1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 15
Текст из файла (страница 15)
= (c−3 + c−2 z + c−1 z + ...) 2 + z ++ ... .1−2!2!Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ2c−3 = 1,îòêóäà2c−2 + c−3 = 0,zâ îáåèõ ÷àñòÿõ ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì ñèñòåìó2c−1 + c−2 +c−1 = − 14.Äëÿ íàõîæäåíèÿ âû÷åòà â ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êåíàõîäèòü êîýôôèöèåíòc−1z0 ∈ Cc−31=− ,22îáû÷íî ïðèõîäèòñÿ íåïîñðåäñòâåííîâ ëîðàíîâñêîì ðàçëîæåíèè ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè òî÷êèz0 .Ïðè íàõîæäåíèè âû÷åòà â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå ïîëåçíî ñëåäóþùåå ïðîñòîå óòâåðæäåíèå. Ïóñòüôóíêöèÿf (z)àíàëèòè÷íà â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè èf (z) ∼ãäåkåñëè- íàòóðàëüíîå ÷èñëî èk > 1,A 6= 0.Òîãäà åñëèA,zkz → ∞,k = 1,òî âû÷åò â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå ðàâåí−A,àòî âû÷åò ðàâåí íóëþ.
Äåéñòâèòåëüíî, èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî1g(ζ) = f ( ) ∼ Aζ k ,ζÒàêèì îáðàçîì, òî÷êàζ → 0.ζ = 0 ÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êîé ôóíêöèè g(ζ). Äîîïðåäåëÿÿ åå ïðåäåëüíûìζ = 0 ôóíêöèþ g(ζ), èìåþùóþ â òî÷êå ζ = 0 íóëüçíà÷åíèåì, ïîëó÷àåì àíàëèòè÷åñêóþ â îêðåñòíîñòèêðàòíîñòèk.Çíà÷èò,g(ζ) = Aζ k + dk+1 ζ k+1 + ...è ëîðàíîâñêîå ðàçëîæåíèå ôóíêöèèf (z)èìååò âèäf (z) =Adk+1+ k+1 + ...,zkzîòêóäà ñëåäóåò òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå.Ïðèìåð 2.Íàéäåì âû÷åòû ôóíêöèèñóùåñòâåííî îñîáàÿ òî÷êàzf (z) → −1ïðèz → ∞,z1 = 01zf (z) = 1 e− zâ òî÷êåz=0ðàâåíz2 = 1.Âû÷åò â òî÷êåz2ðàâåí−e.Òàê êàêòî1f (z) ∼ − ,zf (z)e − 1.Òàêèì îáðàçîì âû÷åòâ åå êîíå÷íûõ îñîáûõ òî÷êàõ.
Òàêèõ òî÷åê äâå:è ïîëþñ ïåðâîãî ïîðÿäêàz → ∞.â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå ðàâåí1,è ïî òåîðåìå 2 î ñóììå âû÷åòîâ âû÷åòÐàññìîòðèì åùå äâà ïðèìåðà.Ïðèìåð 3. Âû÷èñëèòü èíòåãðàëZI =Zf (z) dz =|z|=22z 7 − z 6 + 3z 4 + z − 5dz.z8 − 1|z|=252f (z)Ôóíêöèèèìååò âîñåìü ïðîñòûõ ïîëþñîâzk = eiπk4 ,k = 0, 1, . .
. , 7,ëåæàùèõ â êðóãå|z| < 2,è ïîîñíîâíîé òåðåìå òåîðèè âû÷åòîâI = 2πi7XRes f (z) = −2πi Res f (z).z=zkk=0z=∞Ïîñêîëüêó â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè∞∞21315 X 12 X112z 7 − z 6 + 3z 4 + z − 5·= +,=− 2+ 4+ 7− 8cmf (z) =z8(1 − z −8 )zzzzzz 8kz m=2 z mk=0òîc−1 = 2, Res f (z) = −2,ñëåäîâàòåëüíîz=∞Âû÷èñëèì èíòåãðàëI = 4πi.Ïðèìåð 4.ZcosI=zz+1dz|z|=2|z| < 2 åäèíñòâåííóþ (ñóùåñòâåííî) îñîáóþ111z= cos 1 −= cos 1 · cos+ sin 1 · sin=cosz+1z+1z+1z+1111+ ...
+ sin 1 ·+ ...cos 1 · 1 −−2(z + 1)2z + 1 6(z + 1)3Ïîäèíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ èìååò â êðóãåêàêòîc−1 = sin 1è, çíà÷èò,òî÷êóz = −1.ÒàêI = 2πi · sin 1.2. Âû÷èñëåíèå ðàöèîíàëüíî-òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ.Ðàññìîòðèì èíòåãðàëZ2πI =R(sin ϕ, cos ϕ) d ϕ,0ãäåR(ξ, η) ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ, íå èìåþùàÿ ïîëþñîâ íà îêðóæíîñòèÑäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîéiϕz=e ,d ϕ = −iξ 2 + η 2 = 1.òîãäàdz1111, sin ϕ =z−, cos ϕ =z+.z2iz2zÑëåäîâàòåëüíîZI = −iRZ 11 11 d z=z−,z+2iz2zzXResR1 (z).z=zk|z|=1|z|=1Ïðèìåð.R1 (z) d z = 2πi|zk |<1Ðàññìîòðèì èíòåãðàëZ2πI =dϕ,1 − 2a cos ϕ + a20 < |a| < 1.0Äåëàÿ çàìåíó ïåðåìåííîéz = eiϕ ,ïîëó÷àåìZI =idz.az 2 − (a2 + 1)z + a|z|=11 , èç êîòîðûõ â êðóãå |z| < 1 ëåæèòaz 2 − (a2 + 1)z + a = 0 èìååò äâà êîðíÿ z1 = a è z2 = az1 = a, ÿâëÿþùàÿñÿ ïðîñòûì ïîëþñîì.
Âû÷åò â ïðîñòîì ïîëþñå íàõîäèòñÿ äîâîëüíî ïðîñòîiiRes f (z) == 2.220z=a[az − (a + 1)z + a] z=aa −1Óðàâíåíèåëèøü òî÷êàÒàêèì îáðàçîìI = 2πi Res f (z) =z=a532π.1 − a23. Âû÷èñëåíèå ðàöèîíàëüíûõ èíòåãðàëîâ.Ðàññìîòðèì èíòåãðàëZ∞I =R(x) d x,(1)−∞ãäåR(x) ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ.ÏóñòüR(z) ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Åñëè R(z) =Pn (z),Qm (z)Pn (z) è Qm (z) ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè n è m ñîîòâåòñòâåííî, òî äëÿ ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà (1) íåîáõîäèìîR(z) íå èìåëà ïîëþñîâ íà äåéñòâèòåëüíîé îñè è äëÿ ñòåïåíåé ìíîãî÷ëåíîâ−2âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî m − n ≥ 2.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî R(z) = O(z) ïðè z → ∞.ãäåè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ôóíêöèÿÏîñêîëüêó ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè Ñ ìîæåò èìåòü ëèøü êîíå÷íîå êîëè÷åñòâî0 < ρ < ∞,ïîëþñîâ, òî ìîæíî âûáðàòü òàêîå çíà÷åíèåáóäóò ëåæàòü â êðóãå÷òî âñå êîíå÷íûå îñîáûå òî÷êè ôóíêöèèR(z)|z| < ρ.Ðàññìîòðèì îðèåíòèðîâàííûé â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè çàìêíóòûé êîíòóð, ñîñòîÿùèé èç îòðåçêà[−ρ, ρ]äåéñòâèòåëüíîé îñè è âåðõíåé ïîëóîêðóæíîñòèòåîðèè âû÷åòîâZρCρ = {|z| = ρ, Im z ≥ 0}.ZR(x) d x +−ρR(z)d z = 2πiXResÏî îñíîâíîé òåîðåìåR(z).(2)z=zkCρIm zk >0Ïîñêîëüêó ïðèρ→∞Z R(z)d z ≤ Cρ−2 2πρ → 0,Cρòî ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ðàâåíñòâå (2), ïîëó÷àåìZ∞I =R(x) d x = 2πiXResR(z).z=zk−∞Im zk >0 ñëó÷àå, êîãäà îñîáûõ òî÷åê îêàçûâàåòñÿ äîâîëüíî ìíîãî, ÷òîáû íå èñêàòü ñóììó áîëüøîãî êîëè÷åñòâàâû÷åòîâ ìîæíî âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ñâåñòè ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî ãðàíèöå ñåêòîðà, ñîäåðæàùåãî âñåãîîäíó îñîáóþ òî÷êó.Ïðèìåð.Âû÷èñëèì èíòåãðàëZ∞In =dx,1 + x2nn ≥ 1.0ÔóíêöèÿR(x) =èìååò2n11 + x2nîñîáûõ òî÷åê.ΓR , ñîñòîÿùåìó èç îòðåçêà äåéñòâèòåëüíîé îñè L = [0, R],iπ/nCR = {z = Reiϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π}è îòðåçêà l = {z = re, 0 ≤ r ≤ R.}niπ/(2n)êîíòóðà ΓR ôóíêöèÿ R(x) èìååò îäèí åäèíñòâåííûé ïðîñòîé ïîëþñ z0 = e.
Âû÷åò âÐàññìîòðèì èíòåãðàë ïî çàìêíóòîìó êîíòóðóäóãè îêðóæíîñòèÂíóòðèòî÷êåz0ðàâåí1z0z0==− .2nz02n2n2nz02n−1Res R(z) =z=z0Ïî òåîðåìå î âû÷åòàõZZR(z) d z =ΓRÏîñêîëüêó|R(z)| ∼ZR(z) d z +L1|z|2nïðèZR(z) d z +CRz → ∞,R(z) d z = 2πi Res R(z).z=z0lòîZR(z) d z → 0,CR54(R → 0).(3)Èíòåãðàë ïî îòðåçêólñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó ïî îòðåçêóZ0ZR(z) d z =iπ/nR(re)eiπ/nLd r = −eiπ/ndr.1 + r2n0RlZRÏåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ðàâåíñòâå (3), ïîëó÷àåìIn − eiπ/n In = −îòêóäàIn =πi iπ/(2n)e,nππ .2n sin 2n4. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè.Èíòåãðàë âèäàZ∞I=eiαx R(x) d x(1)−∞ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèèR(x).Äëÿ íàõîæäåíèÿ òàêèõ èíòåãðàëîâ íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèåËåììà (Æîðäàí).÷èñåë,lim Rn = ∞.n→∞f (z)åñëè ôóíêöèÿÏóñòüα > 0,Îáîçíà÷èì ÷åðåça -âåùåñòâåííîå ÷èñëî, è Rn - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõCn êîíòóð, îïðåäåëÿåìûé óñëîâèÿìè: |z| = Rn , Im z ≥ −a.
Òîãäàíåïðåðûâíà íà êîíòóðàõZCnèMn = max |f (z)| → 0,f (z)eiαz dz → 0,In =n → ∞,z∈Cnòîn → ∞.CnÄîêàçàòåëüñòâî.Im z = −a,Im z = 0Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òîa > 0. Ïóñòü An , Bnñ òåìè æå ïðÿìûìè, ëåæàùèå â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè. Îöåíèì èíòåãðàëäóãåBn Dn|z| = Rn .îêðóæíîñòèZÈìååì:|f (z)| eiαz |dz| ≤ Rn Mn|In,1 | ≤sin tπZπe−αRn sin tZ2dt = 2Rn Mn0Bn DnÔóíêöèÿCn ñ ïðÿìûìèEn , Dn - òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ CnIn,1 ïî ïîëóîêðóæíîñòè, ò.å. ïî- òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿñîîòâåòñòâåííî, ëåæàùèå â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè,âûïóêëà ââåðõ íà îòðåçêå[0, π],e−αRn sin t dt.0ïîýòîìósin t ≥2t,πt ∈ [0,π].2Ñëåäîâàòåëüíî,πZ2|In,1 | ≤ 2Rn Mne−2απ Rn tdt =0In,2An B n ,Îöåíèì èíòåãðàëëåæèò íà äóãåπ(1 − e−αRn ) → 0, n → ∞.2Rn Mn2αRnaïî äóãå An Bn . Ïóñòü tn = arcsinlim Rn tn = a.
Òîãäà åñëè z = x + iyRn . Î÷åâèäíî, n→∞òî|eiαz | = e−αy ≤ e−αaè|In,2 | ≤ Rn Mn e−αaZtndt = Rn Mn e−αa tn → 0,n → ∞.0Dn En . Òàêèì îáðàçîì,Dn En îòñóòñòâóþò.Àíàëîãè÷íî îöåíèâàåòñÿ èíòåãðàë ïî äóãåa ≤ 0,òî èíòåãðàëû ïî äóãàìAn B n ,â ñëó÷àåa>0ëåììà äîêàçàíà. ÅñëèÒåïåðü ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà Ôóðüå (1) ïðèîðèåíòèðîâàííûé â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè çàìêíóòûé êîíòóð55ΓR ,α > 0.Ðàññìîòðèìñîñòîÿùèé èç îòðåçêà[−R, R]CR = {|z| = R, Im z ≥ 0}. ÂûáåðåìR(z) ëåæàëè â êðóãå |z| < R.äåéñòâèòåëüíîé îñè è âåðõíåé ïîëóîêðóæíîñòè0 < R < ∞,òàêîå çíà÷åíèå÷òîáû âñå êîíå÷íûå îñîáûå òî÷êè ôóíêöèèÏî îñíîâíîé òåîðåìå òåîðèè âû÷åòîâZReiαx R(x) d x +−RZeiαz R(z)d z = 2πiXRes(eiαz R(z)).(2)z=zkCRIm zk >0Äëÿ ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà (1) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ôóíêöèÿR(x) → 0 ïðè x → ∞, ò.å.
R(x) ∼ Cx−k ïðè x → ∞z → ∞ è k ≥ 1, ò.å. M (R) = max |R(z)| → 0 ïðè R → ∞.äåéñòâèòåëüíîé îñè èR(z) ∼ Cz −kïðèR(z) íå èìåëà ïîëþñîâ íàk ≥ 1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîèz∈CRÑîãëàñíî ëåììå Æîðäàíà ïðèR→∞Zeiαx R(z)d z → 0.CRÏåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â ðàâåíñòâå (2), ïîëó÷àåìZ∞I =eiαx R(x) d x = 2πiX(eiαz R(z)).Resz=zk−∞Im zk >0Çàìå÷àíèå.êîíòóðΓ−R,Ïðèα<0çàìåíÿÿ êîíòóðΓRíà ñèììåòðè÷íûé åìó îòíîñèòåëüíî äåéñòâèòåëüíîé îñèïîëó÷èì ôîðìóëóZ∞I =eiαx R(x) d x = −2πiXRes(eiαz R(z)).z=zk−∞Im zk <05.
Èíòåãðàëû ñî ñòåïåííûì âåñîì.Ðàññìîòðèì èíòåãðàë âèäàZ∞I =xα−1 R(x) d x,(1)0ãäåα íåöåëîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, àR(x) ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ.Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî R(0) 6= 0 è R(0) 6= ∞, ïîñêîëüêó èíà÷å R(x) =xm R1 (x), R1 (0) 6= 0, R1 (0) 6= ∞ è xα−1 R(x) = xβ−1 R1 (x). Ïîñêîëüêó R(z) ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ, òî−kïðè z → ∞ âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà R(z) ∼ Cz, ãäå k öåëîå ÷èñëî.Äëÿ ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà íåîáõîäèìî:R(x) íå èìåëà ïîëþñîâ íà ïîëóîñè 0 < x < ∞;α > 0, ïîñêîëüêó xα−1 R(x) ∼ xα−1 R(0), ïðè x → +0;α < k, ïîñêîëüêó xα−1 R(x) ∼ Cxα−k−1 , ïðè x → +∞.1) ÷òîáû ôóíêöèÿ2)3)Ïðîäîëæèì ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ â êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü, ïðè ýòîì ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî ôóíêöèÿz α−1 ÿâëÿåòñÿ ìíîãîçíà÷íîé. Ïóñòü D ïëîñêîñòü ñ ðàçðåçîì [0, +∞].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
