1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Идеальный газ с плотностью ρ1 сжимается до плотности ρ2двумя способами: непрерывным образом и с помощью ударной волны.Выяснить, в каком случае температура газа в конечном состоянии будет выше.2.9. Когда достигается большая плотность: при сжатии нормального газа одной ударной волной, повышающей давление от p1 до p3 ,или при последовательном сжатии двумя ударными волнами, если припрохождении первой волны давление повышается от значения p1 доp2 < p3 , а при прохождении второй — от значения p2 до p3 ?2.10. Выписать уравнение адиабаты Гюгонио в случае, когда свойства среды определяются двучленным уравнением состояния (см.
задачу 1.26).Ответ:(γ − 1)(p + p0 ) + (γ + 1)(p1 + p0 )τ=,τ1(γ − 1)(p1 + p0 ) + (γ + 1)(p + p0 )p0 =ρ0 c20,γздесь (τ1 , p1 ) — центр адиабаты Гюгонио.2.11. Пусть газ имеет постоянную теплоемкость CV и его свойстваопределяются уравнением состояния:(a1 )p + 2 (τ − b1 ) = R′ TτR, R — газовая постоянная, M — моль газа, a1 , b1 — постоянные).(R′ = MВыписать уравнение адиабаты Гюгонио.Ответ:()()(γ + 1)(γ − 1)(γ + 1)(γ − 1)pτ − b1 −τ1 − p1τ1 − b1 −τ =2222=a1a1(τ1 − b1 ) − 2 (τ − b1 ).τ12τЗдесь (τ1 , p1 ) — центр адиабаты Гюгонио.2.12.
Показать, что адиабата Гюгонио для газа с уравнением состояния Ван-дер-Ваальса может быть кривой, не звездной относительноцентра (рассмотреть( ) окрестность( 2 )критической точки, определяемой со∂p∂ pотношениями= 0,= 0).∂τ T∂τ 2 T462.13. Соотношение Гюгонио H(τ2 , p2 , τ1 , p1 ) = 0 можно трактоватькак уравнение гиперповерхности в четырехмерном пространстве. Фиксируя значения двух координат, получаем плоские сечения этой гиперповерхности. Исследовать качественные свойства этих кривых дляполитропного и нормального газов.2.14. Выяснить, будет ли ударная волна определена, если известныv1 − v1n n и(a) v1n , v2n , ρ1 , ρ2 ; (c) v1n , Dn , p2 , ρ1 ;(b) v1n , v2n , p1 , p2 ; (d) v1n , v2n , Dn , p1 .(газ политропный).
Каким ограничениям должны удовлетворять задаваемые величины?2.15. Из соотношений на ударной волне в политропном газе получить выражения для величин ρ2 , p2 , v2n через величины ρ1 , p1 , v1n , Dn .Ответ:p22γM12 − γ + 1=,p1γ+1ρ2(γ + 1)M12=,ρ1(γ − 1)M12 + 2|v2n − v1n | =2c1 (M12 − 1).(γ + 1)M1Здесь M1 = |v1n − Dn |/c1 , c1 — скорость звука в газе в состоянии “1”, γ— показатель политропы.2.16.соотношения на слабой ударной( Выписать линеаризованные)волне (p2 − p1 )/p1 ≪ 1 .2.17. Доказать, что на фронте слабой ударной волны справедливосоотношение (предполагается, что Dn > v1n )v1n + c1 + v2n + c2 − 2Dn = O([p]2 ).2.18.
Вывести дифференциальные уравнения (2.16) из интегральных законов сохранения (2.2).2.19. Показать, что если в уравнениях (2.16) заменить дифференциальное уравнение ds/dt = 0 уравнениемdp+ ρc2 divv = 0,dtто получится система уравнений, эквивалентная системе (2.16).2.20. Показать, что в теплопроводном газе скорость изменения энтропии в частице задается выражениемds= (ρT )−1 div(κ∇T ).dt472.21. Доказать, что процесс выравнивания температуры в теплоизолированном индивидуальном объеме необратим.2.22. Пусть L — замкнутая кусочно-гладкая линия, состоящая вовсе моменты времени из одних и тех же частиц. Доказать равенствоIIdv(x, t)dx = τ ∇pdx.dtLL2.23.
Показать, что интеграл Бернулли (2.20) для модели политропного газа записывается в видеq2 +2 22c = qm(L).γ−12Здесь qm(L) — величина постоянная вдоль линии тока L.2.24. Показать, что если в стационарном течении идеального газалиния тока прямолинейна, то поверхности равного давления ортогональны к ней (считается, что p ̸= const на линии тока).2.25. Доказать, что в безвихревом изэнтропическом движении потенциал скоростей φ(x, t) удовлетворяет уравнению()d12φt + |∇φ| − c2 ∆φ = 0,dt2)(d∂∂2∂2∂2=+ ∇φ · ∇, ∆ =+ 2+ 2 .dt∂t∂x2∂y∂z2.26. Проверить, что соотношениямиvx =x+ aρ,ta2 3ρ ,3)( xΦ tρ, + 2aρ = 0tvy = vz = 0,s = s0 ,p=задано (в неявной форме) точное решение уравнений газовой динамики.
Здесь vx , vy , vz — компоненты вектора скорости в декартовой системе координат; a, s0 — постоянные; Φ(λ, µ) — произвольная функция.2.27. Показать, что стационарная невырожденная простая волнаописывает сверхзвуковое течение газа (течение газа, в котором |v| > c).2.28. Одномерное движение газа с плоскими волнами определяетсясоотношениямиv = u(x, t)⃗ex ,p = p(x, t),48ρ = ρ(x, t).Здесь ⃗ex — орт декартовой системы координат, отвечающий координате x. Вывести уравнения невырожденных простых волн в одномерномдвижении.2.29.
Получить уравнения для вырожденных (p ≡ const) простыхволн (см. пример 2.3).2.30. Одномерные движения газа с плоскими (ν = 0), цилиндрическими (ν = 1) и сферическими (ν = 2) волнами определяются соотношениямиv = v(x, t)∇x, p = p(x, t), ρ = ρ(x, t),x (ν = 0);√x2 + y 2 (ν = 1);x=√ 2x + y 2 + z 2 (ν = 2).Показать, что v(x, t), p(x, t), ρ(x, t) удовлетворяют уравнениямvt + vvx + ρ−1 px = 0,νρc2 v,xνρv.ρt + vρx + ρvx = −xpt + vpx + ρc2 vx = −493Характеристики уравнений газовой динамики.
Слабый разрыв3.1Основные определенияРассматривается система из квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка для m искомых функций (u1 , ..., um ) от n независимых переменных x = (x1 , . . . , xn ) :n ∑m∑i=1 l=1aikl∂ul= fk∂xi(k = 1, . . . , m).(3.1)Здесь aikl , fk — заданные функции от x, u1 , .
. . , um . Систему (3.1)можно записать в видеn∑Ai Uxi = f ,(3.2)i=1iгде A — матрицы с элементами aikl (k — номер строки, l — номер столбца), U и f — вектор-столбцы с компонентами uk и fk , соответственно.Дополнительное задание данных Коши на гиперповерхности Γ :U|Γ = φ(x)|Γ позволяет найти производные вектора U по касательным к Γ направлениям, если Γ — достаточно гладкая поверхность, аφ — достаточно гладкая функция. Рассмотрим вопрос об определениипроизводных вектора U по нормальному к Γ направлению с помощьюуравнений (3.2). Пусть ξ — вектор, направленный по нормали к поверхности Γ, а векторы σ i (i = 1, .., n − 1) образуют базис в касательнойплоскости. Любой орт ei оси xi можно разложить по базису ξ, {σ k }:ei = |ξ|−2 ξi ξ +n−1∑βik σ k .k=1Аналогичное представление получается для производной по направлению вектора ei :n−1∑∂∂∂= |ξ|−2 ξi+βik.(3.3)∂xi∂ξ∂σkk=1Здесь ∂/∂ξ = (ξ · ∇), ∂/∂σk = (σ k · ∇).
С помощью представления(3.3) система уравнений (3.2) преобразуется к виду∑∂U∂U=−Bk+ f,∂ξ∂σkn−1|ξ|−2 A(ξ)k=150(3.4)где A(ξ) =n∑A i ξi , B k =i=1n∑i=1βik Ai . Матрица A(ξ) называется харак-теристической матрицей системы. Из (3.4) следует, что производныепо направлению нормали ∂U/∂ξ можно определить однозначно черезизвестные значения функций и производных по направлениям, касательным к Γ, в том случае, если det A(ξ) ̸= 0. Если det A(ξ) = 0 на поверхности Γ, то, согласно известным теоремам линейной алгебры, дляразрешимости уравнений (3.4) относительно ∂U/∂ξ необходимо выполнение условий ортогональностиλl (ξ)n−1∑k=1Bk∂U= λl (ξ)f∂σk(l = 1, .
. . , m1 )(3.5)вектора, стоящего в правой части уравнений (3.4), всем линейно независимым векторам λl , удовлетворяющим равенствуλ(ξ)A(ξ) = 0.(3.6)Это означает, в частности, что в случае, когда det A(ξ) = 0, данные Коши на Γ нельзя задать произвольно, функция φ должна удовлетворятьусловиям (3.5). В связи с изложенным выше введем определения.Определение 1.
Вектор ξ называется нормальным характеристическим вектором, если det A(ξ) = 0.Определение 2. Гиперповерхность Γ называется характеристическойповерхностью (характеристикой), если вектор нормали к Γ являетсянормальным характеристическим вектором.Определение 3. Система уравнений (3.2) называется гиперболической в точке (x, U), если существует такой вектор η, что при любомвекторе σ, (σ · η) = 0 характеристическое уравнениеdet A(zη + σ) = 0имеет m вещественных корней zk , а совокупность векторов λk , k =1, . . . , m, удовлетворяющих соотношениям (3.6) при ξ = zk η + σ, образует базис в Rm . Система называется гиперболической, если она гиперболична в каждой точке (x, U).
Направление, задаваемое вектором η,называется направлением гиперболичности.Если на заданном решении U = ψ(x) требуется найти характеристическую поверхность Γ, заданную уравнением h(x) = 0, то вектор∇h направленный по нормали к Γ, должен удовлетворять уравнениюdet A(∇h) = 0.51(3.7)Соотношение (3.7) при известном векторе U = ψ(x) является уравнением с частными производными первого порядка относительно функцииh(x).Определение 4. Равенствоλ(∇h) ·n∑Ai Uxi = λ(∇h) · f(3.8)i=1называется условием на характеристике h(x) = 0, если λ(∇h) удовлетворяет уравнению (3.6) при ξ = ∇h.Согласно (3.5), в соотношение на характеристике (3.8) войдут только производные по касательным к Γ направлениям.
В классе непрерывно дифференцируемых решений гиперболической системы уравнений (3.2) совокупность условий на характеристиках эквивалентна исходным уравнениям. Совокупность характеристик можно разбить насемейства характеристических поверхностей, отвечающих различнымкорням zk .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
