1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Âû÷èñëèì èíòåãðàëZ∞J=eix2Z∞dx =0J1 , J2ÈíòåãðàëûZ∞2cos x dx + i0sin x2 dx = J1 + iJ2 .0íàçûâàþòñÿ èíòåãðàëàìè Ôðåíåëÿ. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþf (z) = eiz2, ïðîèçâîäíàÿêîòîðîéf 0 (z) = −2e−2xy ((y cos(x2 − y 2 ) + x sin(x2 − y 2 )) + i(y sin(x2 − y 2 ) − x cos(x2 − y 2 )))f (z) ïî êðèâîé, ñîñòîÿùåé èç òðåõ ó÷àñòêîâ: Γ1 - îòðåçîê [0, R] äåéñòâèòåëüíîéΓ2 - äóãà îêðóæíîñòè z = Reiϕ , ϕ ∈ [0, π4 ], ïðîõîäèìàÿ â ïîëîæèòåëüíîìπíàïðàâëåíèè,Γ3 - îòðåçîê ëó÷à z = rei 4 , r ìåíÿåòñÿ îò R äî 0, R > 0.Ïî äîêàçàííîé òåîðåìå èíòåãðàë ðàâåí 0. Ïðè R → +∞ èíòåãðàë ïî Γ1 ñòðåìèòñÿ ê J , èíòåãðàë ïî Γ3íåïðåðûâíà.
Ïðîèíòåãðèðóåìîñè, ïðîõîäèìîé îò 0 äîR,ñòðåìèòñÿ ê−eiπ4Z∞√2πe−r dr = −ei 4π.20Èíòåãðàë ïîäëÿt ∈ [o, π2 ]Γ2ñòðåìèòñÿ ê 0. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó âûïóêëîñòè ââåðõ ôóíêöèèâûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîsin t ≥sin tíà îòðåçêåππZ ZZ4Z42222 eiz dz ≤ |e−2xy ei(x −y ) ||dz| = e−R sin 2ϕ Rdϕ ≤ e− π4 R2 ϕ Rdϕ = π (1 − e−R2 ) → 0,4RΓ20Γ2[0, π],2π t. ÏîýòîìóR → +∞.0Èòàê, â ïðåäåëå ìû ïîëó÷èëè√√J =eiπ4π,2J 1 = J2 =2π.4Äàëåå ìû ðåàëüíî áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì îáîáùåíèåì òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî ðåçóëüòàòà,êîòîðîå è áóäåì íàçûâàòü èíòåãðàëüíîé òåîðåìîé Êîøè.Òåîðåìà 2.(Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè).êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåéΓ, ôóíêöèÿ fÒîãäàÏóñòüD ⊂ Cîãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü ñÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòèDè íåïðåðûâíîé âD = D ∪ Γ.Zf (z)d z = 0.ΓÈäåÿ äîêàçàòåëüñòâà èíòåãðàëüíîé òåîðåìû Êîøè äîâîëüíî ïðîñòà èíòåãðàë ïî ãðàíèöå ìîæíî ñëþáîé òî÷íîñòüþ àïïðîêñèìèðîâàòü èíòåãðàëàìè ïî çàìêíóòûì êóñî÷íî-ãëàäêèì êîíòóðàìöåëèêîì ëåæàò âíóòðè îáëàñòèD.γ,êîòîðûåÏîñêîëüêó óæå äîêàçàíî, ÷òî èíòåãðàëû ïî âñåì òàêèì êîíòóðàìγáóäóò ðàâíû íóëþ, òî, åñòåñòâåííî, è èíòåãðàë ïî ãðàíèöå òîæå áóäåò ðàâåí íóëþ.Ê ñîæàëåíèþ, ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî âîçìîæíîñòè òàêîé àïïðîêñèìàöèè, ÿâëÿÿñü â îáùåì-òî íåñëîæíûì,çàíèìàåò ñëèøêîì áîëüøîé îáúåì è âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà.
Îäíàêî, âñÿêèé æåëàþùèé ìîæåòíàéòè ðàçëè÷íûå âàðèàíòû äîêàçàòåëüñòâà èíòåãðàëüíîé òåîðåìû Êîøè ïðàêòè÷åñêè â ëþáîì ó÷åáíèêåïî òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî.Êàê ïîêàçûâàþ ïðèìåðû 2, 3 ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà, èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè â ìíîãîñâÿçíûõîáëàñòÿõ ìîæåò áûòü è íå âåðíà, íî åå ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü è íà íåêîòîðûå íåîäíîñâÿçíûå îáëàñòè.Ñëåäóåò òîëüêî îòìåòèòü îäíî âàæíîå äîïîëíèòåëüíîå òðåáîâàíèå ê ãðàíèöå îáëàñòè: ïîñêîëüêó èíòåãðàë27çàâèñèò îò îðèåíòàöèè êðèâîé, òî òî îðèåíòàöèè ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò ãðàíèöû äîëæíû áûòü ñîãëàñîâàíûìåæäó ñîáîé.D ⊂ C îãðàíè÷åííàÿ n-ñâÿçíàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé Γ, ñîñòîÿùåé èç ñâÿçíûõΓ0 , Γ1 , . .
. , Γn−1 . Ïðè ýòîì êîìïîíåíòû Γk , k = 1, . . . , n − 1, ðàñïîëîæåíû âíóòðè çàìêíóòîãîêîíòóðà Γ0 è êàæäàÿ âî âíåøíîñòè îñòàëüíûõ êîìïîíåíò ãðàíèöû. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ãðàíèöà Γîðèåíòèðîâàíà â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè, åñëè ïðè îáõîäå ãðàíèöû òî÷êè îáëàñòè D, ïðèìûêàþùèåÏóñòüêîìïîíåíòê ãðàíèöå, âñåãäà îñòàþòñÿ ñëåâà. Ïðîòèâîïîëîæíîå íàïðàâëåíèå îáõîäà çàäàåò îòðèöàòåëüíóþ îðèåíòàöèþãðàíèöû. Ãðàíèöó îáëàñòè, íà êîòîðîé çàäàíà ëèáî ïîëîæèòåëüíàÿ ëèáî îòðèöàòåëüíàÿ îðèåíòàöèÿ, áóäåìíàçûâàòü îðèåíòèðîâàííîéãðàíèöåé.Γ îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà îáëàñòè D ⊂ C. Åñëèγ , ÷òî òî÷êè îáëàñòè D ðàñïîëîæåíû ñ îáåèõ ñòîðîí îò γ , òîçàäàíèå îðèåíòàöèè íà ãðàíèöå îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè ìíîæåñòâà, ñîñòàâëÿþùèå äóãó γ , ïðîõîäÿòñÿ äâàæäûâ ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ.
Îáû÷íî òàêóþ äóãó γ íàçûâàþò ðàçðåçîì â îáëàñòè D. Ôóíêöèÿf (z), íåïðåðûâíàÿ â D, íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé âïëîòü äî ãðàíèöû, åñëè â êàæäîé ãðàíè÷íîé òî÷êå z0 ,íå ïðèíàäëåæàùåé ðàçðåçó, îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíî ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå w0 ôóíêöèè f (z) ïðè z → z0 ,z ∈ D, à â òî÷êå z0 , ëåæàùåé íà ðàçðåçå, ñóùåñòâóþò îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ w+ , w− ïðèñòðåìëåíèè z ê z0 ñ ðàçíûõ ñòîðîí ðàçðåçà. Òåì ñàìûì íà ñòîðîíàõ (ïðèíÿòî ãîâîðèòü: íà áåðåãàõ) ðàçðåçàîïðåäåëÿþòñÿ äâå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, âîîáùå ãîâîðÿ ðàçëè÷íûå. Íàïðèìåð, åñëè D - êîìïëåêñíàÿ√ iϕiϕ2ïëîñêîñòü ñ ðàçðåçîì ïî ëó÷ó [0, +∞) äåéñòâèòåëüíîé îñè, òî ôóíêöèÿ f : z = re7→√ re , φ ∈ (0, 2π),xà íà íèæíåì áåðåãóíåïðåðûâíà âïëîòü äî ãðàíèöû; åñëè z = x > 0 òî íà âåðõíåì áåðåãó ðàçðåçà w+ =√w− = − x (îáîçíà÷åíèÿ: w± = f (x ± i0.) Ïðè èíòåãðèðîâàíèè âäîëü ãðàíèöû íà áåðåãàõ ðàçðåçîâ áåðóòñÿÍàì ïîíàäîáÿòñÿ ñëåäóþùèå ïîíÿòèÿ. Ïóñòüêîìïîíåíòà ãðàíèöûΓkñîäåðæèò òàêóþ äóãóñîîòâåòñòâóþùèå ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ.Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè ëåãêî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà îáëàñòè ñ ðàçðåçàìè.
Ïðîäîëæèì ðàçðåçûäî êðèâûõγ1 , ..., γn−1 , êîòîðûå ðàçðåçàþò D íà îäíîñâÿçíûå îáëàñòè D1 , ..., Dn ñ ãðàíèöàìè Γ1 , ..., Γn .Γ îïðåäåëÿåò îðèåíòàöèè êðèâûõ Γk , ïðè ýòîì êðèâûå γ1 , ..., γn−1 ïðîõîäÿòñÿ äâàæäûÈñõîäíàÿ îðèåíòàöèÿâ ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ.
Èñïîëüçóÿ àääèòèâíîñòü èíòåãðàëà, ïîëó÷èìZZZf (z)dz =Γf (z)dz + ... +Γ1f (z)dz,Γnf (z) íåïðåðûâíà è, çíà÷èò, ñóììà èíòåãðàëîâD1 , ..., Dn èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè âåðíà, òîZf (z)dz = 0.ïîñêîëüêó íà ïðîäîëæåíèÿõ ðàçðåçîâ ôóíêöèÿó÷àñòêàì ðàâíà 0. Òàê êàê äëÿ îáëàñòåéïî ýòèìΓÒåïåðü ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèåÒåîðåìà 3 (Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè äëÿ ìíîãîñâÿçíûõ îáëàñòåé).ÏóñòüôóíêöèÿD ⊂ C îãðàíè÷åííàÿ êîíå÷íîñâÿçíàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé îðèåíòèðîâàííîéf ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòè D è íåïðåðûâíîé â D = D ∪ Γ. ÒîãäàZf (z)d z = 0.ãðàíèöåéΓ,ΓÄîêàçàòåëüñòâî.D ⊂ C îãðàíè÷åííàÿ n-ñâÿçíàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé Γ,Γ0 , Γ1 , .
. . , Γn−1 . Ïðîâåäåì íåïåðåñåêàþùèåñÿ ãëàäêèå ðàçðåçû γk , k =∗êîìïîíåíòó ãðàíèöû Γ0 ñ êîìïîíåíòîé Γk ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà îáëàñòü D =Ïóñòüñîñòîÿùåé èç ñâÿçíûõ êîìïîíåíò1, . . . , n − 1, ñîåäèíÿþùèån−1SD\γk áóäåò îäíîñâÿçíîé, è äëÿ íåå èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè âåðíà. Èñõîäíàÿ îðèåíòàöèÿ ãðàíèöûk=1îáëàñòèDγk , ïðîõîäèìûõ äâàæäû, è êîòîðûåγk− , ñîâïàäàþùèõ êàê ìíîæåñòâà òî÷åêåñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿåò îðèåíòàöèþ ðàçðåçîâñëåäóåò ïîíèìàòü êàê îáúåäèíåíèå äâóõ ðàçëè÷íûõ êðèâûõγk+èêîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, íî èìåþùèõ ïðîòèâîïîëîæíûå îðèåíòàöèè.ÏóñòüΓ∗ îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà îäíîñâÿçíîé îáëàñòèD∗ ,òîãäàΓ∗ = Γ ∪n−1Sk=1Ó÷èòûâàÿ àääèòèâíîñòü èíòåãðàëà è ðàâåíñòâîZZf (z) dz +f (z) dz = 0,γ−γ+ïîëó÷àåìZZf (z) dz =Γf (z) dz +Γn−1XZf (z) dz +k=1 +Γkn−1XZk=1 −Γk28Zf (z) dz =f (z) dz = 0.Γ∗ n−1S −γk+ ∪γk .k=1Ñëåäñòâèå. à) Åñëè f (z) - àíàëèòè÷íà â îáëàñòè Dè êðèâûåìîæíî ìîæíî íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàòü äðóã äðóãà âb) Åñëèγ1 , γ2- äâå çàìêíóòûå êðèâûå âíåêîòîðîé ïîäîáëàñòèÇàìå÷àíèå.D1 ⊂ DD,D,γ1 , γ2 ,èìåþùèå îáùèå íà÷àëî è êîíåö,òî èíòåãðàëû îòf (z)âäîëü íèõ ðàâíû.èç êîòîðûõ îäíà ëåæèò âíóòðè äðóãîé, îáðàçóþò ãðàíèöóè îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíû, òî èíòåãðàëû îòfâäîëü íèõ ðàâíû. îòëè÷èå îò îäíîñâÿçíîñòè óñëîâèå îãðàíè÷åííîñòè îáëàñòè â èíòåãðàëüíîé òåîðåìåÊîøè ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì.
Ê ïðèìåðó, èíòåãðàë îò àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèèf (z) = e−z2ïî ãðàíèöåâåðõíåé âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè (ò.å. ïî äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé) îòëè÷åí îò íóëÿ. Îäíàêî ïðè âûïîëíåíèèäîïîëíèòåëüíûõ òðåáîâàíèé íà ïîâåäåíèå ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè àíàëîãèíòåãðàëüíîé òåîðåìû Êîøè ìîæåò áûòü ïîëó÷åí ïîäõîäÿùèì ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì è äëÿ íåîãðàíè÷åííûõîáëàñòåé.3. Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè.Ïîëó÷àåìàÿ â ñëåäóþùåé òåîðåìå ôîðìóëà ïîçâîëÿåò âûðàçèòü çíà÷åíèÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè âîâíóòðåííèõ òî÷êàõ îáëàñòè ÷åðåç èíòåãðàë ïî ãðàíèöå îáëàñòè.Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè. Ïóñòü D ⊂ C îãðàíè÷åííàÿ êîíå÷íîñâÿçíàÿ îáëàñòü ñ îðèåíòèðîâàííîéâ ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåéDè íåïðåðûâíîé âD = D ∪ Γ.Γ, ôóíêöèÿ fz∈Dÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòèÒîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êèf (z) =Z12πif (t)d t.t−zΓÄîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü òî÷êà z ∈ D è d = dist(z, Γ). Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ fíåïðåðûâíà â òî÷êå z, òîε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî èç âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà |t − z| < δ ñëåäóåò âûïîëíåíèåíåðàâåíñòâà |f (t) − f (z)| < ε.Ïóñòü r < min(d, δ). Ðàññìîòðèì êðóã B(z, r), îðèåíòèðîâàííóþ ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè îêðóæíîñòüCr = {t ∈ C | |t − z| = r} è îáîçíà÷èì ÷åðåç Cr− îêðóæíîñòü ñ ïðîòèâîïîëîæíîé îðèåíòàöèåé.f (t)∗Ôóíêöèÿt − z ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ïî ïåðåìåííîé t â îáëàñòè D = D \ B(z, r), è ïî èíòåãðàëüíîéòåîðåìå ÊîøèZZZf (t)d tf (t)d tf (t)d t=+=0t−zt−zt−zäëÿ ëþáîãî∂D ∗Cr−ΓèëèZZf (t)d t=t−zΓf (t)d t.t−zCrÓ÷èòûâàÿ,÷òî12πiZdt= 1,t−zCrïîëó÷àåìZZZ1f (t)d t 1f (z)d t1f (t)d t (z)−=−f ≤2πit−z2πit−z2πit−zΓ12πCrZCr|f (z) − f (t)| |d t|1 ε≤2πr = ε.|t − z|2π rCrÈç ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà ÷èñëàεñëåäóåò, ÷òî1f (z) =2πiZf (t)d t.t−zΓÇàìå÷àíèå.ïî ïåðåìåííîétÅñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû èâ îáëàñòèDf (t)z ∈ C\D, òî ôóíêöèÿ t − zîêàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîéè, ó÷èòûâàÿ èíòåãðàëüíóþ òåîðåìó Êîøè, ïîëó÷àåì12πiZΓf (z);f (t)d t =t−z0;z∈Dz ∈C \DÈíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû ïî ãðàíèöå îáëàñòè, â êîòîðîé ôóíêöèÿîáû÷íî íàçûâàþò èíòåãðàëîì Êîøè.29fÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé,Óêàæåì ïðîñòîå, íî ïîëåçíîå ñëåäñòâèå äîêàçàííîé òåîðåìû.Ñëåäñòâèå.(Òåîðåìà î ñðåäíåì äëÿ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé.) Ïóñòü ôóíêöèÿ f (z) àíàëèòè÷íàâ êðóãåB : |z − z0 | < rè íåïðåðûâíà â çàìêíóòîì êðóãå12πf (z0 =Z2πB̄ .Òîãäàf (z0 + reϕ )dϕ.0Äîêàçàòåëüñòâî.ÏóñòüΓ- îêðóæíîñòüB : |z − z0 | = r.Òîãäàz = z0 + reϕ ,dz = ireiϕ dϕèèíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Êîøè äàåò:1f (z0 ) =2πiZf (z)1dz =z − z02πiZ2π1f (z0 + reϕ )ireiϕ dϕ=ireiϕ2π0ΓZ2πf (z0 + reϕ )dϕ.04.
Èíòåãðàëû òèïà Êîøè.ÏóñòüΓ⊂C îðèåíòèðîâàííàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ,ôóíêöèÿ. Äëÿ ëþáîé òî÷êèz ∈ C \Γôóíêöèÿñóùåñòâóåò èíòåãðàëf (t)t−zF (z) =12πif îïðåäåëåííàÿ íà êðèâîéíåïðåðûâíà ïî ïåðåìåííîéZtΓíåïðåðûâíàÿíà êðèâîéΓ.Ïîýòîìóf (t) dt,t−z(1)Γíàçûâàåìûé èíòåãðàëîì òèïà Êîøè è ÿâëÿþùèéñÿ îäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé ïåðåìåííîãîÒåîðåìà.ÏóñòüΓ ⊂ C îðèåíòèðîâàííàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ, ôóíêöèÿfz.íåïðåðûâíà íàΓ.Òîãäà èíòåãðàë òèïà Êîøè, îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâîì (1), ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé â îáëàñòèC \ Γ.Áîëåå òîãî, ôóíêöèÿF (z)áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà è ïðè ýòîìF (n) (z) =n!2πiZf (t) dt, n = 1, 2, ...(t − z)n+1ΓÄîêàçàòåëüñòâî (ïî èíäóêöèè). Ïðè n = 0 óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî (F (0) (z) = F (z) ïî îïðåäåëåíèþ).Ïðåäïîëîæèì, ÷òîg(z) = F (n) (z) =n!2πiZf (ζ)dζ,(ζ − z)(n+1)Γòîãäà íóæíî äîêàçàòü, ÷òî g(z + h) − g(z)limhh→0(n + 1)!−2πiZf (ζ)dζ = 0.(ζ − z)n+2ΓÅñëè z ∈ D\Γ, òî dist(z, Γ) = 2δ > 0, è ïðè |h| < δ dist(z − h, Γ) ≥ δ > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
