1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929)
Текст из файла
ÍÎÂÎÑÈÁÈÐÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ. Þ. Áåðåçèí, À. Ñ. ÐîìàíîâÒÅÎÐÈß ÔÓÍÊÖÈÉ ÊÎÌÏËÅÊÑÍÎÃÎ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÃÎÍîâîñèáèðñê 2015ÊÎÌÏËÅÊÑÍÀß ÏËÎÑÊÎÑÒÜ1. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà.z íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (x, y), ïðè ýòîì äåéñòâèòåëüíûåz èx = Re z è y = Im z.Êîìïëåêñíûì ÷èñëîì÷èñëàxèyíàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòüþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëàîáîçíà÷àþòñÿÏîíÿòèå ðàâåíñòâà è àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íà ìíîæåñòâå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì:1. Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëàx1 = x2èz1 = (x1 , y1 ) è z2 = (x2 , y2 ) ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìèòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäày1 = y2 .2.
Ñóììîéäâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåëz1 = (x1 , y1 )èz2 = (x2 , y2 )íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëîz1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ).3. Ïðîèçâåäåíèåìäâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåëz1 = (x1 , y1 )èz2 = (x2 , y2 )íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëîz1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).Äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñïåöèàëüíîãî âèäàz = (x, 0)ñóììà è ïðîèçâåäåíèå îêàçûâàþòñÿ ÷èñëàìèòàêîãî æå âèäà(x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0),(x1 , 0)(x2 , 0) = (x1 x2 , 0),ïðè ýòîì ñàìè àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ñóììîé è ïðîèçâåäåíèåì äåéñòâèòåëüíûõ÷àñòåé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë(x1 , 0)(0, 1)Êîìïëåêñíîå ÷èñëî(x2 , 0).
Ïîýòîìó(x, 0) = x.èäåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè, ïîëàãàÿêîìïëåêñíûå ÷èñëà âèäàíàçûâàþò ìíèìîé åäèíèöåé(x, 0)è îáîçíà÷àþò ñèìâîëîìi.îòîæäåñòâëÿþò ñÍàéäåì êâàäðàòìíèìîé åäèíèöûi2 = i · i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1.Âñÿêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî ìîæíî çàïèñàòü â âèäåz = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.Òàêàÿ ôîðìà çàïèñè íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà âèäàiyíàçûâàþò ÷èñòî ìíèìûìè. Òîëüêî ÷èñëî0,ò.å. êîìïëåêñíîå ÷èñëî(0, 0),ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííîäåéñòâèòåëüíûì è ÷èñòî ìíèìûì.Åñëè äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé âîñïîëüçîâàòüñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, òîïîëó÷èìz1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ),z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ).Êîìïëåêñíîå ÷èñëîx − iyíàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì êîìïëåêñíîìó ÷èñëóx + iyè îáîçíà÷àåòñÿz:z = x + iy = x − iy.Ëåãêî ïðîâåðèòü,÷òîz = z; z1 + z2 = z 1 + z 2 ; z1 z2 = z 1 z 2 ,2 Re z = z + z; 2i Im z = z − z.Ïðèìåð .n èìååò ðîâíî n êîìïëåêñíûõPn (z) = an z n + ...
+ a0 âåùåñòâåííû.nðàâåíñòâà an z + ... + a0 = 0, ïîëó÷èìòî ÷èñëî z 0 òàêæå ÿâëÿåòñÿ åãî êîðíåì.Èç êóðñà àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî ëþáîé ïîëèíîì â ñòåïåíèêîðíåé (ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòè). Ïóñòü êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíàÏðèìåíÿÿ îïåðàöèþ êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ ê îáåèì ÷àñòÿìan z n + ... + a0 = 0.Òàêèì îáðàçîì, åñëèz0- êîðåíü ìíîãî÷ëåíà,Ñëåäîâàòåëüíî, êîðíè ìíîãî÷ëåíà ðàçáèâàþòñÿ íà ïàðû âçàèìíî ñîïðÿæåííûõ ÷èñåë, òî åñòü êîëè÷åñòâîêîðíåé ñ íåíóëåâîé ìíèìîé ÷àñòüþ ÷åòíî.
Ïîýòîìó ó ìíîãî÷ëåíà íå÷åòíîé ñòåïåíè ñ âåùåñòâåííûìèêîýôôèöèåíòàìè ñóùåñòâóåòp ïî êðàéíåé ìåðå îäèí âåùåñòâåííûé êîðåíü.|z|,x2 + y 2 íàçûâàåòñÿ ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = x + iyp|z| = |x + iy| = x2 + y 2 . Ïðè ýòîì |z| = |z| è zz = |z|2 . Äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãîÄåéñòâèòåëüíîå ÷èñëîè îáîçíà÷àåòñÿò.å.÷èñëà0 ≤ | Re z| ≤ |z|,ïðè÷åì|z| = 00 ≤ | Im z| ≤ |z|,òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàz = 0.20 ≤ |z| ≤ | Re z| + | Im z|,Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íà ìíîæåñòâå êîìïëåêñíûõ÷èñåë îáëàäàþò ñâîéñòâàìè:1. Êîììóòàòèâíîñòè:z1 + z2 = z2 + z1 , z1 z2 = z2 z1 .2.
Àññîöèàòèâíîñòè:(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ), (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ).3. Äèñòðèáóòèâíîñòè:z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 .Ïðè ýòîì ÷èñëà íóëü è åäèíèöà íà ìíîæåñòâå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îáëàäàþò ñòàíäàðòíûìè ñâîéñòâàìè:z + 0 = z, z · 1 = z,z.z = x + iy èìååò ïðîòèâîïîëîæíîå, îáîçíà÷àåìîå ñèìâîëîì −z, òàêîå, ÷òî−z = −x − iy. Îïåðàöèÿ âû÷èòàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì z1 − z2 =äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëàÂñÿêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëîz + (−z) = 0.z1 + (−z2 ).Î÷åâèäíî, ÷òîÂñÿêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëîz 6= 0èìååò îáðàòíîåðàâåíñòâî, ïîëó÷àåìz −1 =z −1òàêîå, ÷òîzz −1 = 1.Èñïîëüçóÿ ïîñëåäíååz z z −1z|z|2 z −1== 2.22|z||z||z|Îïåðàöèÿ äåëåíèÿ íà êîìïëåêñíîå ÷èñëîz 6= 0îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîìz1z= z1 z −1 = z1 2 .z|z|Òàêèì îáðàçîì ìíîæåñòâî êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîâûì ïîëåì, êîòîðîå ïðèíÿòî îáîçíà÷àòüñèìâîëîìC.2.
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.Ïóñòü íà ïëîñêîñòèR2çàäàíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ïî îïðåäåëåíèþ êîìïëåêñíîå ÷èñëîÿâëÿåòñÿ óïîðÿäî÷åííîé ïàðîé äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Ïîýòîìó åñòåñòâåííîå ñîïîñòàâëåíèå êîìïëåêñíîìó÷èñëóz = x + iyòî÷êè ïëîñêîñòè ñ êîîðäèíàòàìè(x, y)óñòàíàâëèâàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèåR2 . Ïëîñêîñòü, íà êîòîðîé èçîáðàæàþòñÿêîìïëåêñíûå ÷èñëà, íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì C. Ïîñêîëüêó äåéñòâèòåëüíûåìåæäó ìíîæåñòâîì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è ìíîæåñòâîì òî÷åê ïëîñêîñòè÷èñëà îòîáðàæàþòñÿ â òî÷êè îñè àáñöèññ, à ÷èñòî ìíèìûå â òî÷êè îñè îðäèíàò, òî íà êîìïëåêñíîéïëîñêîñòèCîñü àáñöèññ ïðèíÿòî íàçûâàòü äåéñòâèòåëüíîé îñüþ, à îñü îðäèíàò ìíèìîé îñüþ.z = x + iy òàêæå óäîáíî èçîáðàæàòü âåêòîðîì ñ íà÷àëîì â òî÷êå (0, 0) è êîíöîì â(x, y), ïðè ýòîì äëÿ îáîçíà÷åíèÿ âåêòîðà ïðèíÿòî èñïîëüçîâàòü òîò æå ñèìâîë, êîòîðûì îáîçíà÷åíîñîîòâåòñòâóþùåå êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Òàêèì îáðàçîì ñèìâîë z áóäåò äàëåå îäíîâðåìåííî èñïîëüçîâàòüñÿÊîìïëåêñíîå ÷èñëîòî÷êåäëÿ îáîçíà÷åíèÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, òî÷êè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè è ñîîòâåòñòâóþùåãî âåêòîðà.
Èçz1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 +y2 ) èçîáðàæàåòñÿ âåêòîðîì, ïîñòðîåííûì ïî ñòàíäàðòíîìó ïðàâèëó ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ z1 = (x1 , y1 ) èz2 = (x2 , y2 ) íà ïëîñêîñòè. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äëèíà âåêòîðà z íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè C ðàâíà |z| ìîäóëþ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z, à ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè z1 è z2 ðàâíî äëèíå âåêòîðà z1 − z2 , ò.å.d(z1 , z2 ) = |z1 − z2 |, ïðè ýòîì äëÿ ïðîèçâîëüíûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 è z2 âûïîëíÿþòñÿ ñòàíäàðòíûåîïðåäåëåíèÿ îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ñóììà äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåëíåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |Äåéñòâèòåëüíî, åñëèz1 + z2 6= 0,1=è|z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 |.òîz1 + z2z1z2z1 + z2= Re= Re+ Re≤z1 + z2z1 + z2z1 + z2z1 + z2z1 z2 |z1 | + |z2 |,+=z1 + z2z1 + z2|z1 + z2 |îòêóäà ïîëó÷àåì|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.3Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî íåðàâåíñòâà ìîæíî ïîëó÷èòü ãåîìåòðè÷åñêè, ðàññìàòðèâàÿ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè|z1 |, |z2 |, |z1 + z2 |.
Ïîíÿòíî, ÷òî çíàêz1 , z2 ëåæàò íà îäíîì ëó÷å, âûõîäÿùåì èç 0. Âòîðîåíåðàâåíñòâî ïîëó÷àåòñÿ òàê: |z1 | = |z2 + (z1 − z2 )| ≤ |z2 | + |z1 − z2 |, |z2 | = |z1 + (z2 − z1 )| ≤ |z1 | + |z2 − z1 |,ò.å. |z1 − z2 | ≥ |z1 | − |z2 |, |z1 − z2 | ≥ |z2 | − |z1 |òðåóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè0, z1 , z1 + z2 ,äëèíû ñòîðîí êîòîðîãî ðàâíûðàâåíñòâà èìååò ìåñòî ëèøü â ñëó÷àå, êîãäà òî÷êèÏîñêîëüêó ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñîâïàäàåò ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìèòî÷êàìè ïëîñêîñòèR2 , òî íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè Cîïðåäåëåíèÿ, çàâèñÿùèå òîëüêî îò ìåòðèêè, òàêèåêàê îïðåäåëåíèÿ âíóòðåííåé è ïðåäåëüíîé òî÷åê, îãðàíè÷åííûõ, îòêðûòûõ, çàìêíóòûõ, êîìïàêòíûõìíîæåñòâ è ò.ä., ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè îïðåäåëåíèÿìè äëÿ ïëîñêîñòèR2 .Ïðè ýòîì íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ôîðìàëüíàÿ çàïèñü õîðîøî çíàêîìûõ ìíîæåñòâ èíîãäà èìååò íåñîâñåì ïðèâû÷íûé âèä.Ïðèìåð 1.Ìíîæåñòâî òî÷åêz0 ðàäèóñà r|z − z0 | < r.öåíòðîì â òî÷êåâ êðóãåz ∈ C,|z − z0 | < r, ÿâëÿåòñÿ êðóãîì ñB(z0 , r).
Èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü:óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâóè äàëåå áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ñèìâîëîìÏðèìåð 2. Ìíîæåñòâî òî÷åê z ∈ C, óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ |z+1|+|z−i| = 3, ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîìz = −1z = i.z ∈ C, òàêèõ, ÷òî Im z > 0 íàçûâàåòñÿ âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòüþ.Èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü Im z > 0. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïîëóïëîñêîñòè: íèæíÿÿ Im z < 0, ïðàâàÿRe z > 0, ëåâàÿ Re z < 0.Ïðèìåð 4. Êîëüöî r < |z − zo | < R - ìíîæåñòâî òî÷åê z ∈ C, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî óêàçàííûåñ ôîêóñàìè â òî÷êàõÏðèìåð 3.èÌíîæåñòâî òî÷åêíåðàâåíñòâà.Íàïîìíèì íåêîòîðûå ãåîìåòðè÷åñêèå è òîïîëîãè÷åñêèå ïîíÿòèÿ è ýëåìåíòàðíûå óòâåðæäåíèÿ, êàñàþùèåñÿìíîæåñòâ íà ïëîñêîñòè, êîòîðûå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äàëåå.Íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå{z : z = σ(t), t ∈ [α, β]σ : [α, β] →C, [α, β]⊂R íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé êðèâîé.
Ìíîæåñòâîíàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì òî÷åê êðèâîé, à ôóíêöèÿz = σ(t), t ∈ [α, β].σïàðàìåòðèçàöèåé ýòîéσ(α) = σ(β).z0 êðèâîé íàçûâàåòñÿ êðàòíîé òî÷êîé (èëè òî÷êîé ñàìîïåðåñå÷åíèÿ), åñëè íàéäóòñÿ òàêèå t1 6= t2 ,÷òî z0 = σ(t1 ) = σ(t2 ). Çàìêíóòàÿ êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé, åñëè ó íåå íåò äðóãèõ êðàòíûõ òî÷åê,êðîìå íà÷àëüíîé (êîíå÷íîé). Åñëè ïàðàìåòðèçàöèÿ σ(t) = ξ(t) + iη(t) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà˙ + iη̇(t), òî êðèâàÿ íàçûâàåòñÿîòðåçêå [α, β], òî åñòü ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ïðîèçâîäíàÿ σ̇(t) = ξ(t)äèôôåðåíöèðóåìîé. Åñëè, êðîìå òîãî, |σ̇(t)| 6= 0 íà îòðåçêå [α, β], òî êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ ãëàäêîé. ýòîì˙ñëó÷àå â êàæäîé òî÷êå êðèâîé ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íî-îïðåäåëåííûé êàñàòåëüíûé âåêòîð (ξ(t),η(t)). Êðèâàÿêðèâîé.
Èñïîëüçóåòñÿ çàïèñü: êðèâàÿÊðèâàÿ íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé, åñëèÒî÷êàíàçûâàåòñÿ êóñî÷íî ãëàäêîé, åñëè åå ìîæíî ðàçáèòü íà êîíå÷íîå ÷èñëî ãëàäêèõ äóã.Òî÷êà z0 íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé ìíîæåñòâà U ⊂ C, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå r > 0, ÷òî êðóãB(z0 , r) ⊂ U. Ìíîæåñòâî U ⊂ C íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè êàæäàÿ òî÷êà äàííîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿåãî âíóòðåííåé òî÷êîé. Îêðåñòíîñòüþ òî÷êè z0 ∈ C íàçûâàåòñÿ âñÿêîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùååòî÷êó z0 , ïðè ýòîì êðóã B(z0 , ε) ïðèíÿòî íàçûâàòü ε-îêðåñòíîñòüþ òî÷êè z0 . Åñëè U îêðåñòíîñòü òî÷êèz0 , òî ìíîæåñòâî U̇ = U \ {z0 } áóäåì íàçûâàòü ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòüþ òî÷êè z0 .Òî÷êà z0 íàçûâàåòñÿ èçîëèðîâàííîé òî÷êîé ìíîæåñòâà E ⊂ C, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå r > 0, ÷òîïåðåñå÷åíèå êðóãà B(z0 , r) è ìíîæåñòâà E ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîé òî÷êè z0 .Òî÷êà z0 ∈ C íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà F ⊂ C, åñëè ïðè ëþáîì r > 0 êðóã B(z0 , r)ñîäåðæèò áåñêîíå÷íî ìíîãî òî÷åê ìíîæåñòâà F.
Ìíîæåñòâî F ⊂ C íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè îíîñîäåðæèò âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè.Òî÷êàz0 ∈ Cíàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íîé òî÷êîé ìíîæåñòâàñîäåðæèò êàê òî÷êè ñàìîãî ìíîæåñòâàEE ⊂ C,r > 0 êðóã B(z0 , r)C \ E. Ñîâîêóïíîñòüñèìâîëîì ∂E. Äëÿ ëþáîãîåñëè ïðè ëþáîìòàê è òî÷êè åãî äîïîëíåíèÿ, ò.å. ìíîæåñòâàE íàçûâàåòñÿ åãî ãðàíèöåé è îáîçíà÷àåòñÿE ⊂ C åãî ãðàíèöà ∂E ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì.Ìíîæåñòâî E = E∪∂E íàçûâàåòñÿ çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà E. Î÷åâèäíî, çàìûêàíèå ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûìâñåõ ãðàíè÷íûõ òî÷åê ìíîæåñòâàìíîæåñòâàìíîæåñòâîì.Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèé âûòåêàþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà îòêðûòûõ è çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ:1.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
