1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В начальный момент происходит распад слабого разрыва, так что[ ∂U∂ξ[где](x, 0)=Γ[ ∂U ]+∂ξ+[ ∂U ]−∂ξ+[ ∂U ]0∂ξ,]±,0— скачки производных на соответствующих характери[]стиках. Согласно (3.9) ∂U/∂ξ на характеристике является собствен[]ным вектором соответствующей матрицы A(ξ). Разложение ∂U/∂ξ...Γпо собственным векторам матрицы A(ξ), соответствующим разным се[]±,0мействам характеристик, определяет ∂U/∂ξна Γ.3.4Задачи3.1. Проверить, что для контактной характеристики ранг характеристической матрицы A(ξ) равен двум, и найти три независимыхусловия на контактной характеристике.3.2.
Показать, что для звуковой характеристики ранг матрицы A(ξ)равен четырем, и найти условие на звуковой характеристике.3.3. Показать, что система уравнений газовой динамики, описывающая установившиеся движения, гиперболична при |u| > c (c — скоростьзвука). Показать, что в качестве направления гиперболичности можновыбрать направление вектора скорости.583.4. Показать, что функцииu=x,t + t0S = S0 ;v=y,t + t0p = A(S)ρ3 ,z,t + t0c2A(S0 ) = 023ρ0w=(ρ = ρ0t )3,t + t0удовлетворяют системе уравнений газовой динамики. Здесь t0 , ρ0 , S0 ,c0 — заданные положительные постоянные.3.5. Найти уравнение контактной характеристики на решении, определяемом в условии задачи 3.4, если начальное положение характеристической поверхности задано уравнением x2 + y 2 − lz = 0.Ответ: h(x, t) = x2 + y 2 − (t + t0 )lzt−10 = 0.3.6. Найти уравнение звуковой характеристики C − на решении,определяемом в условии задачи 3.4, если известно начальное положение характеристики h(x, 0) = x2 + y 2 − l2 = 0, (l = const).Ответ:[(]2c0 t0 ) t + t0c0 t0 ( t0 )2222h(x, t) = x + y − l1−+= 0.3lt03l t + t03.7.
Показать, что функции1(xx )u=+, v = v0 ,2 tt + t0ρ0xt0c2ρ=, p = 02 ρ32c0 t(t + t0 )3ρ0w = w0 ,удовлетворяют системе уравнений газовой динамики (t0 , v0 , w0 , ρ0 —заданные постоянные, t0 > 0, ρ0 > 0, c0 > 0).3.8. Найти общее решение дифференциального уравнения для контактных характеристик на решении уравнений газовой динамики, определенном в условии предыдущейзадачи.()xОтвет: h(x, t) = h1 √, y −v0 t, z −w0 t , h1 — произвольнаяt(t + t0 )функция.3.9.
Показать, что функцииx + ay + bz, v = 0,t + t0t0c2ρ = ρ0, p = 02 ρ3t + t03ρ0u=59w = 0,удовлетворяют системе уравнений газовой динамики (a, b, t0 , ρ0 , c0 —заданные постоянные, ρ0 > 0, c0 > 0, t0 > 0).3.10. Найти уравнение звуковой характеристики C − на решении,определенном в условии задачи 3.9, если известно начальное положениехарактеристики h(x, 0) = x + ay + bz√− l = 0 (l = const).Ответ: h(x, t) = x + ay + bz + c0 1 + a2 + b2 t − l(t + t0 )t−10 = 0.3.11. Найти характеристическую форму уравнений одномерногодвижения с плоскими, сферическими, цилиндрическими волнами (см.2.30).3.12.
Показать, что после введения новых искомых величин (инвариантов Римана)r =u+2c,γ−1l =u−2cγ−1система уравнений одномерного изэнтропического движения политропного газа с плоскими волнами преобразуется к виду)(3−γγ+1r+l rx = 0,rt +44()γ+13−γlt +l+r lx = 0.443.13. Начальные данные для системы уравнений изэнтропическогоодномерного движения газа с плоскими волнами заданы в виде{0, x ≥ a,u(x, 0) =c(x, 0) = c0 ,c0 (x − a)(l + a − x)−1 , x < a.(a = const, c0 = const, l = const). Вычислить [ux ] на характеристикеx = c0 t + a в момент времени t, если известно, что при x > c0 t + aрешение постоянно: u = 0, c = c0 (газ политропный).()−1Ответ: [ux ] = −c0 2l + γ+1.2 c0 t3.14. Показать, что после замены искомых функций, указанной в3.12, уравнения одномерного изэнтропического движения политропного газа с цилиндрическими (ν = 1) и сферическими (ν = 2) волнамипреобразуются к виду()γ+13−γν(r2 − l2 )(γ − 1)rt +r+l rx = −,448x()γ+13−γν(r2 − l2 )(γ − 1)lt +l+r lx = −.448x603.15.
Начальные данные для системы уравнений изэнтропическогоодномерного движения с цилиндрическими волнами те же, что в 3.13.Вычислить [ux ] на характеристике x = c0 t + a в момент времени t, еслипри x > c0 t + a решение постоянно (газ политропный).Ответ:√1ac0√[ux ] = −.2 c0 t + a l + 2−1 (γ + 1)( a(c0 t + a) − a)3.16. Начальные данные для системы уравнений изэнтропическогоодномерного движения со сферическими волнами те же, что в 3.13.Вычислить [ux ] на характеристике x = c0 t + a в момент времени t, еслипри x > c0 t + a решение постоянно (газ политропный).Ответ:[ux ] =2ac0.(c0 t + a)(4l + (γ + 1)a ln[(c0 t + a)a−1 ])3.17.
Показать, что слабый разрыв решения системы уравнений одномерных изэнтропических движений (ν = 0, 1, 2) не может возникнутьлибо исчезнуть до тех пор, пока решение и его первые производныеостаются ограниченными.3.18. Доказать, что в одномерном движении политропного газас плоскими волнами на контактном разрыве выполнено соотношение[ux ] = 0.3.19. В условиях задачи 3.18 показать, что если решение по обестороны контактного разрыва непрерывно дифференцируемо и [ρ] ̸= 0при t = 0, то [ρ] ̸= 0 при t > 0.3.20. Бихарактеристики, выпущенные из некоторой точки (⃗x0 , t0 )в сторону t > t0 (или t < t0 ), образуют характеристический конус,который ограничивает область влияния точки (⃗x0 , t0 ).
Найти характеристический конус для уравнений газовой динамики на постоянномрешении.3.21. Найти общий вид решения уравнения контактных характеристик на решении уравнений газовой динамикиu = u0 (y),v = 0,w = 0,p = p0 ,ρ = ρ0(u0 (y) — заданная функция, p0 , ρ0 — заданные положительные постоянные).Ответ: h(x, t) = F (x − u0 (y)t, y, z), F — произвольная функция.3.22. Найти уравнение звуковой характеристики C − на решенииu = u0 (y),v = 0,w = 0,61p = p0 ,ρ = ρ0 ,если начальное положение характеристики определено уравнением y 2 +z 2 − l2 = 0.Ответ: y 2 + z 2 = (l − c0 t)2 .3.23. Рассматривается задача Коши с кусочно-дифференцируемыминачальными данными для системы уравнений одномерного движенияс плоскими волнами:u(x, 0) = u0|x| + 2l,|x| + lp(x, 0) = p0 ,ρ(x, 0) = ρ0 ,u0 , p0 , ρ0 , l — постоянные. Показать, что в момент времени t = 0 нахарактеристике C − , выходящей из начала координат, выполнены соотношения [ux ] = −u0 l−1 , [px ] = −ρ0 c0 u0 l−1 , [Sx ] = 0, где p0 = f (ρ0 , S0 ),c20 = fρ (ρ0 , S0 ).3.24.
Найти уравнения звуковых характеристик C ± на постоянномрешении:v = 0, p = p0 , ρ = ρ0 ,если известно, что в момент времени t = 0 они проходят через поверхность Γ, образованную двумя полуплоскостями {x = −1, 0 ≤ y <∞, −∞ < z < ∞}; {y = 1, 0 ≤ x < ∞, −∞ < z < ∞} и цилиндрической поверхностью {x2 + y 2 = 1, x ≤ 0, y ≤ 0, −∞ < z < ∞}.624Одномерные движения газаКласс одномерных движений газа с плоскими (ν = 0), цилиндрическими (ν = 1) и сферическими (ν = 2) волнами определяется следующимобразом.
Пусть x1 , x2 , x3 — декартовы координаты в R3 (x), а l1 , l2 , l3 —базисные векторы этой системы координат. Для ν = 0, 1, 2 определимпространственную координату x = Xν (x1 , x2 , x3 ) формулойx = Xν (x1 , x2 , x3 ) =x1 ,ν = 0;√(x1 )2 + (x2 )2 ,ν = 1;√ 1 2(x ) + (x2 )2 + (x3 )2 ,ν = 2;Одномерными движениями газа будут называться такие движения,в которых вектор скорости v, давление p и плотность ρ удовлетворяютследующим функциональным зависимостям:v = u(x, t)∇Xν ,p = p(x, t),ρ = ρ(x, t).(4.1)Здесь∇Xν = (∂Xν /∂x1 )l1 + (∂Xν /∂x2 )l2 + (∂Xν /∂x3 )l3 .Решения уравнений газовой динамики вида (4.1) удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:∂u∂u 1 ∂p+u+= 0,∂t∂x ρ ∂x(∂ρ∂ρ∂uu)+u+ρ+ν= 0,∂t∂x∂xx( ∂u∂p∂pu)+u+ ρc2+ν= 0.∂t∂x∂xx(4.2)Система уравнений (4.2) является гиперболической и имеет три семейства характеристик C 0 , C + , C − , определяемых уравнениями(C 0 ) :dx= u(x, t);dt(C ± ) :dx= u(x, t) ± c(x, t).dt(4.3)Пусть d0 /dt, d± /dt — операторы дифференцирования вдоль характеристик C 0 , C ± .
С этими операторами условия на характеристиках (4.3)63запишутся так (характеристическая форма уравнений (4.2)):( d0 S)d0 pd0 ρ− c2= 0,=0 ,dtdtdt++d u1 d pν+= − cu,dtρc dtxd− u1 d− pν−= cu.dtρc dtx4.1(4.4)Инварианты Римана, простые волныСистема уравнений (4.2) и ее характеристическая форма (4.4) значительно упрощаются для изэнтропических (S ≡ S0 = const) одномерных движений газа с плоскими (ν = 0) волнами. В этом случае остаются только два семейства характеристик C + и C − , а условия (4.4)на характеристиках могут быть проинтегрированы.
Введение вспомогательной функции∫ρc(ρ′ , S0 ) ′σ=dρ(4.5)ρ′0позволяет преобразовать условия на характеристиках C + и C − к видуd− (u − σ)= 0.dtd+ (u + σ)= 0,dt(4.6)Для политропного газа функция σ имеет видσ=√γA(S0 )ργ−1 =2c.γ−1Функции r = u + σ и l = u − σ называются инвариантами Римана.Уравнения изэнтропических одномерных движений газа с плоскимиволнами в инвариантах Римана записываются в виде∂r∂r+ (u + c)= 0,∂t∂x∂l∂l+ (u − c)= 0.∂t∂x(4.7)В системе (4.7) функции u и c должны быть выражены через r и l.Решения, в которых один из инвариантов Римана тождественно постоянен, исчерпывают класс простых волн уравнений (4.7). При этом rволной (l-волной) называется решение, в котором r ≡ const (l ≡ const).64Функциональный вид решений — простых r-волн и l-волн — даетсяследующими выражениями:r − волна :l − волна :u − σ(ρ) = l0 = const,u + σ(ρ) = r0 = const,x − (u − c)t = F1 (u),(4.8)x − (u + c)t = F2 (u).Второе соотношение (4.8) означает, что в r-волне (l-волне) прямолинейны характеристики семейства C − (семейства C + ).Простые волны подразделяются на простые волны сжатия (ρt +uρx > 0) и простые волны разрежения (ρt + uρx < 0) .
В простых волнах сжатия (разрежения) характеристики прямолинейного семействасближаются (расходятся) в направлении возрастания времени.Простые волны, в которых все прямолинейные характеристики пересекаются в одной точке, называются центрированными простымиволнами или волнами Римана. Если (x0 , t0 ) — точка пересечения прямолинейных характеристик, то r и l−волны Римана описываются следующими формулами:r − волна :l − волна :u − σ(ρ) = l0 = const,u + σ(ρ) = r0 = const,u−c=x−x0t−t0 ,u+c=(4.9)x−x0t−t0 .Значение простых волн при решении конкретных газодинамическихзадач обусловлено следующим утверждением: в непрерывном движении с плоскими волнами всякое непостоянное решение, примыкающеепо звуковой характеристике к постоянному, является простой волной.При этом по характеристике C + примыкает l-волна, а по характеристике C − — r-волна.Пример 4.1.
В бесконечной трубе, закрытой с одной стороны поршнем, в области 0 < x < ∞ покоится политропный газ, в которомc = c0 , ρ = ρ0 . При t > 0 поршень выдвигается из трубы по законуV t0 ( t )2−, 0 < t ≤ t0 ;2 t0x = X(t) =(4.10) − V t0 − V (t − t ), t < t < ∞,002где V > 0, t0 > 0 — постоянные. Требуется найти движение газа приt > 0.65B“1”ELCA“0”0Рис. 4.1Решение. В предположении непрерывности движения математическая формулировка поставленной задачи будет следующей (рис. 4.1):требуется найти решение уравнений (4.7), удовлетворяющих условиямt = 0 (x > 0);x = X(t) (t > 0) :u = 0, c = c0 ;{−V t/t0 , 0 < t ≤ t0 ;u=−V, t0 < t < ∞.(4.11)Если провести из точки O характеристику C + , то, в силу теоремыо единственности решения задачи Коши, решение правее этой характеристики будет определяться только начальными данными и, следовательно, будет таким: u = 0, c = c0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
