1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Тогда уравнения (4.21) можно переписать в виде) ∂t∂x ( r + l−+ec(r − l)≡∂l2∂l[()](1)∂r+l≡x−+ec t +t−ec′ = 0,∂l22(4.35)) ∂t∂x ( r + l−−ec(r − l)≡∂r2∂r(r + l)](1)∂ [≡x−−ec t +t−ec′ = 0.∂r2274Из этих уравнений следует, что выражение[(r + l)][(r + l)]dU = x −+ec t dr + x −−ec t dl22является полным дифференциалом функции U (r, l). Вследствие этогополучим)(r + l∂U+ec t=,x−2∂r(4.36)(r + l)∂Ux−−ec t=.2∂lИз уравнений (4.36) находимt=−Ur − Ul,2ecx=−( r+lc)Ur − ( r+lc)Ul2 −e2 +e.2ec(4.37)Из (4.35) и (4.37) вытекает искомое уравнение для функции U (r, l):e − l)(Ur − Ul ) = 0.Url − H(rТипичным для квазилинейных гиперболических уравнений является невозможность существования гладких решений при всех 0 < t < ∞,даже если начальные или граничные условия обладают какой угодногладкостью.
Например, если решение поставленной задачи описывается простой волной сжатия, то в силу того, что прямолинейные характеристики в ней сближаются с ростом t, они должны пересечься приконечном значении t∗ . В точке пересечения x∗ прямолинейных характеристик обратятся в бесконечность производные ux , cx и т.д. Явлениенеограниченного роста градиентов основных величин называют “градиентной катастрофой”. Дальнейшее построение решения возможнотолько в классе движений с сильными разрывами.Изучение возможности образования “градиентной катастрофы” вобщем случае проводят с использованием так называемых транспортных уравнений, описывающих эволюцию градиентов основных величинвдоль соответствующих характеристик. Вывод транспортных уравнений для системы (4.2) и их подробный анализ для системы (4.7) изложены в [1].Пример 4.4.
В начальный момент времени t = 0 в трубе, заполненной покоящимся политропным газом (0 < x < ∞), в сечении x = 0находится поршень. При t > 0 поршень осуществляет плавное движение по закону x = X(t). Выяснить, при каких условиях возможна“градиентная катастрофа”, и найти время tk ее образования.75Решение. В области непрерывного движения решение описываетсяпростой l-волной; тогдаu−2c2c0=−,γ−1γ−1где c0 — скорость звука в покоящемся газе. Система уравнений (4.7) приэтом сведется к одному уравнению относительно функции r = r(x, t):∂r∂r+ (u + c)= 0,∂t∂xгдеu=1(2c0 )r−,2γ−1c=γ−1c0r+ .42(4.38)(4.39)Обращение величины R = rx в бесконечность соответствует образованию градиентной катастрофы. Выведем уравнение, описывающее эволюцию величины R вдоль характеристик C + . Для этого продифференцируем уравнение (4.38) по x и учтем формулы (4.39).
В результатеполучим∂R∂R γ + 1 2+ (u + c)+R = 0.∂t∂x4Так как d+ R/dt = Rt + (u + c)Rx есть производная вдоль характеристики C + , то предыдущее уравнение на C + превращается в обыкновенноедифференциальное уравнение:d+ R γ + 1 2+R = 0.dt4(4.40)Пусть характеристика C + выходит из точки t = ξ, x = X(ξ), лежащейна линии, задающей закон движения поршня на плоскости (x, t). Пустьдалее R в этой точке равна R0 (ξ). Тогда вдоль этой характеристики C +величина R в соответствии с уравнением (4.40) будет даваться формулой4R0 (ξ)R=.4 + (γ + 1)(t − ξ)R0 (ξ)Из нее видно, что при R0 (ξ) < 0 величина R обратится в бесконечностьпри t = t∗ (ξ), определяемой формулойt∗ (ξ) = ξ −4.(γ + 1)R0 (ξ)76(4.41)Теперь осталось определить R0 (ξ) на поршне для всех значений t =ξ.
Из граничного условия u(X(t), t) = X ′ (t) на поршне имеемr(X(t), t) −2c0= 2X ′ (t).γ−1Продифференцируем это равенство по t:rx X ′ (t) + rt = 2X ′′ (t).(4.42)Комбинируя (4.42) с (4.38), взятым при x = X(t), получаем∂r2X ′′ (t)(X(t), t) = −.′∂xc0 + γ−12 X (t)(4.43)Таким образом, определилась функция R0 (ξ):R0 (ξ) = −2X ′′ (ξ).′c0 + γ−12 X (ξ)(4.44)Подставляя выражение (4.44) в (4.41) получаемt∗ (ξ) = ξ +2c0 + (γ − 1)X ′ (ξ).(γ + 1)X ′′ (ξ)(4.45)Поскольку в числителе формулы (4.45) стоит удвоенная скорость звукана поршне, то ∞ > t∗ (ξ) > ξ только при X ′′ (ξ) > 0.
Это неравенство идает условие существования градиентной катастрофы. Время ее образования будет определяться формулой[tk =4.3inf′′ξ(X (ξ)>0)ξ+2c0 + (γ − 1)X ′ (ξ) ].(γ + 1)X ′′ (ξ)(4.46)(u, p)-диаграммы простых и ударных волн. Распад произвольного разрываПри исследовании многих задач в классе одномерных движений газа с плоскими волнами используется так называемый метод (u, p)диаграмм простых и ударных волн. В этом методе используется изображение на плоскости (u, p) всех состояний газа, в которые можно перейти из состояния (u0 , p0 , τ0 ) с помощью простых или ударных волн.Начальное состояние можно также задавать с помощью параметров u0 ,p0 , s0 (при этом p0 = g(τ0 , s0 )).77ppсжатиеПУаpУЛлнвоволнапередфронтомpза фронтомразрежениеuuuРис.
4.5uРис. 4.6При фиксированном выборе направления оси Ox (слева направо)простые и ударные волны подразделяются на волны, обращенные вправо и волны, обращенные влево. Говорят, что волна обращена вправо(влево), если состояние перед волной находится справа (слева) от фронта. В соответствии с этим определением простые l-волны будут волнами, обращенными вправо, а простые r-волны — волнами, обращеннымивлево. Если D — скорость ударной волны, распространяющейся по состоянию “0”, то при D − u0 > 0 волна обращена вправо, а при D − u0 < 0волна обращена влево.Полагая функцию σ, определенную соотношением (4.5), зависящейот давления p, получим следующие уравнения (u, p)-диаграмм простыхволн с центром в точке (u0 , p0 ):l-волна :r-волна :u − σ(p; S0 ) = u0 − σ(p0 ; S0 );u + σ(p; S0 ) = u0 + σ(p0 ; S0 ).(4.47)Для нормального газа вид (u, p)-диаграмм простых волн (4.47) изображен на рис.
4.5. Ветви, на которых p > p0 , отвечают волнам сжатия,а ветви, на которых p < p0 — волнам разрежения. Для (u, p)-диаграммпростых волн имеют место формулыdp= ±ρc,dud2 pρ d(ρc)=,du2c dρ78которые и определяют качественное поведение кривых в случае нормального газа (см. рис. 4.5).(u, p)-диаграмма ударных волн с центром в точке (u0 , p0 ) и заданным значением τ0 определяется уравнением(u − u0 )2 = (p − p0 )(τ0 − τH (p; τ0 , p0 )),(4.48)где τ = τH (p; τ0 , p0 ) — адиабата Гюгонио с центром в точке (τ0 , p0 ).На рис. 4.6 изображены (u, p)-диаграммы ударных волн, обращенныхвправо (УП ), и ударных волн, обращенных влево (УЛ ), описываемыхуравнением (4.48).
Легко устанавливается, что (u, p)-диаграммы простых и ударных волн с общим центром (u0 , p0 ) имеют в точке (u0 , p0 )одинаковый наклон и одинаковую кривизну, т. е. имеют касание второго порядка.Для политропного газа (u, p)-диаграмма простых волн с центром вточке (u0 , p0 ) описывается уравнением)2(γ−14γτ0 p0 ( p ) 2γ(u − u0 )2 =−1,(4.49)(γ − 1)2p0а (u, p)-диаграмма ударных волн с центром в этой же точке следующимуравнением:2τ0 (p − p0 )2.(4.50)(u − u0 )2 =(γ + 1)p + (γ − 1)p0Одной из задач, эффективно решаемых методом (u, p)-диаграмм,является задача о распаде произвольного разрыва, позволяющая в общем случае определять вид решения в окрестности точек разрыва искомых величин.
Постановка задачи такова: в классе обобщенных движений газа с сильными разрывами найти при t > 0 решение, удовлетворяющее следующим начальным условиям:{(u1 , p1 , ρ1 ), x < 0;t = 0 : (u, p, ρ) =(4.51)(u2 , p2 , ρ2 ), x > 0;где u1 , p1 , ρ1 , u2 , p2 , ρ2 — заданные постоянные. При этом допускается,что газ в состоянии “1” (x < 0) и газ в состоянии “2” (x > 0) имеютразную физическую природу, т.
е. их термодинамические состоянияописываются различными уравнениями.Сформулированная задача является конически автомодельной, т. е.инвариантной относительно следующего преобразования растяжения:x′ = ax,t′ = at,u′ = u,79p′ = p,ρ′ = ρ,(4.52)где a — произвольное положительное число, являющееся параметромпреобразования. Инвариантность задачи относительно преобразования(4.52) означает инвариантность начальных условий (4.51), уравнений(4.2) (при ν = 0) и условий на сильных разрывах при преобразовании(4.52).Отличительным признаком конически автомодельной задачи является задание начальных и граничных условий на лучах, выходящих изодной точки, причем задаваемые величины на лучах должны быть постоянными.
В нашем случае данные задаются на лучах (t = 0, x < 0)и (t = 0, x > 0), выходящих их точки x = t = 0.Решение, инвариантное относительно следующего преобразованиярастяжения (4.52), имеет видu = u(λ),p = p(λ),ρ = ρ(λ);λ=x.t(4.53)Так как для решения вида (4.53) искомые функции постоянны на каждом луче λ = const, то область {t > 0, −∞ < x < ∞} может быть разбита на секторы λ1 < λ < λ2 , внутри которых решение непрерывно,а границы секторов являются линиями сильного или слабого разрыва. Заметим также, что непрерывное решение вида (4.53) может бытьлибо постоянным, либо центрированной волной (r или l). Отсюда вытекает, что построение решения задачи о распаде произвольного разрывасводится к задаче о сопряжении постоянных решений и центрированных волн разрежения друг с другом непрерывным образом или черезконтактные разрывы и ударные волны, распространяющиеся с постоянными скоростями.Анализ возможных вариантов сопряжения показывает, что решениезадачи о распаде произвольного разрыва устроено следующим образом:имеется один контактный разрыв, справа и слева от которого находитсяпо одной волне (ударной или волне разрежения), обращенных вправои влево соответственно.
В частности, по состоянию “2” будет распространяться волна, обращенная вправо, переводящая это состояние всостояние “3′ ”, а по состоянию “1”−волна, обращенная влево, переводящая “1” в состояние “3′′ ”. Поскольку состояния “3′ ” и “3′′ ” разделеныконтактным разрывом, то должны выполняться равенстваp3′ = p3′′ = p3 ,u3′ = u3′′ = u3 .Опишем метод решения задачи о распаде произвольного разрыва.Суть его заключается в том, что точка (u3 , p3 ) на плоскости (u, p) описывается как точка пересечения совмещенной (u, p)-диаграммы волн,80pУл“3’’”Упp“3’”pAr-волнаl-волна p“2”“1”uu uuxРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
