1612727554-7c2af933779b7722ea24e55bd024b1a2 (828474), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Из (5.17) следует также, чтоxq = acos θ(M 2 − 1).ρq 2(5.19)Если подставить x, заданный формулой (5.18), в уравнение (5.19) иучесть следствие интеграла Бернулли( )∂1M2 − 1=,(5.20)∂q ρqρq 2получится равенство x′0 (q) = 0. Следовательно x0 = const, аx − x0 =a cos θ.ρqАналогично возникают соотношенияsin θ(y0 = const);y − y0 = aρq√y − y0|a|= tg θ;(x − x0 )2 + (y − y0 )2 =,x − x0ρq121из которых следует, что линии тока — прямые, проходящие через точку(x0 , y0 ). Согласно (5.20), |a|/ρq монотонно зависит от q при M > 1,либо при M < 1. В первом случае |a|/ρq монотонно возрастает привозрастании q, а тогда и q монотонно возрастает с ростом |⃗x − ⃗x0 |. Если|⃗x − ⃗x0 | → ∞, то q → qm , а ρ → 0. Построенное решение определенопри√|a|≤ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < ∞.(5.21)ρ∗ c∗В итоге найдено сверхзвуковое течение типа источника при a > 0 итипа стока при a < 0.Аналогичный анализ второго решения, соответствующий неравенству M < 1, показывает, что оно определено в области (5.21), q → 0 при|⃗x − ⃗x0 | → ∞.
Это решение описывает дозвуковоетечение типа источ√ника или стока. Величина 2π|a| = 2πρq (x − x0 )2 + (y − y0 )2 задаетрасход газа в источнике (стоке).Уравнение Чаплыгина (5.16) с помощью замены переменных∫c∗σ=gρdq, g = const,qqпреобразуется к следующему виду:K(σ)ψθθ + ψσσ = 0.(5.22)Здесь K(σ) = (1 − M 2 )/ρ2 g 2 , постоянная g выбирается из условияK ′ (0) = 1.Околозвуковые течения характеризуются неравенством |M −1| ≪ 1.Звуковой линией называется кривая на плоскости (x, y), вдоль которойM = 1.
Важное качественное свойство околозвуковых течений связанос поведением вектора скорости на звуковой линии: если при перемещении вдоль звуковой линии область дозвукового течения остается слева,то вектор скорости монотонно поворачивается по часовой стрелке (теорема А. А. Никольского, Г. И. Таганова).При моделировании околозвуковых течений часто используется следующая аппроксимация функции K : K(σ) ∼= σ. Возникающее приэтой аппроксимации уравнениеσψθθ + ψσσ = 0(5.23)называется уравнением Трикоми. Уравнение (5.23) используется дляприближенного описания поведения околозвуковых течений в окрестности звуковой линии.1225.5Задачи5.1. Пусть функции u = u(x, y), v = v(x, y), ρ = ρ(x, y), s = s(x, y)удовлетворяют системе уравнений, описывающей плоскопараллельныеустановившиеся течения политропного газа, уравнение состояния которого имеет вид p = A(s)ργ .
Показать, что формуламиue = (A(s))−1/(2γ) u, ve = (A(s))−1/(2γ) v, ρe = (A(s))1/γ ρопределено решение системы уравнений изэнтропических плоскопараллельных установившихся течений газа с уравнением состояния pe = ρe γ .5.2. Показать, что соотношениямиu = cos α f (y cos α − x sin α), v = sin α f (y cos α − x sin α),ρ = g(y cos α − x sin α),p = p0(f, g — произвольные функции, g > 0; α, p0 — произвольные постоянные, p0 > 0) задано частное решение системы уравнений установившегося плоскопараллельного движения газа.5.3.
Установившееся движение политропного газа определено формулами√√2c0 l22c0 l2l2 + (y − x)2u= 2,v=, ρ = ρ0, p = p0222l + (y − x)l + (y − x)l2√(p0 , ρ0 , l — положительные постоянные, c0 = γp0 /ρ0 ). Указать область в плоскости (x, y), где движение является сверхзвуковым, и найтиминимальное и максимальноезначения плотности в этой области.√Ответ: |y − x| < l/ 3, ρmin = ρ0 , ρmax = 4ρ0 .5.4. Установившееся течение политропного газа определено формуламиy + 2ly+lu = c0, v = 0, ρ = ρ0, p = p0y+ly + 2lв√полуплоскости y ≥ l (l, p0 , ρ0 — положительные постоянные, c0 =γp0 /ρ0 ).
Показать, что это течение сверхзвуковое, и найти уравненияхарактеристических кривых C + , C − , исходящих из точки x = 0, y = l.Ответ:√[]C+ :y = l (x/(2l) + 2)2 − 1 ,x ≥ 0;√[]C− :y = l (x/(2l) − 2)2 − 1 , x ≤ 0.5.5. Для каждой линии тока определим p0 , ρ0 как давление и плотность в точке торможения (в точке, где q = 0).
Для установившегося123движения политропного газа найти p/p0 как функцию числа M (p, M— давление и число Маха в произвольной точке линии тока).()−γ/(γ−1)pγ−1 2Ответ:= 1+M.p025.6. В установившемся течении политропного газа приведенная скорость λ = q/c∗ вдоль линии тока является функцией числа Маха M .Найти эту функцию.γ + 1 2(γ − 1 2 )−1Ответ: λ2 =M 1+M.225.7. Показать, что соотношения на звуковых характеристиках установившегося плоскопараллельного сверхзвукового течения можно преобразовать к виду()C ± : θx + tg(θ ± α)θy ∓ ctg α(ρq 2 )−1 px + tg(θ ± α)py = 0.5.8.
Показать, что в области безвихревого движения линии тока ψ =const и линии равного потенциала φ = const образуют ортогональнуюсетку на плоскости (x, y).5.9. Затупленное тело обтекается установившимся дозвуковым воздушным потоком (уравнение состояния политропное, γ = 1, 4), равномерным на бесконечности (при x2 + y 2 → ∞).
Определить диапазонскоростей потока, в границах которого определение плотности в точке торможения с помощью модели несжимаемой жидкости приводит кошибке не более чем в 2%. Скорость звука в воздушном потоке считается равной 1200 км/ч.Ответ: 0 ≤ q ≤ 239, 25км/ч.5.10. Показать, что функцию µ(q) для газа с политропным уравнением состояния можно представить в виде√(√)πγ+1γ−1µ(q) = α − +arctgctg α .2γ−1γ+1Найти явные выражения для функций α(x, y), θ(x, y) в l-волне Прандтля — Мейера (l ≡ l0 ).Ответ:[√(√)]γ+1γ − 1(π)α = arcctgtgl0 − β +;γ−1γ+12)(y.θ =β−αβ = arctgx5.11. Проинтегрировать уравнения линий тока в простой центрированной l-волне (газ политропный).124Рис. 5.10Рис.
5.11[√ γ − 1{γ+1]}− γ−1πОтвет: r = r0 cos(l0 + − β). Здесь r0 — произγ+12вольная постоянная, r, β — полярные координаты в плоскости (x, y).5.12. При каких значениях показателя политропы γ возможна картина обтекания, изображенная на рис. 5.10?Ответ: 1 < γ < 5/4.5.13. Равномерный сверхзвуковой поток газа (q = q1 , p = p1 , ρ = ρ1 )движущийся вдоль прямолинейной стенки y = 0 (x < 0), обтекает еекриволинейный участок, форма которого задана уравнением y = −x2(x > 0). Найти точку на стенке, где происходит отрыв потока.Ответ: координаты точки: x = x0 = 21 tg(µ(qm ) − µ(q1 )); y = −x20 .5.14. Вывести уравнение (θ, p)-диаграммы установившихся плоскопараллельных простых волн для модели политропного газа:√θ − θ1 = ±{∓γ+1γ−1((arctgM12{(())1/2γ−1 22M1 +P (1−γ)/γ − 1−γ+1γ+1(γ − 1)1/2 }2− arctg(M − 1)∓γ+1 1arctg2+γ−1)P(1−γ)/γγ+1−γ−1)1/2− arctg(M12− 1)1/2}.Здесь P = p/p1 ; величины с индексом “1” соответствуют течению передпростой волной.5.15.
Известно, что установившееся течение политропного газа вканале, изображенном рис. 5.11, описывается кусочно-постоянными решениями и простыми волнами Прандтля — Мейера. На входе и выходе из канала потоки равномерные и сверхзвуковые. Найти уравнения125кривых, соответствующие верхней и нижней стенкам канала, если известны ширина входного сечения l, угол δ, расстояние h и параметрыпотока на входе q = q1 , p = p1 , c = c1 .5.16. Показать, что уравнение (θ, p)-диаграммы косых скачков уплотнения для газа с политропным уравнением состояния можно представить в видеθ − θ1 = ± arcsin[]1/2P −12γM12 − γ + 1 − (γ + 1)P.γM1 (γ − 1)M12 + 2 + (γ + 1)P M12 − 2P 2Здесь P = p/p1 ; p1 , M1 , θ1 — давление, число Маха и угол наклонавектора скорости к оси Ox перед скачком уплотнения.5.17.
Установившийся воздушный сверхзвуковой поток с постоян√ным давлением p = p1 , плотностью ρ = ρ1 (y), числом Маха M1 = 5 3/2набегает на фронт косого скачка уплотнения. Определить угол поворота вектора скорости в косом скачке уплотнения, если известно, чтоперед скачком v1 = 0, а за скачком уплотнения p2 = 11, 5 p1 (угол поворота вектора скорости√ считать положительным).Ответ: θ = arcsin( 7/5).5.18. В условиях предыдущей задачи найти вектор скорости, плотность газа за скачком уплотнения и определить форму ударного фронта, если известно, что точка x = 0, y = 0 принадлежит фронту.Ответ:√√21 p1 ( √ √ )v2 =3 2, 7 , ρ = 4ρ1 (y); y = 2 2/7 x.40 ρ1 (y)5.19. Используя результаты задач 5.17, 5.18, определить течение вобласти за скачком уплотнения.Указание: Использовать решения, введенные в условии задачи 5.2.Ответ:√( √ √ )p13 21057√v=,,( √ √)8 ρ1 2 2( 3 2 y − 7 x)5555√√ ))(√ (3 27ρ = 4ρ1 2 2y−x ,55p = 11, 5 p1 .5.20.
Пусть χ — угол наклона косого скачка уплотнения, θ — уголповорота вектора скорости в косом скачке (углы отсчитываются от126Рис. 5.12Рис. 5.13направления вектора скорости перед скачком). Доказать соотношение(газ политропный)ctg θ = tg χ[γ + 12] (()−1q1 )M12 M12 sin2 χ − 1−1M1 =.c15.21. Найти максимальный угол поворота течения в косом скачкеуплотнения θmax как функцию числа Маха набегающего потока.
Рассмотреть случай M1 → ∞.5.22. Показать, что течение политропного газа за косым скачком смаксимальным углом поворота потока (θ = θmax ) дозвуковое.5.23. Доказать соотношение Прандтля для косых скачков в политропном газе:γ−1 2v1n v2n = c2∗ −v .γ+1 l5.24. Доказать, что если равномерный сверхзвуковой поток проходит через криволинейный скачок уплотнения, то течение за скачкомвихревое. Вывести формулу для величины вихря, образующегося наскачкеω = vx − uy = κvl (τ1 − τ2 )2 (τ1 τ2 )−1Здесь κ — кривизна фронта скачка, vl — касательная составляющаяскорости, τ1 , τ2 — величины удельного объема до и после скачка.5.25.
Доказать, что в плоскопараллельном установившемся теченииполитропного газа невозможна конфигурация из трех прямолинейныхскачков уплотнения, выходящих из одной точки, если в каждом секторетечение считается постоянным.Указание: Рассмотреть уравнения адиабат Гюгонио, связывающиесостояния газа в трех секторах.5.26. Построить решение задачи симметричного обтекания ромбаравномерным сверхзвуковым потоком, если вектор скорости набегающего потока направлен вдоль большой диагонали (угол β считать достаточно малым) (рис. 5.12).127Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
