1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ìíîæåñòâîU ⊂Cÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî äîïîëíåíèåF = C \Uÿâëÿåòñÿçàìêíóòûì ìíîæåñòâîì;2. îáúåäèíåíèå ëþáîãî ñåìåéñòâà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìíîæåñòâîì;3. ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî ñåìåéñòâà çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì;4. ïåðåñå÷åíèå êîíå÷íîãî ñåìåéñòâà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìíîæåñòâîì;5. îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ñåìåéñòâà çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì;6. ïóñòîå ìíîæåñòâî è âñÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü îäíîâðåìåííî ÿâëÿþòñÿ è îòêðûòûìè è çàìêíóòûìè.ÌíîæåñòâîEáóäåì íàçûâàòü ñâÿçíûì, åñëè ëþáûå äâå åãî òî÷êè ìîæíî ñîåäèíèòü íåïðåðûâíîéêðèâîé, ìíîæåñòâî òî÷åê êîòîðîé ñîäåðæèòñÿ âEèëè, êîðî÷å, êðèâîé, ëåæàùåé âÝòî îïðåäåëåíèå ñâÿçíîñòè â ñëó÷àå íåïóñòîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâàäâå òî÷êè ìíîæåñòâàDDE.ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ëþáûåìîæíî ñîåäèíèòü ëîìàíîé, öåëèêîì ëåæàùåé â äàííîì ìíîæåñòâå.4Êîìïîíåíòîé ìíîæåñòâàE íàçûâàåòñÿ ëþáîå åãî ìàêñèìàëüíîå ñâÿçíîå ïîäìíîæåñòâî.
Ñâÿçíîå ìíîæåñòâîñîñòîèò èç îäíîé êîìïîíåíòû.Îáëàñòüþ áóäåì íàçûâàòü âñÿêîå îòêðûòîå ñâÿçíîå ìíîæåñòâî. ×èñëî êîìïîíåíò ãðàíèöû äàííîéîáëàñòè íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ñâÿçíîñòè ýòîé îáëàñòè. Äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îáëàñòè ñêîíå÷íûì ïîðÿäêîì ñâÿçíîñòè, èíûìè ñëîâàìè êîíå÷íîñâÿçíûå îáëàñòè.Ïðèìåð 5. Êðóã |z| < 1 - îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü, åå ãðàíèöåé ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü |z| = 1. Êîëüöî0 < |z| < 1 - äâóñâÿçíàÿ îáëàñòü, åå ãðàíèöà ñîñòîèò èç äâóõ êîìïîíåíò: îêðóæíîñòè |z| = 1 è òî÷êè z = 0.Ìíîæåñòâî E ⊂ C íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé êðóã B(0, R), R < ∞, ÷òî E ⊂B(0, R), ò.å.
|z| < R äëÿ ëþáîãî z ∈ E. Âñÿêîå áåñêîíå÷íîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî èìååò õîòÿ áû îäíóïðåäåëüíóþ òî÷êó, ïðèíàäëåæàùóþ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.Çàìêíóòîå è îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî áóäåì íàçûâàòü êîìïàêòíûì (èëè êîìïàêòîì ).Î÷åâèäíî, ÷òî òî÷êà ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì. Âñÿêîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç êîíå÷íîãî÷èñëà òî÷åê òîæå áóäåò êîìïàêòíûì. Èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüòî÷åê êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà ñîäåðæèò ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü è ÷òî ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿíà êîìïàêòå, äîñòèãàåò íà íåì ñâîåãî íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ.z0 è ìíîæåñòâîì E íàçûâàåòñÿ òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ðàññòîÿíèé |z−z0 |, z ∈E, òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ïîëîæèòåëüíî. Ðàññòîÿíèåìíàçûâàåòñÿ òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ðàññòîÿíèé |z1 − z2 |, z1 ∈ E, z2 ∈ G.
ÅñëèÐàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êîéE.ÅñëèEz0E, Gçàìêíóòî èìåæäó ìíîæåñòâàìèíå ïðèíàäëåæèòE, G íå èìåþò îáùèõ òî÷åê è îäíî èç íèõ çàìêíóòî, à äðóãîå êîìïàêòíî, òî ðàññòîÿíèå ìåæäóδ > 0, òàêîå ÷òî, |z1 − z2 | ≥ δ, z1 ∈ E, z2 ∈ G.2Õîòÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü C , êàê ìíîæåñòâî òî÷åê, ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ R , èõ ñëåäóåò ðàçëè÷àòü,ìíîæåñòâàíèìè ïîëîæèòåëüíî. Èíà÷å ãîâîðÿ, ñóùåñòâóåò ÷èñëîïîñêîëüêó íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ, ñòàâÿùàÿ â ñîîòâåòñòâèå äâóìâåêòîðàìïëîñêîñòèz1 è z2 èç C âåêòîð z1 z2 ,R2 òàêîé îïåðàöèè íåò.âíîâü ïðèíàäëåæàùèé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, à íà äåéñòâèòåëüíîé3.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.z = x + iy íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè C ìîæíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü(x, y) ∈ R2 . Ïðè ýòîì r = |z|, à óãîë ϕ ìåæäó ïîëîæèòåëüíûìíàïðàâëåíèåì äåéñòâèòåëüíîé îñè è âåêòîðîì z íàçûâàþò àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z è îáîçíà÷àåòñÿϕ = Arg z. Äëÿ ÷èñëà z = 0 àðãóìåíò íå îïðåäåëÿåòñÿ.Âñÿêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z 6= 0 ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäåÏîëîæåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëàïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìèrèϕòî÷êèz = r(cos ϕ + i sin ϕ),íàçûâàåìîì òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà.
Ïðè ýòîì äëÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëàx + iycos ϕ = p ñèëó ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèécos ϕxx2è+y2,sin ϕ = pyx2+ y2.z =(1)sin ϕ, ñèñòåìà óðàâíåíèé (1) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèéz 6= 0 îïðåäåëÿåòñÿ íåîäíîçíà÷íî. Ïóñòü arg z = ϕ0 òàêîåè, ñëåäîâàòåëüíî, àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëàðåøåíèå ñèñòåìû (1) , ÷òî0 ≤ ϕ0 < 2π ,òîãäàArg z = arg z + 2πn,ãäån ïðîèçâîëüíîå öåëîå ÷èñëî.Ïóñòüz1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ),z2 = r1 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ),òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íà ìíîæåñòâå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ïîëó÷àåìz1 z2 = r1 r2 ([cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ] + i[cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cos ϕ2 ]) =r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )).Òàêèì îáðàçîì ïðè ïðîèçâåäåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èõ ìîäóëè ïåðåìíîæàþòñÿ, à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ|z1 z2 | = |z1 | |z2 |,Åñëèz = r(cos ϕ + i sin ϕ),Arg (z1 z2 ) = Arg (z1 ) + Arg (z2 ).òîz n = rn (cos ϕ + i sin ϕ)n = rn (cos nϕ + i sin nϕ)n .5Îòñþäà ïðèr=1ïîëó÷àåì ôîðìóëó Ìóàâðà1(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ.Ïðèðàâíèâàÿ â ôîðìóëå Ìóàâðà ñîîòâåòñòâåííî äåéñòâèòåëüíûå è ìíèìûå ÷àñòè âûðàæåíèé, ïîëó÷àåìûõñëåâà è ñïðàâà, ëåãêî íàéòè ôîðìóëû äëÿ ñèíóñîâ è êîñèíóñîâ êðàòíûõ äóã.Åñëè ìû ñòàíäàðòíûì îáðàçîì îïðåäåëèì çíà÷åíèåw =√nzóñëîâèåì:wn = z,òî ìû ïîëó÷èìnðàçëè÷íûõ ðåøåíèépnwk =ïðè ýòîì òî÷êèwk|z|(cosarg z+2πk+ i sinarg z+2πkn), k = 0, 1, 2, .
. . , n − 1,nèìåþò îäèíàêîâûé ìîäóëü è ðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãîÇàìå÷àíèå. Äëÿ ëþáûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 , z2√nz1 z2 =n-óãîëüíèêà.ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà√nz1√nz2 ,êîòîðàÿ îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî, ñòîÿùåå â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà, åñòü ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ(Ïðîèçâåäåíèåì ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâa ∈ A, b ∈ B.ABè√nz1 ,√níàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü âñåâîçìîæíûõ ïðîèçâåäåíèéz2 .ab,)4.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.Ïîñêîëüêó ðàññòîÿíèå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñîâïàäàåò ñ ðàññòîÿíèåì íà äåéñòâèòåëüíîé ïëîñêîñòèR2 ,òî îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è åãî îñíîâíûå ñâîéñòâà ÿâëÿþòñÿñëåäñòâèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ óòâåðæäåíèé äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê ïëîñêîñòèÎïðåäåëåíèå.{zn },aÊîìïëåêñíîå ÷èñëîåñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëàε>0R2 .íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåëíàéäåòñÿ òàêîé íîìåðn0 = n0 (ε),÷òî äëÿ âñåõn > n0âûïîëíÿåòñÿíåðàâåíñòâî|zn − a| < ε.Ïðè ýòîì èñïîëüçóåòñÿ ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿlim zn = a,n→∞ëèáîzn → aÈíûìè ñëîâàìè ÷èñëîa∈Cn → ∞.ïðèÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè{zn },åñëèlim |zn − a| = 0.n→∞Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, èìåþùàÿ ïðåäåëa ∈ C,íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ.Âñÿêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë÷èñåë{xn }è{yn },ãäåzn = xn + iyn .| Re z| ≤ |z|,ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëàäâóõ ïðåäåëîâ{zn } ñîîòâåòñòâóþò äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåéñòâèòåëüíûõÈç îöåíîê| Im z| ≤ |z|,|z| ≤ | Re z| + | Im z|lim zn = a = α + iβn→∞lim xn = α,íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ñóùåñòâîâàíèålim yn = β.n→∞n→∞Òåïåðü íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèåñâîéñòâà: ïóñòü1.2.lim zn = an→∞èlim wn = b,n→∞òîãäàlim (zn + wn ) = a + b,n→∞lim (zn wn ) = ab,n→∞lim zn = a .bn→∞ wn1Òàêæå âåðíû òàêèå êëàññè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ î ïðåäåëàõ, êàê êðèòåðèé Êîøè è ïðèíöèï Áîëüöàíî3.
åñëèb 6= 0,òî2Âåéåðøòðàññà .1 Ìóàâð Àáðàõàì äå (1667-1754) àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ëîíäîíñêîãî êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà, Ïàðèæñêîé èÁåðëèíñêîé àêàäåìèé íàóê, îñíîâíûå èññëåäîâàíèÿ ñâÿçàíû ñî ñòåïåííûìè ðÿäàìè.1 Êîøè Îãþñò Ëóè(1789-1857) ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ïàðèæñêîé àêàäåìèè íàóê, èíîñòðàííûé ïî÷åòíûé ÷ëåíÏåòåðáóðãñêîé àêàäåìèè íàóê, îñíîâíûå èññëåäîâàíèÿ ïîñâÿùåíû ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå,ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ñîçäàòåëåé òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî.2 Áîëüöàíî Áåðíàðä (1781-1848) ÷åøñêèé ìàòåìàòèê, ôèëîñîô, òåîëîã, èçó÷àë ëîãè÷åñêèå îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãîàíàëèçà.Âåéåðøòðàññ Êàðë Òåîäîð Âèëüãåëüì (1815-1897) íåìåöêèé ìàòåìàòèê, èíîñòðàííûé ïî÷åòíûé ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîéàêàäåìèè íàóê, îñíîâíûå èññëåäîâàíèÿ ïîñâÿùåíû ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, òåîðèè ôóíêöèé, âàðèàöèîííîìó èñ÷èñëåíèþ,äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè.6Êðèòåðèé Êîøè.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòüε > 0 ñóùåñòâîâàë|zn − zm | < ε.÷òîáû äëÿ ëþáîãîíåðàâåíñòâîòàêîé íîìåðÏðèíöèï Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà.n0 = n0 (ε),{zn }ñõîäèëàñü, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,÷òî äëÿ âñåõn > n0èm > n0âûïîëíÿëîñüÈç ëþáîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âûäåëèòüñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ óòâåðæäåíèé äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî îíè âåðíû äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé{xn }è{yn }.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñÿêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåëäåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë{rn }è{ϕn },ãäåzn = rn (cos ϕn + i sin ϕn ).{zn } ìîæíî ñîïîñòàâèòü äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòèlim rn = r0 è lim ϕn = ϕ0 , òî,Åñëèî÷åâèäíî,n→∞n→∞lim zn = z0 = r0 (cos ϕ0 + i sin ϕ0 ).n→∞lim zn = z0 , òî èç íåðàâåíñòâà ||zn | − |z0 || ≤ |zn − z0 | ñëåäóåò, ÷òî lim |zn | = |z0 |, ïðè ýòîìn→∞n→∞íåëüçÿ â îáùåì ñëó÷àå óòâåðæäàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ϕn = Arg zn } ñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó àðãóìåíòÅñëèêîìïëåêñíîãî ÷èñëà îïðåäåëÿåòñÿ íåîäíîçíà÷íî.Ïðèìåð 1.nÏóñòüzn = 1 + i (−1)n ,lim zn = 1.
Åñëè âûáèðàòü ϕn = arg zn òàê, ÷òî 0n→∞ðàñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó |ϕn+1 − ϕn | ≥ π. Íî, åñëè ïîëîæèòü ϕnòîãäàϕn < 2π, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ϕn }(−1)n arctan n1 , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕnñõîäèòñÿ ê îäíîìó èç çíà÷åíèé àðãóìåíòàz = 1,à èìåííî, ê≤=0.Âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå ñâîéñòâî:Ëåììà.{ϕn },Ïóñòülim zn = a 6= 0,n→∞èzn 6= 0èarg a = α.Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüϕn = Arg znlim ϕn = α.n→∞Äîêàçàòåëüñòâî. Âûáåðåì ϕn = Arg zn òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâà α − π ≤ ϕn < α + π.Äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî êðóã |z − a| < δ ëåæèò âíóòðè óãëà α − ε < Arg z < α + ε.Ïîñêîëüêó zn → a, òî ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð n0 , ÷òî äëÿ âñåõ n > n0 òî÷êè zn ëåæàò â êðóãå |z − a| < δè ïîýòîìó α − ε < ϕn < α + ε. Ñëåäîâàòåëüíî lim ϕn = α.÷òîn→∞5.
Ïîêàçàòåëüíàÿ ôîðìà êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.Ïî àíàëîãèè ñ äåéñòâèòåëüíûì ñëó÷àåì îïðåäåëèì ôóíêöèþez = limn→∞è ïîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà ïðè ëþáîìÏóñòüz = x + iy ,1+ezðàâåíñòâîìz nnz ∈ C.òîãäàn/2 1 n/2z n 2x x2 + y 2 2x.+=1++o 1+= 1+nnn2nnè, ñëåäîâàòåëüíî,Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõèíòåðâàëåznArg 1 +− π2 , π2 . Òîãäàñ÷èòàòü, ÷òîz n lim 1 + = ex .n→∞nn òî÷êà 1 + nz ëåæèòâ ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè, ïîýòîìó áóäåìðàâåí àðêòàíãåíñó îòíîøåíèÿ ìíèìîé ÷àñòè ê äåéñòâèòåëüíîé è ëåæèò âz ny/nlim Arg 1 += lim n arctg= y.n→∞n→∞n1 + x/nÑëåäîâàòåëüíî|ez | = eRe z = ex ,Arg ez = Im z = yèez = ex+iy = |ez |(cos(Arg ez ) + i sin(Arg ez )) = ex (cos y + i sin y).Òàêèì îáðàçîì ââåäåííàÿ íàìè ôóíêöèÿ íà äåéñòâèòåëüíîé îñè (ò.å. ïðèýêñïîíåíòîé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî, à ïðèx=0y = 0)ïîëó÷àåì ôîðìóëó Ýéëåðà1ñîâïàäàåò ñ îáû÷íîéeiy = cos y + i sin y,1 Ýéëåð Ëåîíàðä (1707-1783) ìàòåìàòèê, ìåõàíèê è ôèçèê, ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîé, Áåðëèíñêîé, Ïàðèæñêîé àêàäåìèé,÷ëåí Ëîíäîíñêîãî êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
