политропным газом, выдвигается плоский поршень по закону)((22c0γ+1c0 ) γ+1−1 .x = X(t) ≡ −t+L1+ tγ−1γ−1LЗдесь c0 — скорость звука в покоящемся газе, L > 0 — постоянная, γ— показатель политропы газа.

Найти движение газа при t > 0.Ответ:c = c0 + γ−12 u,c0 t 6 x < ∞;0,u=2c0 x − c0 t, X(t) < x < c0 t.γ + 1 c0 t + L904.9. Плоский поршень, занимавший в момент времени t = 0 положение x = 0, выдвигается по закону x = −c20 t2 /L из трубы, заполненнойпри x > 0 покоящимся политропным газом. Найти движение газа приt > 0 и момент времени t0 отрыва поршня от газа (c0 — скорость звукав покоящемся газе, L > 0 — постоянная).Ответ:2L(c − c0 ); t0 =;γ−1(γ − 1)c0c ,c0 t 6 x < ∞; 0c20 2(t 6 t0 );c(x, t), − t < x < c0 tLc=2c0L−t 6 x < c0 tc(x, t),2(γ−1)γ−1L2c00,−∞ < x <−t(γ − 1)2γ−1u=где(t > t0 );(t > t0 );[γ − 1(γ+1 )c(x, t) = c0 1 −1+c0 t +2γL√(]γ−1γ + 1 )2 4γ+1+c0 t −(c0 t − x) .2γLL4.10.

В условиях предыдущей задачи поршень выдвигается из трубы по закону()c20 22x = −V t − t ,0<V <c0 , L > 0 ,Lγ−1где V , L — постоянные, c0 — скорость звука в покоящемся газе. Найтидвижение газа при t > 0 и момент времени t0 отрыва поршня от газа.Ответ:()L1V2(c − c0 ); t0 =−;u=γ−1c0 γ − 1 2c091c0 ,c0 t 6 x < ∞;()()γ−1 xγ+1c+−c,c−Vt 6 x < c0 t;000γ+1 t2()c20 2γ+1c(x,t),−Vt−t<x<c−Vt,0L2(t 6 t0 );c=()2c0γ+1c(x,t),x−(t−t)6x<c−Vt,000γ−12(t > t0 );2c00,−∞ < x < x0 −(t − t0 ) (t > t0 ).γ−1Здесь4c20 − (γ − 1)2 V 2,4c2 (γ − 1)2[ 0Vγ+1 )γ − 1(2 + (γ + 1) + 2c0 t +c(x, t) = c0 1 −4γc0L√(]γ−1Vγ + 1 )2 16γ (γ+1 )+2 − (γ + 1) + 2c0 t −c0 t − x −Vt .4γc0LL2x0 = −L4.11. Поршень выдвигается из бесконечной трубы, заполненной при0 < x < ∞ покоящимся политропным газом, по закону)((22γ+3c0 ) γ+1−1x = X(t) ≡ −c0 t +L 1+tγ−1γ−12L(c0 — скорость звука в покоящемся газе, L > 0 — постоянная).

Найтидвижение газа при t > 0.Ответ:2(c − c0 );γ−1c0 ,c0 t 6 x < ∞;()xc0γ−1t 6 x < c0 t;c = c0 − γ + 1 c0 − t ,2γ − 1 c0 t − x + Lc0c0 −c0, X(t) < x < t.γ+1c0 t + 2L2u=924.12. Из покоящегося политропного газа, заполняющего при t = 0область 0 < x < ∞, выдвигается по закону 2cL0<t6≡ t0 ; − 0 t2 ,L2(γ−1)c0x=3c0L−t, t0 < t < ∞2(γ − 1)22(γ − 1)плоский поршень (c0 — скорость звука в покоящемся газе, L > 0 —постоянная). Найти движение газа при t > 0.Ответ:c = c0 +γ−1u;20,U1 (x, t),u = U1 (x, t),U2 (x, t),3c0,−2(γ − 1)c0 t 6 x < ∞;c20 2t < x < c0 tLX1 (t) 6 x < c0 t−X2 (t) 6 x < X1 (t)(t 6 t0 );(t > t0 );(t > t0 );L3c0−t < x < X2 (t)2(γ − 1)22(γ − 1)(t > t0 ),где√)2()(c0 4γγ+1γ+1U1 (x, t) =c0 t −(c0 t − x) − 1 +c0 t  ,1+γLLL2c04(γ − 1)2 x + L+ 2c0 ;γ + 1 (γ − 1) (2(γ − 1)c0 t − L)2−γγ−35−γγ−7X1 =L+c0 t, X2 =L+c0 t.224(γ − 1)2(γ − 1)8(γ − 1)4(γ − 1)U2 (x, t) = −4.13.

Найти скорость движения свободного поршня массы M внеограниченной трубе с площадью сечения F под действием давлениярасширяющегося политропного газа. В начальный момент времени газпокоился (u = 0, c = c0 , p = p0 ), на обратной стороне поршня давлениеравно нулю во все моменты времени.Ответ:[() 1−γ ]2c0γ + 1 F p0 γ+1V =1− 1+t.γ−12c0 M934.14. Поршень, находившийся при t = 0 в сечении x = 0 прямолинейной трубы, вдвигается при t > 0 в газ, первоначально покоившийсяв области 0 < x < ∞. Закон движения поршня таков, что все характеристики семейства C + простой волны пересекаются в одной точке приt = t0 > 0. Найти закон движения поршня при t < t0 .Ответ:[)) 2 ]((2tγ+1t γ+1x = c0 t0 1 +1−−1−,γ−1t0γ−1t0где c0 — скорость звука в покоящемся газе.4.15.

В момент времени t = 0 газ покоится в прямолинейной трубе между двумя поршнями, отстоящими друг от друга на расстоянииL. Показать, что путем выбора соответствующих законов движенияпоршней газ между двумя поршнями можно за конечное время изэнтропически перевести в состояние покоя с наперед заданным значениемдавления.Указание: использовать одномерные течения в центрированныхволнах сжатия и разрежения.4.16. В условиях предыдущей задачи найти работу A, которую надозатратить на движение поршней, для того чтобы первоначальный объем политропного газа V0 , находящийся под давлением p0 , изэнтропически перевести в равновесное состояние покоящегося газа с давлениемp1 .Ответ:)(( ) γ−1p0 V0p1 γA=−1 .γ−1p04.17.

Характеристики

Список файлов книги