1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Показать, что газ с уравнением состояния Ван-дер-Ваальсане является нормальным газом.301.28. Вывести уравнение Гиббса — ДюгемаSdT − V dp +N∑mj dµj = 0j=1для N -компонентной открытой системы.1.29. Вблизи тройной точки (твердое тело — жидкость — газ) кривая равновесия на плоскости (T, p) между твердой и газообразной фазами имеет обычно больший наклон к температурной оси, чем криваяравновесия между жидкой и газообразной фазами. Дать термодинамическое объяснение этого явления.1.30.
Пусть теплота парообразования L не зависит от температуры, а состояния пара описываются уравнениями Клапейрона. Показать, что для давления pпар насыщенных паров жидкости справедливазависимостьpпар ∼ exp(−L/RT ).312Законы сохранения и сильный разрыв2.1Интегральные законы сохраненияДля произвольного изменяющегося со временем конечного объема Ω(t)с границей Σ(t), занятого газом, определяются следующие величины:масса m(Ω) =∫∫∫ρdω;∫∫∫импульс K(Ω) =ρvdω;Ω∫∫∫момент импульса L(Ω) =ρ (x × v) dω;Ω ∫∫∫внутренняя энергия U (Ω) =ρεdω;Ω∫∫∫энтропия S(Ω) =ρsdω;Ω)∫∫∫ ( 1 2полная энергия E(Ω) =ρ 2 |v| + ε dω.ΩΩВходящие в подынтегральные выражения ρ — плотность, v — вектор скорости, ε — удельная внутренняя энергия, s — удельная энтропияявляются функциями точки x ∈ R3 и времени t.
Очевидно, что в случаенепрерывности этих функций значения подынтегральных выраженийв точке x в фиксированный момент времени t можно получить какпределы отношений приведенных выше интегралов к величине объемапри стягивании объема к точке x.Сформулируем основные уравнения математической модели движения невязкого газа (тензор напряжений — шаровой). Введем понятиечастицы и индивидуального объема.
Для этого рассмотрим задачу Коши:dx= v (x, t) ,x|t=0 = ξ.dtЧастицей называется точка пространства R3 , закон движения которойзадается решением задачи Коши x = x(ξ, t) при фиксированном ξ.Объем, состоящий во все моменты времени из одних и тех же частиц, называется индивидуальным (или материальным) объемом и обозначается далее символом ω(t), а его граница — символом ∂ω(t). Придвижении газа в поле внешних сил с объемной плотностью ρ f для любого индивидуального объема должны быть выполнены интегральныезаконы сохранения:32ddtddtddt∫∫∫ρdω = 0;∫ω(t)∫∫∫∫∫ω(t)∫∫pndσ +∫∫∂ω(t)ρ(x × v)dω = −(∫∫∫ω(t)ddt∫∫∫ρvdω = −ρω(t)ρf dω;∫∫∫ω(t)p(x × n)dσ +ρ(x × f )dω;(2.1))∫∫1 2|v| + ε dω = −p(v · n)dσ+2∂ω(t)∫ ∫∫∫∫+qn dσ +ρv · f dω.∂ω(t)ω(t)∂ω(t)ω(t)В формулах (2.1) p — давление, n — внешняя нормаль к ∂ω(t), qn —поверхностная плотность потока тепла, вносимого в этот объем со стороны окружающей его среды (qn dσdt — количество тепла, сообщенногообъему ω(t) через площадку dσ с нормалью n за время dt).
Соотношения (2.1) выражают законы сохранения массы, импульса, моментаимпульса и энергии.Для практических целей удобна следующая форма интегральныхзаконов сохранения (вытекающая из (2.1)) для произвольно меняющегося со временем объема Ω(t) с границей Σ(t):ddtddt∫∫∫∫∫ρ(v · n − Dn )dσ = 0;ρdω +∫Ω(t)∫∫Σ(t)∫∫ρ(v · n − Dn )dσ =ρvdω +Ω(t)∫∫Σ(t)=−ddt∫∫∫p ndσ +∫Σ(t)∫∫∫∫ρ (x × v) dω +∫∫Ω(t)=−ρf dω;Ω(t)ρ (x × v) (v · n − Dn ) dσ =∫∫∫Σ(t)p(x × n)dσ +Σ(t)ρ(x × f )dω;Ω(t)33(2.2)))∫∫ (1 21 2|v| + ε dω +ρ|v| + ε (v · n − Dn )dσ =22Ω(t)Σ(t) ∫ ∫ ∫∫∫∫∫=−p(v · n)dσ +qn dσ +ρv · f dω.ddt(∫∫∫ρΣ(t)Σ(t)Ω(t)В формулах (2.2) Dn — скорость перемещения поверхности Σ(t) в направлении нормали n. Величина Dn определяется следующим образом.Пусть x0 ∈ Σ(t).
Величина ∆σ задается условием x0 + ∆σn ∈ Σ(t + ∆t).Тогда по определениюDn (x0 , t) = lim∆t→0∆σ.∆tБудем считать, что поверхностная плотность потока тепла qn подчиняется закону Фурьеqn = κ(∇T · n),(2.3)где ∇T — градиент температуры T газа, κ — коэффициент теплопроводности. Газ называется нетеплопроводным, если κ = 0. В дальнейшем изучается модель нетеплопроводного газа.2.2Условия на сильном разрывеДвижение газа называется непрерывным, если подынтегральные функции в (2.1) или (2.2) по крайней мере один раз непрерывно дифференцируемы.
Движение газа называется движением с сильным разрывом,если существует гиперповерхность Γ ∈ R3 такая, что с каждой стороныот нее движение непрерывно, а при переходе через Γ(t) искомые величины претерпевают разрыв первого рода. Поверхность Γ(t) называетсяповерхностью сильного разрыва.Пусть n — нормаль к Γ(t), Dn — скорость перемещения Γ(t) в направлении n. Из (2.1) следует, что на Γ(t) должны выполняться следующие условия (условия на сильном разрыве):[ρ(vn − Dn )] = 0;[ρv(vn − Dn ) + pn] = 0;[ ( 2)]ρ |v| /2 + ε (vn − Dn ) + pvn = 0.(2.4)Здесь vn = v · n, [F ] = F2 − F1 — скачок величины F при переходе черезΓ(t). Анализ соотношений (2.4) показывает, что существуют два типасильных разрывов: контактный разрыв и ударная волна.34Условия на контактном разрыве:v1n = v2n = Dn ;p1 = p2 .(2.5)Условия на ударной волне:ρ2 v2 = ρ1 v1 ;p2 + ρ2 v22 = p1 + ρ1 v12 ;ε2 + p2 τ2 + 12 v22 = ε1 + p1 τ1 + 12 v12 ;(2.6)v2 − v2n n = v1 − v1n n(vi ≡ vin − Dn ,i = 1, 2).Часто используются следующие следствия соотношений (2.6):v12 = τ12p2 − p1,τ1 − τ2v22 = τ22p2 − p1;τ1 − τ2(2.7)2(v2 − v1 ) = (p2 − p1 )(τ1 − τ2 );ε2 − ε1 = (p2 + p1 )(τ1 − τ2 )/2.(2.8)При исследовании ударных волн особое значение имеет соотношение (2.8), связывающее термодинамические величины ε, p, τ .
Определим функцию Гюгонио H(τ, p; τ1 , p1 ) формулойH(τ, p; τ1 , p1 ) = ε(τ, p) − ε(τ1 , p1 ) + (p + p1 )(τ − τ1 )/2.(2.9)Функция ε(τ, p) определена уравнением состояния газа ε = e(τ, p).Кривая на плоскости (τ, p), заданная уравнениемH(τ, p; τ1 , p1 ) = 0,(2.10)называется адиабатой Гюгонио с центром (τ1 , p1 ). Для политропногогаза уравнение адиабаты Гюгонио можно представить в видеp(γ + 1)τ1 − (γ − 1)τ=p1(γ + 1)τ − (γ − 1)τ1(2.11)Адиабата Гюгонио описывает множество состояний (τ, p), связанныхсоотношениями ударного перехода с состоянием (τ1 , p1 ).
Качественныйвид адиабаты Гюгонио для нормального газа изображен на рис. 2.1.На этом же рисунке указано расположение изэнтропы s = s1 , проходящей через точку (τ1 , p1 ). В точке (τ1 , p1 ) адиабата Гюгонио и изэнтропа35pps sРис. 2.1имеют касание второго порядка (совпадают наклоны и кривизны обеихкривых).Для модели нормального газа адиабата Гюгонио обладает следующими свойствами:а) уравнение адиабаты Гюгонио можно представить в видеτ = τ (p; τ1 , p1 ),∂τ(p; τ1 , p1 ) < 0;∂pб) энтропия s(p) = s(p, τ (p; τ1 , p1 )) монотонно возрастает с ростомдавления вдоль адиабаты Гюгонио: s′ (p) > 0 при p ̸= p1 ;в) limp→p1s(p) − s1= k1 > 0;(p − p1 )3г) адиабата Гюгонио звездна относительно центра: любой луч, выходящий из центра (τ1 , p1 ), пересекает ее не более чем в однойточке.Будем называть передней стороной фронта ударной волны (или стороной перед ударной волной) ту сторону, с которой газ натекает наударный фронт.
Противоположная сторона называется задней стороной. Свойства адиабат Гюгонио показывают, что при ударном переходеэнтропия изменяется. Из второго начала термодинамики следует, чтоэнтропия в теплоизолированной частице при переходе через ударный36фронт обязательно возрастает. Следствием этого факта является теорема Цемплена: абсолютная величина нормальной скорости газа относительно ударного фронта больше скорости звука перед фронтом(|v1n − Dn | > c1 ) и меньше скорости звука за фронтом (|v2n − Dn | < c2 ).Соотношения на ударной волне (2.6) позволяют определить основные параметры течения по обе стороны ударного фронта и нормальнуюскорость фронта, если известны v1 , p1 , ρ1 и одна из следующих величин: а) p2 , б) ρ2 , в) Dn , г) v2n .
В случаях а) – в) основные параметрыопределяются однозначно, при этом одновременно определяется соответствие состояний “1”, “2” и сторон фронта. В случае г) при(v2n − v1n )2 < p1 (τ (0; τ1 , p1 ) − τ1 )однозначность определения параметров обеспечивается указанием стороны фронта (состояние “1” — за фронтом или перед фронтом). При выполнении противоположного неравенства параметры находятся в случае г) однозначно. В случаях б), в) задаваемые величины должны удовлетворять следующим неравенствам:б) τ (0; τ1 , p1 ) > τ2 > τ (∞; τ1 , p1 );в) (v1n − Dn )2 > p1 τ12 (τ (0; τ1 , p1 ) − τ1 )−1 .Пример 2.1.
Пусть H1 — адиабата Гюгонио с центром (τ1 , p1 ), ипусть точка (τ2 , p2 ) ∈ H1 . Для нормального газа выяснить взаимноерасположение кривой H1 , адиабаты s = s2 и адиабаты Гюгонио H2 сцентром в точке (τ2 , p2 ).Решение. Адиабаты Гюгонио H1 и H2 заданы уравнениями:H1 :ε(τ, p) − ε(τ1 , p1 ) + (p + p1 )(τ − τ1 )/2 = 0;H2 :ε(τ, p) − ε(τ2 , p2 ) + (p + p2 )(τ − τ2 )/2 = 0.(2.12)Так как (τ2 , p2 ) ∈ H1 , тоε(τ2 , p2 ) − ε(τ1 , p1 ) + (p2 + p1 )(τ2 − τ1 )/2 = 0.(2.13)В силу этого соотношения и второго уравнения (2.12) получаем, что(τ1 , p1 ) ∈ H2 , т.е.
точки (τ1 , p1 ) и (τ2 , p2 ) являются общими для адиабатH1 и H2 . Покажем, что других точек пересечения у адиабат H1 и H2нет.Действительно, после вычитания из первого уравнения (2.12) второго с учетом равенства (2.13) получим соотношение(τ2 − τ1 )(p − p1 ) = (p2 − p1 )(τ − τ1 ).37(2.14)ppspРис. 2.2Из (2.14) следует, что множество точек пересечения H1 и H2 лежитна прямой, проходящей через точки (τ1 , p1 ) и (τ2 , p2 ). В силу свойствазвездности адиабаты Гюгонио пересечение прямой (2.14) с H1 (или H2 )возможно только в двух точках, т.
е. в точках (τ1 , p1 ) и (τ2 , p2 ).Для выяснения взаимного расположения адиабат Гюгонио H1 , H2и изэнтропы s = s2 воспользуемся известными свойствами поведенияэнтропии вдоль адиабаты Гюгонио. Функции s1 (p) = s(p, τ1 , p1 ), τ1 (p) =τ (p; τ1 , p1 ), s2 (p) = s(p, τ2 , p2 ), τ2 (p) = τ (p; τ2 , p2 ) определяют поведениеэнтропии и удельного объема вдоль H1 и H2 . Дифференцированиемтождества p = g(τi (p), si (p)) получаем равенства1 = gτВ точке (τ2 , p2 ) :dτidsi+ gsdpdp(i = 1, 2).ds2= 0,dpds1> 0, поэтомуdp( )ds1dτ2dτ1gs·−=< 0.dpdpgτ 2 dpИзэнтропа s = s2 касается адиабаты Гюгонио H2 и, следовательно, пересекает кривую H1 под тем же углом, что и H2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
