1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Òåîðåìà Ðóøå. Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû.Òåîðåìà Ðóøå.Ïóñòü D ⊂ C îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé Γ.f (z) è g(z) ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè D è |f (z)| > |g(z)| ïðè âñåõ z ∈ Γ. Òîãäà ôóíêöèè f (z) èf (z) + g(z) èìåþò â îáëàñòè D îäèíàêîâîå ÷èñëî íóëåé ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòè.ÔóíêöèèÄîêàçàòåëüñòâî.÷åðåçNfèNf +g ñèëó íåðàâåíñòâà|f (z)| > |g(z)| ≥ 0 ôóíêöèÿ f (z) 6= 0 ïðè z ∈ Γ.
Îáîçíà÷èìf (z) è f (z) + g(z) â îáëàñòè D ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñêîëüêóêîëè÷åñòâî íóëåé ôóíêöèéôóíêöèè íå èìåþò ïîëþñîâ, òî ïî ïðèíöèïó àðãóìåíòàNf +g =11g(z) ∆Γ (Arg(f (z) + g(z))) =∆Γ (Arg f (z) 1 +)=2π2πf (z)11g(z) 1∆Γ (Arg f (z)) +∆Γ (Arg 1 +)=∆Γ (Arg f (z)) = Nf .2π2πf (z)2πg(z) g(z) Ïîñêîëüêó < 1, òî ïðè îáõîäå òî÷êîé z çàìêíóòîãî ãðàíè÷íîãî êîíòóðà Γ òî÷êà w = 1 +f (z)f (z)ñîâåðøàåò îáõîä çàìêíóòîãî êîíòóðà, íå ñîäåðæàùåãî âíóòðè ñåáÿ òî÷êó w = 0.
Ñëåäîâàòåëüíîg(z) ∆Γ (Arg 1 +) = 0.f (z)Îñíîâíàÿ òåîðåìà àëãåáðû. Âñÿêèé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n èìååò íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè Cnêîðíåé ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòè.61ðîâíîÄîêàçàòåëüñòâî.g(z) = an−1 zn−1Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + c0 ,Ïóñòüãäåan 6= 0.Ïîëîæèìf (z) = an z nè+ . . . + c0 .Ïîñêîëüêólimz→∞òî ñóùåñòâóåò òàêîå çíà÷åíèåR0 ,÷òî ïðè âñåõf (z)= ∞,g(z)|z| > R0|f (z)| > |g(z)|.B(0, R) ïðè R > R0 (à ñëåäîâàòåëüíî è âîPn (z) = f (z) + g(z) èìåþò îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî íóëåéâûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîÑîãëàñíî òåîðåìå Ðóøå, ýòî îçíà÷àåò ÷òî âî âñÿêîì êðóãåâñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèC)ôóíêöèèf (z)èñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòè.Î÷åâèäíî, ÷òî òî÷êàz = 0ÿâëÿåòñÿ íóëåì ïîðÿäêànäëÿ ôóíêöèèf (z) = an z n .Ýòî è çàâåðøàåòäîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.10. Îáðàùåíèå ñòåïåííûõ ðÿäîâ.f (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â òî÷êå z0 è f 0 (z0 ) 6= 0.
Ïî òåîðåìå îá îáðàòíîé ôóíêöèèñóùåñòâóþò òàêèå îêðåñòíîñòè U òî÷êè z0 è V òî÷êè w0 = S(z0 ), ÷òî îòîáðàæåíèå f : U → V áóäåòâçàèìíî îäíîçíà÷íûì, à îáðàòíàÿ ôóíêöèÿf −1 : V → U áóäåò àíàëèòè÷åñêîé â îêðåñòíîñòè V.−1Ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèÿ f (z) â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 è ôóíêöèÿ f(w) â îêðåñòíîñòè òî÷êè w0 ïðåäñòàâèìûÏóñòü ôóíêöèÿñòåïåííûìè ðÿäàìè:∞Xw = f (z) =an (z − z0 )n(1)n=0è∞Xz = f −1 (w) =bk (w − w0 )k .(2)k=0anÍàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü âîïðîñ î âçàèìîñâÿçè êîýôôèöèåíòîââ ôîðìóëå (1) ñ êîýôôèöèåíòàìèbkâ ôîðìóëå (2).B(w0 , r) ⊂ V, åãî ãðàíè÷íóþ îêðóæíîñòü îáîçíà÷èì ÷åðåç Sr , è ïóñòü D =Ðàññìîòðèì êðóãf −1 (B(z0 , r)), γ = f −1 (Sr ) = ∂D. Òîãäà äëÿ ëþáîãî w ∈ B(z0 , r)D ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèåz ∈ D, ÷òî w = f (z).
Èñïîëüçóÿ èíòåãðàëüíóþ ôîðìóëó Êîøè è çàìåíó ïåðåìåííîé ξ = f (t), äëÿïðîèçâîëüíîé òî÷êè w ∈ D ïîëó÷àåìZZ1f −1 (ξ) d ξ1t f 0 (t) d tz = f −1 (w) ==.(3)2πiξ−w2πif (t) − wγSr γÏðè ýòîì∞X (w − w0 )k111==.f (t) − wf (t) − w0 1 − w − w0(f (t) − w0 )k+1k=0f (t) − w0Ðÿä (4) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïîtíà êîíòóðåγ,ïîñêîëüêó|w − w0 | < r,à|f (t) − w0 | = r(4)ïðèt ∈ γ.Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (3) ðàçëîæåíèå (4) è èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì∞Xz = f −1 (w) =bk (w − w0 )k ,k=0ãäåbk =12πit f 0 (t) d t.(f (t) − w0 )k+1Z(5)γÏîñêîëüêó êîíòóðγÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì, ôóíêöèÿdòî èç ôîðìóëû (5) ïðèn≥1t(f (t) − w0 )kÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íîé ètdtk t f 0 (t) d t=−,(f (t) − w0 )k(f (t) − w0 )k(f (t) − w0 )k+1ïîëó÷àåì1bk =2πikZdt.(f (t) − w0 )kγ62(6)Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â ôîðìóëå (6) èìååò âíóòðè êîíòóðàk.ÿâëÿþùóþñÿ ïîëþñîì ïîðÿäêàbk =γåäèíñòâåííóþ îñîáóþ òî÷êót = z0 ,Íàõîäÿ âû÷åò ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, ïîëó÷àåì1dk−1 h (z − z0 )n ilim,k! z→z0 d z k−1 (f (t) − w0 )kk = 1, 2, .
. .(7)Ðÿä (2), êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì (7), íàçûâàþò ðÿäîì Áóðìàíà Ëàãðàíæà.Ó÷èòûâàÿ, ÷òîa1 = f 0 (z0 ) 6= 0,èç ôîðìóë (7) ëåãêî íàõîäÿòñÿ ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðâûõêîýôôèöèåíòîâ ðÿäà (2) ÷åðåç êîýôôèöèåíòû ðÿäà (1):b0 = z0 , b1 =Ïðèìåð.1 h a2 2 a3 ia21−., b 2 = − 3 , b3 = 3 2a1a1a1a1a1Äëÿ òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿw = 0.çíà÷åíèþ w = 0w = z e−azíàéòè ðàçëîæåíèå â ðÿä ðåøåíèÿz = z(w)îêðåñòíîñòè òî÷êèÏîñêîëüêóñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåbk =z = 0,(ak)k−11dk−1 akze=lim,k−1k! z→0 d zk!ñëåäîâàòåëüíîz=∞X(ak)k−1 kw .k!k=163òî ïî ôîðìóëàì (7)âÈÍÒÅÃÐÀËÛ, ÇÀÂÈÑßÙÈÅ ÎÒ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀ. ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ËÀÏËÀÑÀ.1.
Àíàëèòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü èíòåãðàëà îò ïàðàìåòðà. êóðñå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà î äèôôåðåíöèðîâàíèè èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãîîò ïàðàìåòðà.  ñëåäóþùåé òåîðåìå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèéêîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, íî äèôôåðåíöèðóåìîñòü èíòåãðàëà îáåñïå÷èâàåòñÿ äðóãèìè óñëîâèÿìè.Òåîðåìà.(a, ω) → C.Ðàññìîòðèì îáëàñòüD ⊂ C,ïðîìåæóòîê(a, ω) ⊂ R,ω ≤ +∞è ôóíêöèþf (z, t) : D ×Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:t ∈ (a, ω) ôóíêöèÿ f (z, t) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â D;f (z, t) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ z, t;ñóùåñòâóåò èíòåãðèðóåìàÿ ìàæîðàíòà ϕ(t), ò.å.
|f (z, t)| ≤ ϕ(t) ïðè âñåõ z ∈ D,1) äëÿ êàæäîãî2) ôóíêöèÿ3)èZωϕ(t) d t < ∞.aÒîãäà ôóíêöèÿZωF (z) =f (z, t) d taÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòèDèZω0F (z) =∂f (z, t) d t.∂zaÄîêàçàòåëüñòâî.Èç óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî âñå èíòåãðàëû ìîæíî ïîíèìàòü â ñìûñëå Ëåáåãà.Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ïî òåîðåìå Ëåáåãà î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå, êîòîðûé ìîæíî ïðèìåíèòü áëàãîäàðÿF (z) íåïðåðûâíà â D. Òåïåðü, îïèðàÿñü íà òåîðåìó Ìîðåðû, äîêàæåì, ÷òî F (z)z0 ∈ D. Ïóñòü 0 < r < dist(z0 , ∂D) è γ ïðîèçâîëüíûéëåæàùèé â êðóãå |z − z0 | < r. Èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà:óñëîâèÿì 2), 3), ôóíêöèÿàíàëèòè÷íà â îêðåñòíîñòè ïðîèçâîëüíîé òî÷êèçàìêíóòûé êîíòóð,ZZ ZωZω ZF (z)dz = ( f (z, t)dt)dz = ( f (z, t)dz)dt = 0.γγaaγÏîñëåäíåå ðàâåíñòâî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì óñëîâèÿ 1) è èíòåãðàëüíîé òåîðåìû Êîøè.
Îáîñíîâàòü âòîðîåðàâåíñòâî (èçìåíåíèå ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ â ïîâòîðíîì èíòåãðàëå) ìîæíî ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èçóñëîâèé 2), 3) è òåîðåìû Òîíåëëè ñëåäóåò, ÷òîZω Z|f (z, t)|dt|dz| < ∞,aγà çíà÷èò, ñóùåñòâóåò (êîíå÷íûé) äâîéíîé èíòåãðàëZω ZI=f (z, t)dtdz.aÏî òåîðåìå ÔóáèíèγZ ZωZω ZI = ( f (z, t)dt)dz = ( f (z, t)dz)dt.γÏî òåîðåìå Ìîðåðû ôóíêöèÿaaγF (z) àíàëèòè÷íà â îêðåñòíîñòè z0 .F (z) ìîæíî âû÷èñëÿòü äèôôåðåíöèðîâàíèåìÄîêàæåì ÷òî ïðîèçâîäíóþïîä çíàêîì èíòåãðàëà. Èçèíòåãðàëüíîé ôîðìóëû ÊîøèF 0 (z0 ) =12πiZ|z−z0 |=rZF (z)1dz =(z − z0 )22πi|z−z0 |=r641(z − z0 )2Zωf (z, t)dt dz =aZωZ 12πiaf (z, t)dz dt =(z − z0 )2Zω∂f (z0 , t)dt.∂za|z−z0 |=rÇàêîííîñòü èçìåíåíèÿ ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ îáîñíîâûâàåòñÿ òàê æå, êàê è âûøå. Òåîðåìà äîêàçàíà.2.
Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ãàììà-ôóíêöèè.Îïðåäåëåíèå. Ðàññìîòðèì îáëàñòü D ⊂ Cè ìíîæåñòâîF (z)íàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåìâñåõz ∈ E.Êîíå÷íî æå íå âñÿêàÿ ôóíêöèÿEf :E→CôóíêöèèE ⊂ D. Àíàëèòè÷åñêàÿ â îáëàñòè D ôóíêöèÿf : E → C â îáëàñòü D, åñëè F (z) = f (z) äëÿäîïóñêàåò àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå. Åñëè æå ìíîæåñòâîèìååò ïðåäåëüíóþ òî÷êó, ïðèíàäëåæàùóþ îáëàñòèD, è àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ñóùåñòâóåò, òî îíîåäèíñòâåííî. Ýòî ñëåäóåò èç òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè äëÿ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé.Ââåäåííûå íàìè àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãîez , sin z, cos z . .
.ïëîñêîñòè îáëàäàþò íåêîòîðûìè íåïðèâû÷íûìè ñâîéñòâàìè (ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿíà êîìïëåêñíîéezîêàçûâàåòñÿsin z è cos z îêàçûâàþòñÿ íåîãðàíè÷åííûìè), îäíàêî èìåííîïåðèîäè÷åñêîé, à òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèèýòè ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíûìè àíàëèòè÷åñêèìè ïðîäîëæåíèÿìè ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãîïåðåìåííîãîex , sin x, cos x . . .ñ äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé â êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü.Òåïåðü ðàññìîòðèì áîëåå ñëîæíûé âîïðîñ îá àíàëèòè÷åñêîì ïðîäîëæåíèè ãàììà-ôóíêöèè. Ïðè äåéñòâèòåëüíûõçíà÷åíèÿõx>0ãàììà-ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîìZ∞Γ(x) =tx−1 e−t d t.0Ôîðìàëüíî çàìåíÿÿ äåéñòâèòåëüíóþ ïåðåìåííóþZ∞Γ(z) =xêîìïëåêñíûì ïåðåìåííûìz,ïîëó÷àåìtz−1 e−t d t,(1)0ãäåtz−1 = e(z−1) ln t .
Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ z ∈ C èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (1)îïðåäåëÿåò àíàëèòè÷åñêóþ ôóíêöèþ.ÏóñòüZ∞Γ(z) =tZ1z−1 −te dt =0Z∞z−1 −tte dt +0Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ôóíêöèþe(x−1) ln t = tx−1 < tα−1 èf1 (z).tz−1 e−t d t = f1 (z) + f2 (z).1ÏóñòüZ1t ∈ [0, 1]Re z > α > 0,èòîãäà|tz−1 e−t | ≤ |e(z−1) ln t | =tα−1 d t < ∞.0Òàêèì îáðàçîì ïðè1. ôóíêöèÿtz−1 e−t0<t≤1èRe z > α:ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé;2. ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè3. ôóíêöèÿtz−1 −tetôóíêöèÿtz−1 e−tÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ïî ïåðåìåííîéz;èìååò èíòåãðèðóåìóþ ìàæîðàíòó.f1 (z) áóäåò àíàëèòè÷åñêîéf1 (z) áóäåò àíàëèòè÷åñêîé âÏî òåîðåìå îá àíàëèòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè èíòåãðàëà îò ïàðàìåòðà ôóíêöèÿRe z > α.Re z > 0.â ïîëóïëîñêîñòèïîëóïëîñêîñòè ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðàÒåïåðü ðàññìîòðèì ôóíêöèþf2 (z).èÏðèt≥1Z∞èα>0Re z < β < ∞ôóíêöèÿâûïîëíÿåòñÿ îöåíêà|tz−1 e−t | < tβ−1 e−ttβ−1 e−t d t < ∞.1f2 (z) áóäåò àíàëèòè÷åñêîéf2 (z) áóäåò àíàëèòè÷åñêîé âîÏî òåîðåìå îá àíàëèòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè èíòåãðàëà îò ïàðàìåòðà ôóíêöèÿâ ïîëóïëîñêîñòèRe z < β. ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðàâñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèÒàêèì îáðàçîì ôóíêöèÿC.Γ(z) = f1 (z) + f2 (z),β<∞ôóíêöèÿáóäåò àíàëèòè÷åñêîé â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòèRe z > 0.Ñëåäîâàòåëüíî ôîðìóëà (1) çàäàåò àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ãàììà-ôóíêöèè ñ äåéñòâèòåëüíîé ïîëóîñèâ ïðàâóþ ïîëóïëîñêîñòü.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
