1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Ïóñòü ôóíêöèÿ S(x) áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a, b], x0 ∈ [a, b], S 0 (x0 ) =... = S (n−1) (x0 ) = 0, S (n) (x0 ) 6= 0. Òîãäà ñóùåñòâóþò îêðåñòíîñòü Ux0 è äèôôåîìîðôèçì x = ϕ(y), îòîáðàæàþùèé Uy íà Ux ,òàêîé ÷òîòî÷êèx0 ,ôóíêöèÿîêðåñòíîñòüϕUyòî÷êèÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîäèôôåðåíöèðóåìîé, âîçðàñòàþùåé è0ϕ(0) = x0 , ϕ (0) =rnn!, S(ϕ(y)) − S(x0 ) = αy n , α =|S (n) (x0 )|sgnS (n) (x0 ), y ∈ Uy .Äîêàæåì òåïåðü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà (ìàêñèìóì â íåâûðîæäåííîé ñòàöèîíàðíîé òî÷êå).äèôôåðåíöèðóåìûå íà îòðåçêåïðè÷åìx0 −[a, b]ôóíêöèè èS(x)Ïóñòüf (x), S(x)−áåñêîíå÷íîx0 ,λ −→ +∞äîñòèãàåò ìàêñèìóìà â åäèíñòâåííîé òî÷êåíåâûîæäåííàÿ ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà.
Òîãäà äëÿ èíòåãðàëà ËàïëàñàF (λ)ïðèñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå:åñëèx0 ∈ (a, b),òîF (λ) =åñëèx0r2πeλS(x0 ) (f (x0 ) + O(λ−1 ));λ|S 00 (x0 )|ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç êîíöîâ îòðåçêà,òîF (λ) = 21r−12πeλS(x0 ) (f (x0 ) + O(λ 2 )).00λ|S (x0 )|Äîêàçàòåëüñòâî . Áóäåì äîêàçûâàòü ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû; â õîäå äîêàçàòåëüñòâà ïîëó÷èòñÿè âòîðîå.ÏóñòüUxòî÷êèx0x = ϕ(y)−äèôôåîìîðôèçì,îòîáðàæàþùèé èíòåðâàë(−δ, δ)íà íåêîòîðóþ îêðåñòíîñòü(ëåììà Ìîðñà).  èòåãðàëå ïî ýòîé îêðåñòíîñòè ïðîèçâåäåì çàìåíó82x = ϕ(y) :Zf (x)eλS(x) dx = eλS(a)UxZf (x)eλ(S(x)−S(a)) dx = eλS(a)Zδ2g(y)e−λy dy = eλS(a) J−δUxg(y) = f (ϕ(y))ϕ0 (y), g(0) =r2πλ|S 00 (x0 )|S 00 (x0 ) < 0 ).
Ïîñëåäíèé èíòåãðàë ïðåäñòàâèì êàê ñóììó[0, δ], è[−δ, 0]. Ïðèìåíÿ ê ïåðâîìó èç íèõ ëåììó Âàòñîíà (α = 2, β = 0) =,( èç óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò,÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõèíòåãðàëîâJ1 + J2ïî îòðåçêàìïîëó÷èì1J1 =2Äåëàÿ â èíòåãðàëårJ21J2 =2 1πg 0 (0)−3g(0) ++ O(λ 2 ) =λλ2çàìåíóry = −u,s2π−1(f (x0 ) + O(λ 2 )), λ −→ +∞.00λ|S (x0 )|òî÷íî òàê æå ïîëó÷èì 1g 0 (0)π−3g(0) −+ O(λ 2 ) =λλ2Òåì ñàìûìûì äëÿ èíòåãðàëà ïî îêêðåñòíîñòèUxs2π−1(f (x0 ) + O(λ 2 )), λ −→ +∞.00λ|S (x0 )|äîêàçàíî âòîðîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Åñëè æåâíóòðåííÿÿ òî÷êà, òî, ñëîæèâ íàéäåííûå âûðàæåíèÿ äëÿsJ1 + J2 =J1 , J2 ,x0 −ïîëó÷èì2πeλS(x0 ) (f (x0 ) + O(λ−1 )), λ −→ +∞.λ|S 00 (x0 )|Òàêèì îáðàçîì óñòàíîâëåíî, ÷òî îáà óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû ñïðàâåäëèâû äëÿ èíòåãðàëà ïî îêðåñòíîñòèUx . ×òîáû çàâåðøèòü äîêàçàòåëmñòâî, äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî[a, b] ïî ëåììå îá ýêñïîíåíöèàëüíîé îöåíêå åñòü eλS(x0 ) O(λ−∞ ).Çàìå÷àíèå .Òåîðåìàèíòåãðàë ïî îñòàâøåéñÿ ÷àñòè îòðåçêàîñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è â ñëó÷àå íåîãðàíè÷åííîãî ïðîìåæóòêà,åñëè ìîæíîâîñïîëüçîâàòüñÿ ëåììîé îá ýêñïîíåíöèàëüíîé îöåíêå.Ïðèìåð (ôîðìóëà Ñòèðëèíãà) . Ïîêàæåì,÷òîn! ∼Ïîñêîëüêón! = Γ(n + 1),√ n2πn ne , n −→ +∞.òî íàéäåì àñèìïòîòèêóΓ(x + 1)ïðèx −→ +∞.Òñïîëüçóÿ çàìåíót = xu,ïîëó÷èìZ∞Γ(x + 1) =x −tt e dt = x0x+1Z∞ex(ln u−u) dt, f (u) = 1, S(u) = ln u − u.0S(u) äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìóìà â òî÷êå x0 = 1 (S(1) = −1), ïðåäñòàâèì èíòåãðàë1 31 3êàê ñóììó J1 + J2 + J3 èíòåãðàëîâ ïî îòðåçêàì [0, ], [ , ∞], [ , ] ñîòâåòñòâåííî.
Íà ïåðâîì îòðåçêå2 22 2−1ïîäèíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà , íà âòîðîì, êàê íåòðóäíî âèäåòü, S(u) ≤ −(1 − e)u, ïîýòîìó â−x−∞ñèëó ëåììû îá ýêñïîíåíöèàëüíîé îöåíêå èíòåãðàëû J1 , J2 ðàâíû eO(x ). Ïðèìåíÿÿ ê èíòåãðàëó J3Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿäîêàçàííóþ òåîðåìó, ïîëó÷èìJ3 =q2π e−x (1 + O(x−1 )), x −→ +∞.xÒàêèì îáðàçîì,Γ(x + 1) =√ x xx−1−∞2πx xe (1 + O(x )) + x e O(x )), x −→ +∞,îòêóäà è ñëåäóåò ôîðìóëà Ñòèðëèíãà.3 Àñèìïòîòèêà èíòåãðàëîâ Ôóðüå.Òàê íàçûâàþòñÿ èíòåãðàëû âèäà83ZωΦ(λ) =f (x)eiλS(x) dx,aãäåS(x)− âåùåñòâåííîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, λ− ïîëîæèòåëüíûé ïàðàìåòð.Ôóíêöèÿ S(x) íàçûâàåòñÿ ôàçîâîéôóêöèåé èëè ïðîñòî ôàçîé, ïîýòîìó ìåòîä, èñïîëüçóåìûé íèæå, íàçûâàþòìåòîäîì ñòàöèîíàðíîé ôàçû.Ïîëó÷èòü àñèìïòîòèêó èíòåãðàëîâ Ôóðüå óäàåòñÿ ïîòîìó, ÷òî ïðè áîëüøèõλïîäèíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿáûñòðî îñöèëèðóåò è ñîñåäíèå ïîëóâîëíû êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà.Íàïîìíèì îäèí îáùèé ðåçóëüòàò, îòíîñÿùèéñÿ ê èíòåãðàëàì Ôóðüå (îí èñïîëüçîâûëñÿ â êóðñå ôóíêöèîíàëüíîãîàíàëèçà ïðè èçó÷åíèè ðÿäîâ Ôóðüå).Ëåììà Ðèìàíà-Ëåáåãà .Åñëè ôóíêöèÿ f (x) àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà, òîZωf (x)tiλx dx, x −→ 0, x −→ +∞.aÁåç äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé îòíîñèòåëüíî ôóíêöèèf (x) íè÷åãî áîëåå îïðåäåëåííîãî î ïîâåäåíèèòàêèõ èíòåãðàëîâ ñêçàòü íåëüçÿ.ÏðèìåðûZ1eiλx1dx = (eiλ − 1) = O(λ−1 ),iλZ∞eiλx2iπdx = e 4√π−1= O(λ 2 ), λ −→ +∞,2λ00(âòîðîé èíòåãðàë ëåãêî ïðèâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó Ôðåíåëÿ), ïîêàçûâàþò, ÷òî ïîâåäåíèå èíòåãðàëîâ Ôóðüåñóùåñòâåííî çàâèñèò îò íàëè÷èÿ èëè îñóòñòâèÿ íà èíòåðâàëå èíòåãðèðîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê ôóíêöèèS(x).Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé îòñóòñòâèÿ ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê.Òåîðåìà.0, x ∈ [a, b].Ïóñòü ôóíêöèèf (x), S(x)áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå[a, b],ïðè÷åìS 0 (x) 6=Òîãäàf (a)eiλS(a)f (b)eiλS(b)Φ(λ) = 1−+ O(λ−2 ), λ −→ +∞,iλS 0 (b)S 0 (a)ZbΦ(λ) =2f (x)eiλx dx.aÄîêàçàòåëüñòâî.
Ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì1Φ(λ) =iλZbf (x)1 f (b)eiλS(b) f (a)eiλS(a) 1d(eiλS(x) ) =−− Φ1 (λ), Φ1 (λ) =0iλiλS (x)S 0 (b)S 0 (a)aZbeiλS(x) f (x) 0S 0 (x)aZbdx =f1 (λ)eiλS(x) dx.aÏðîèçâåäÿ â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì1 f (b)eiλS(b)f (a)eiλS(a) 11Φ(λ) =−+C+002iλS (b)S (a)(iλ)(iλ)2Zbf2 (λ)eiλS(x) dx, C = const.a0, λ −→ +∞. Äåéñòâèòåëüíî, èç óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî f2 (x),S(x) ìîíîòîííà.Ïðîèçâåäÿ çàìåíó y = S(x), ïîëó÷èì èíòåãðàë, ê êîòîðîìó ìîæíî ïðèìåíèòüÏîñëåäíèé èíòåãðàë ñòðåìèòñÿ êíåïðåðûâíà, àëåììó Ðèìàíà-Ëåáåãà.Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà äîêàçàíà.Ïåðåõîäÿ ê ñëó÷àþ íàëè÷èÿ ñòàöèîíàðíîé ò î÷êè, äîêàæåì ñíà÷àëà îäíî âñïîìîãàòåëüíîå ïðåäëîæåíèå.Ëåììà Ýðäåéè. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [0, a] òî84ZaJ(λ) =f (x)eiαλx21dx =2rπ iπδe 4 f (0) + O(λ−1 , λ −→ +∞,|α|λ0δ =sgn α.√Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü α > 0, f (x) ≡ 1. Ïîëàãàÿ u = αλx, ïîëó÷èì1 J(λ) = √αλZ∞eiu2Z∞du −√a αλ021eiu du = √ (J1 − J2 ).αλÏåðâûé èíòåãðàë åñòü èíòåãðàë Ôðåíåëÿ:iπJ1 = e 4√π.2Äëÿ âòîðîãî èíòåãðàëà äâóêðàòíûì èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì ïîëó÷àåìñëó÷àå ëåììà äîêàçàíà. Åñëèα = −β, β > 0,−1J2 = O(λ 2 ), ò.å. â ðàññìàòðèâàåìîìòî íóæíîå óòâåðæäåíèå ïîëó÷àåòñÿ ïåðåõîäîì ê êîìïëåêñíîñîïðÿæåííûì âåëè÷èíàì.Åñëè ôóíêöèÿf (x)íåïîñòîÿííà, òî ïðåäñòàâèì åå â âèäåf (x) = f (0) + xg(x),f (x) − f (0)g(x) ==xZ1f 0 (xu)du,0òîãäà, ñîîòâòñòâåííî, íàø èíòåãðàë ïðåäñòàâèòñÿ ñóììîé äâóõ. Äëÿ îäíîãî èç íèõ, ñîäåðæàùåãîf (0),óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç äîêàçàííîãî âûøå.Äëÿ âòîðîãî ïîëó÷àåì: ZaZaZa 122211iαλxiαλaiαλx0) = g(a)e− g(0) − eg (x)dx ≤|g(f )|+|g(0)|+ |g(x)0 |dx = O(λ−1 ).
iαλ g(x)d(e iαλ |α|λ000Òàêèì îáðàçîì, ëåììà äîêàçàíà.Ëåììà îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è äëÿ ïðîìåæóòêà[0, ∞),åñëèg(x) −→ 0, x −→ +∞,è ôóíêöèÿg 0 (x)íà îòðåçêå[a, b]è x0 ∈ [a, b]−x0 ∈ (a, ), òîàáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà.Òåîðåìà (îòðåçîê ñîäåðæèò ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó).Ïóñòü ôóíêöèè f (x), S(x)− áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûÒîãäà: åñëèåäèíñòâåííàÿ ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà, ïð÷åì íåâûðîæäåííàÿ, ôóíêöèèΦ(λ) = eπiλS(x0 ) i 4 δse2πf (x0 ) + O(λ−1 ), λ −→ +∞,λ|S 00 (x0 )|δ=åñëè òî÷êàx0S(x).sgnS 00 (x0 );ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç êîíöîâ îòðåçêà, òîriπδ2πΦ(λ) = 21 eiλS(x0 ) e 4f (x0 ) + O(λ−1 ), λ −→ +∞, δ =λ|S 00 (x0 )|Äîêàçàòåëüñòâî.sgnS 00 (x0 ).Äåéñòâîâàòü áóäåì òàê æå,êàê â ñëó÷àå èíòåãðàëîâ Ëàïëàñà.
Ïîëüçóÿñü ëåììîéÌîðñà, äëÿ èíòåãðàëà ïî ìàëîé îêðåñòåîñòèUxòî÷êè85x0ïîëó÷èìZf (x)eiλS(x0 )dx = eiλS(x0 )J1 , J2−Çàìåíîé2g(y)eiλδy dy = J1 + J2 ,−δUxãäåZδ[0, ε], [−ε, 0] ñîîòâåòñòâåííî. Ïî ëåììå Ýðäåéèriπδ2πf (x0 ) + O(λ−1 ), λ −→ +∞.J1 = 12 eiλS(x0 ) e 4λ|S 00 (x0 )|èíòåãðàëû ïî îòðåçêàìu = −yòî æå ñàìîå ïîëó÷àåì äëÿóòâåðæäåíèå òåîðåìû.Åñëèx0 ∈ [a, b],J2 .Ux äîêàçàíî âòîðîåJ1 , J2 . Ïîñêîëüêó, â ñèëó ïðåäûäóùåéO(λ−1 ), λ −→ +∞, òî òåîðåìà äîêàçàíà.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ èíòåãðàëà ïîòî ñëîæèì âûðàæåíèÿ äëÿòåîðåìû, èíòåãðàë ïî îñòàâøåéñÿ ÷àñòè îòðåçêà ðàâåíÇàìå÷àíèå.
Ìîæíî ïîêàçàòü,÷òî ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ (êàêèõ?) äîêàçàííûåòåîðåìû ñïðàâåäëèâû è â ñëó÷àå íåîãðàíè÷åíîãî ïðîìåæóòêå.Ëèòåðàòóðà.1. Áèöàäçå À. Â.Îñíîâû òåîðèè àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ì.: Íàóêà, 1984.2. Âîëêîâûñêèé Ë. È., Ëóíö Ã. Ë., Àðàìàíîâè÷ È. Ã.Ñáîðíèê çàäà÷ ïî òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãîïåðåìåííîãî. Ì.: Íàóêà, 1970.3. Ãóðâèö À., Êóðàíò Ð.
Òåîðèÿ ôóíêöèé. Ì.: Íàóêà, 1968. Ì.: Íàóêà, 1968.4. Åâãðàôîâ Ì. À. Àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè. Ì.: Íàóêà, 1968.5. Åâãðàôîâ Ì. À., Ñèäîðîâ Þ. Â., Ôåäîðþê Ì. Â., Øàáóíèí Ì. È., Áåæàíîâ Ê.À.. Ñáîðíèê çàäà÷ ïîòåîðèè àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ì.: Íàóêà, 1972.6. Ëàâðåíòüåâ Ì. À., Øàáàò Á. Â. Ìåòîäû òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî.
Ì.: Íàóêà, 1987.7. Ëåîíòüåâà Ò. À., Ïàíôåðîâ Â. Ñ., Ñåðîâ Â. Ñ.Çàäà÷è ïî òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî.Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1992.8. Ìàðêóøåâè÷ À. È. Òåîðèÿ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ò. 1,2. Ì.: Íàóêà, 1967.8. Ïðèâàëîâ Â. È. Ââåäåíèå â òåîðèþ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ì.: Íàóêà, 1977.10. Ñèäîðîâ Þ. Â., Ôåäîðþê Ì. Â., Øàáóíèí Ì. È. Ëåêöèè ïî òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî.Ì.: Íàóêà, 1989.11.
Øàáàò Á. Â.Ââåäåíèå â êîìïëåêñíûé àíàëèç. ×. 1. Ì.: Íàóêà, 1976.86.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
