1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 18
Текст из файла (страница 18)
ÏðèRe z ≤ 0èíòåãðàë â ôîðìóëå (1) ïåðåñòàåò ñõîäèòñÿ è äëÿ àíàëèòè÷åñêîãîïðîäîëæåíèÿ â ëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü äðóãîé ïîäõîä.65x>0Ïðè äåéñòâèòåëüíûõâûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîΓ(x + 1) = xΓ(x). ñèëó òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè ïðèRe z > 0áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâîΓ(z + 1) = zΓ(z)èëèΓ(z) =Γ(z + 1).zÇàìåòèì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (2) îïðåäåëåíà ïðè(2)Re z > −1, z 6= 0.Òåì ñàìûì ôîðìóëà (2)D1 = {Re z > −1,Re z > −2, z 6= 0, −1, è òåì ñàìûìãàììà-ôóíêöèè èç îáëàñòè D1 â îáëàñòü D2 =çàäàåò àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ãàììà-ôóíêöèè èç ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè â îáëàñòüz 6= 0}.Ïðè ýòîì òåïåðü ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (2) îïðåäåëåíà ïðèïî ôîðìóëå (2) ìû ïîëó÷àåì àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå{Re z > −1, z 6= 0, −1}.
Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññôóíêöèè â îáëàñòü D = C \ {0, −1, −2, . . .}ìû â èòîãå ïîëó÷èì àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ãàììà-Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ãàììà-ôóíêöèè ìîæåò áûòü ïîñòðîåíî è äðóãèì ìåòîäîì. Çàìåòèì, ÷òîâ ðàçëîæåíèèZ∞tΓ(z) =Z1z−1 −te dt =0ôóíêöèÿf2 (z)ttz−1 e−t d t = f1 (z) + f2 (z)1C,ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèïîëóïëîñêîñòü ôóíêöèþÏðåäñòàâèì ôóíêöèþRe z > 0.f1 (z).f1 (z)ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïðèòàêæå áóäåò ðàâíîìåðíîà ôóíêöèÿf1 (z)ÿâëÿåòñÿÏîýòîìó äîñòàòî÷íî àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæèòü â ëåâóþâ âèäå ñóììû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.
Äëÿ ôóíêöèèe−t =Re z ≥ 1e dt +0àíàëèòè÷åñêîé â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòèïðèZ∞z−1 −te−tðÿä Òåéëîðà∞X(−1)n ntn!n=00 ≤ t ≤ 1. Åñëè ðÿä óìíîæèòü íà ôóíêöèþ tz−1 , ãäå Re z ≥ 1, òî ïîëó÷åííûé ðÿäñõîäèòüñÿ ïðè 0 ≤ t ≤ 1, è åãî ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü. Òàêèì îáðàçîìïîëó÷àåìZ1f1 (z) =z−1 −ttZ1e dt =0t0z−1∞X(−1)n nt dt =n!n=0Z1∞∞XX(−1)n(−1)n1tz−1+n d t =.n!n!z+nn=0n=0(3)0 ïîñëåäíåì ðÿäå ôîðìóëû (3) ñëàãàåìûå ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè âî âñåé êîìïëåêñíîéz = 0, −1, −2, .
. . Ðàññìîòðèì∞Sìíîæåñòâî Dε = C \Bn .ïëîñêîñòè, çà èñêëþ÷åíèåì òî÷åêêðóãîâBn = B(−n, ε)èε > 0,ïîñëåäîâàòåëüíîñòü∞P(−1)n 1n! z + nn=0ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíîïðîèçâîëüíîån=0Äëÿ ëþáîãîz ∈ Dεïðè âñåõn = 0, −1, −2, . . .âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (−1)n1 1 1.≤n! z + nn! εÏîñêîëüêó ÷èñëîâîé ðÿäíà ìíîæåñòâåñõîäèòñÿ, òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä∞P(−1)n 1n! z + nn=0íà âñÿêîì êîìïàêòíîì ïîäìíîæåñòâå îáëàñòè D = C \ {0, −1, −2, .
. .}, è ïî òåîðåìåðÿäà áóäåò àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòè D ôóíêöèåé, ñîâïàäàþùåé ñ ôóíêöèåé f1 (z)Dε .  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà ÷èñëà ε > 0 ðÿä èç àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèéñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíîÂåéåðøòðàññà ñóììàïðè∞P1 1n! εn=0Re z ≥ 1.Òàêèì îáðàçîì ôîðìóëàZ∞Γ(z) =tz−1 e−t d t +1∞X(−1)n1n!z+nn=0(4)x > 0 âî âñþ êîìïëåêñíóþz = 0, −1, −2, . . . , ÿâëÿþùèõñÿçàäàåò àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ãàììà-ôóíêöèè ñ äåéñòâèòåëüíîé ïîëóîñèïëîñêîñòü, çà èñêëþ÷åíèåì ñ÷åòíîãî ÷èñëà èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ òî÷åê66ïîëþñàìè ïåðâîãî ïîðÿäêà.
Èç ôîðìóëû (4) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî âû÷åò ãàììà-ôóíêöèèïîëþñåz = −nðàâåíΓ(z)(−1)n(n = 0, −1, −2, . . .).n!â3. Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà.Ïóñòü ôóíêöèÿïåðåìåííîãîf (t) äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî t îïðåäåëåíà íà èíòåðâàëå [0, ∞). Ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãîpZ∞F (p) =f (t)e−pt dt0íàçûâàåòñÿ åå ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà íà êëàññå ôóíêöèé,íàçûâàåìûõ îðèãèíàëàìè.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f : R → C íàçûâàåòñÿ îðèãèíàëîì, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:f (t) = 01)ïðèt < 0;2) íà êàæäîì îãðàíè÷åííîì èíòåðâàëå âåùåñòâåííîé ïðÿìîéf (t) íåïðåðûâíà, çà âîçìîæíûì èñêëþ÷åíèåìíå áîëåå ÷åì êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà;3) ñóùåñòâóþò ïîñòîÿííûåM, α,òàêèå, ÷òî ïðèt≥0|f (t)| ≤ M eαt .(1)Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà îðèãèíàëà îáû÷íî íàçûâàþò èçîáðàæåíèåì.α,Òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà ÷èñåëðîñòà îðèãèíàëàε>0f (t)α(f ).è îáîçíà÷àåòñÿíàéäåòñÿ ïîñòîÿííàÿMε ,äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ (1), íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëåìÈç îïðåäåëåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ðîñòà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãîòàêàÿ, ÷òî|f (t)| < Mε e(α(f )+ε)t ,F (p)Ëåãêî âèäåòü, ÷òî èçîáðàæåíèåt ≥ 0.îïðåäåëåíî äëÿ âñåõp,òàêèõ, ÷òîRe p > α(f ).Ïîêàæåì, ÷òîñïðàâåäëèâî áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 1.
(Îá àíàëèòè÷íîñòè èçîáðàæåíèÿ.) Èçîáðàæåíèå F (p) îðèãèíàëà f (t) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîéâ îáëàñòèRe p > α(f )ôóíêöèåé.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f (t) èìååò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà. Äîáàâèì ê íèì òî÷êó t = 0è çàíóìåðóåì â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ:0 = t0 < t1 < ... < tn .F (p) =tn ZjXf (t)e−ptj=1tj−1ÏóñòüRe p > α(f ) + δ,δ>0è0 < ε < δ,ÒîãäàZ∞dt +f (t)e−pt dt.(2)tnòîãäà|f (t)e−pt | ≤ Mε e−βt ,β = δ − ε > 0,t ≥ 0.Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàëû â ïðàâîé ÷àñòè (2) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 1 îá àíàëèòè÷íîñòèF (p), êàê ñóììà êîíå÷íîãî ÷èñëà àíàëèòè÷åñêèõRe p > α(f ) + δ.
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè δ èçîáðàæåíèå F (p)èíòåãðàëà, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà. Ñëåäîâàòåëüíî,ôóíêöèé, ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòèàíàëèòè÷íî â îáëàñòèRe p > α(f ).Åñëè ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà áåñêîíå÷íî, òî èõ ìîæíî ðàñïîëîæèòü â âèäå âîçðàñòàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè0 = t0 < t1 < ... < tn < ...,ðÿäàïðè÷åìlim tn = ∞.n→∞F (p) =Òîãäà èçîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ôóíêöèîíàëüíîãît∞ ZjXf (t)e−pt dt.(3)j=1tj−1Ïîêàæåì, ÷òî ðÿä (3) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ëþáîì ìíîæåñòâåêàê ìû âèäåëè, íàéäóòñÿ ïîñòîÿííûåβ > 0,M,Re p ≥ α(f ) + δ,òàêèå, ÷òî|f (t)e−pt | ≤ M e−βt ,è ïîýòîìó Ztj M−pt e−βtj−1 − e−βtj = cj > 0.f (t)e dt ≤βtj−167δ > 0.Äåéñòâèòåëüíî,Òàê êàê ðÿä∞Xcjñõîäèòñÿ, òî ðÿä (3) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà.
Ïî ïåðâîé òåîðåìåj=1ÂåéåðøòðàññàF (p)ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé. ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü âîññòàíîâèòü îðèãèíàë ïî èçâåñòíîìó èçîáðàæåíèþ.Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà äâà îòíîñÿùèõñÿ ê ýòîé çàäà÷å ðåçóëüòàòà.Ôîðìóëà îáðàùåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà.Åñëè ôóíêöèÿf (t)tíåïðåðûâíà â òî÷êåÏóñòüf (t)- îðèãèíàë,F (p)- åãî èçîáðàæåíèå.è èìååò â ýòîé òî÷êå êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå ïðîèçâîäíûå, òîa+i∞Z1f (t) =2πiF (p)ept dp,(1)a−i∞ãäå èíòåãðàë ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ, ò.å.a+ibZ1f (t) = limb→+∞ 2πiF (p)ept dp.a−ibRe p = a,Èíòåãðàë áåðåòñÿ âäîëü ëþáîé ïðÿìîéa > α(f ).Ôîðìóëó (1) íàçûâàþò òàêæå ôîðìóëîéÌåëëèíà.Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îðèãèíàëà.
Ïóñòü ôóíêöèÿ F (p) àíàëèòè÷íà â ïîëóïëîñêîñòè Re p > α èâûïîëíåíû óñëîâèÿ:1) èíòåãðàëR∞|F (a + is)|dsñõîäèòñÿ äëÿ ëþáîãîa > α;−∞2)M (R)= max |F (p)| → 0,R → 0,ãäåp∈ΓRÿâëÿåòñÿ èçîáðàæåíèåì îðèãèíàëàΓR|p| = R,- äóãà îêðóæíîñòè:Re p ≥ a > α.ÒîãäàF (p)a+i∞Z1f (t) =2πiF (p)ept dp,(2)a−i∞ãäåa > α è èíòåãðàë ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ.
Òàê êàê èíòåãðàë â (2) ÿâëÿåòñÿ îðèãèíàëîì,òî (2) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå1f (t) =H(t)2πia+i∞ZF (p)ept dp,a−i∞H(t)ãäå- ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà:H(t) = 0,t < 0,H(t) = 1,t ≥ 0. íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îðèãèíàë óäàåòñÿ âîññòàíîâèòü, íå ïîëüçóÿñü ÿâíî ôîðìóëàìè (1) è (2), ò.å. áåçâû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ.Òåîðåìà 2. (Ïåðâàÿ òåîðåìà ðàçëîæåíèÿ.)F (p)Ïóñòüÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îêðåñòíîñòèáåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè è åå ðàçëîæåíèå â ðÿä Ëîðàíà èìååò âèäF (p) =ÒîãäàF (p)∞Xcn.npn=1ñëóæèò èçîáðàæåíèåì îðèãèíàëàf (t) = H(t)∞Xcm+1 mt .m!m=0Çàìå÷àíèå.
Ïîñêîëüêó èçîáðàæåíèåì îðèãèíàëà tm ,f (t)t≥0ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿÿâëÿåòñÿ ñóììîé îðèãèíàëîâ ÷ëåíîâ ëîðàíîâñêîãî ðàçëîæåíèÿÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü R0 > 0 òàêîâî, ÷òî êîëüöî |p| ≥ R0F (∞) = 0,òî íàéäóòñÿ ÷èñëàR1 > R0 ,M > 0,|F (p)| ≤íå ñîäåðæèò îñîáûõ òî÷åê|p| = R ≥ R1 .Òîãäà èç íåðàâåíñòâ Êîøè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà Ëîðàíà ñëåäóåò, ÷òî|cn | ≤ M Rn−1 ,68R ≥ R1òî ôîðìàëüíîF (p).òàêèå, ÷òîM,Rm! ,pm+1F (p).Òàê êàêè, çíà÷èò,cRm |t|m m+1 m t ≤M.m!m!Òàêèì îáðàçîì ðÿä∞Xcm+1 mtm!m=0tñõîäèòñÿ äëÿ âñåõ êîìïëåêñíûõè ∞X cm+1 m t ≤ M eR|t| ,m!m=0Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ âåùåñòâåííûõtR ≥ R1 .ôóíêöèÿf (t) = H(t)∞Xcm+1 mtm!m=0ÿâëÿåòñÿ îðèãèíàëîì.Ïóñòüt ≥ 0 è R òàêèõ, ÷òî R1 < R < Re pkkXXcm+1 m −pt Rm tm −(Re p)t|Sk (p, t)| = t e ≤Me≤ M e−δt .m!m!m=0m=0Re p > R1 ,òîãäà ïðèÑëåäîâàòåëüíî, ðÿäδ = Re p − R > 0.∞Xcm+1 m −ptt em!m=0f (t)e−pt =ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü:Z∞f (t)e−ptZ∞∞∞XXcm+1cm+1tm e−pt dt == F (p).dt =m!pm+1m=0m=000Òåîðåìà 3.
(Âòîðàÿ òåîðåìà ðàçëîæåíèÿ.)Ïóñòü ôóíêöèÿF (p)àíàëèòè÷íà âî âñåé ïëîñêîñòè,çà èñêëþ÷åíèåì ïîëþñîâ, ïðè÷åì â êàæäîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ñîäåðæèòñÿ íå áîëåå ÷åì êîíå÷íîå èõêîëè÷åñòâî. Òîãäà, åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ:1) ñóùåñòâóåò ïîëóïëîñêîñòüRe p > α,íå ñîäåðæàùàÿ ïîëþñîâ2) ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îêðóæíîñòåéRn → ∞,3) ïðè ëþáîìCn : |p| = Rn ,max |F (p)| → 0,p∈CnF (p);òàêàÿ, ÷òîn → ∞;a>αZ∞|F (a + is)|ds < ∞,−∞òîF (p)ÿâëÿåòñÿ èçîáðàæåíèåì îðèãèíàëàf (t) = H(t)Xpkãäå ñóììà áåðåòñÿ ïî âñåì ïîëþñàìpkôóíêöèèRes (F (p)ept ),p=pkF (p).Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè F (p) :F (p) =ãäåPm (p),Qn (p)îðèãèíàëîâcepo t tk−1 .(k−1)!m, nc,(p − p0 )kìíîãî÷ëåíû ñòåïåíåéâ êîíå÷íóþ ñóììó äðîáåé âèäàPm (p),Qn (p)n > m.
Ôóíêöèþ F (p) ìîæíî ðàçëîæèòüc = const, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ èçîáðàæåíèÿìèñîîòâåòñòâåííî,k ≥ 1,Íî, òàê êàêResp=p0ceptcdk−1 ptcep0 t tk−1=lime=,(p − p0 )k(k − 1)! p→p0 dpk−1(k − 1)!69òî â ýòîì ñëó÷àå òåîðåìà äîêàçàíà. îáùåì ñëó÷àå ïî òåîðåìå îá óñëîâèÿõ ñóùåñòâîâàíèÿ îðèãèíàëà ïîëó÷àåì, ÷òîF (p) ÿâëÿåòñÿ èçîáðàæåíèåìîðèãèíàëà1f (t) =H(t)2πia+i∞ZF (p)ept dp.a−i∞ÏóñòüΓn - äóãà îêðóæíîñòè Cn , ëåæàùàÿ â ïîëóïëîñêîñòè Re p ≤ a, a ± ibn - òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ CnRe p = a è γn - çàìêíóòûé êîíòóð, ñîñòîÿùèé èç îòðåçêà [a − ibn , a + ibn ] è äóãè Γn . Òîãäàïðÿìîé1f (t) = limH(t)n→∞ 2πia+ibZ nF (p)ept dp.a−ibnÏî ëåììå Æîðäàíà ïðèt>0Zlimn→∞ΓnF (p)ept dp = 0,ïîýòîìó1H(t)n→∞ 2πiZf (t) = limF (p)ept dp.γnÏðèìåíÿÿ îñíîâíóþ òåîðåìó òåîðèè âû÷åòîâ è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó, ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû.70ñÊÎÍÔÎÐÌÍÛÅ ÎÒÎÁÐÀÆÅÍÈß ÝËÅÌÅÍÒÀÐÍÛÌÈ ÔÓÍÊÖÈßÌÈ.1.
Îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà.ÏóñòüDD, G Gíà îáëàñòüîáëàñòè â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè C. Íàïîìíèì, ÷òî îòîáðàæåíèåw = f (z)îáëàñòèDíàçûâàåòñÿ êîíôîðìíûì, åñëè îíî âçàèìíî îäíîçíà÷íî è â êàæäîé òî÷êå îáëàñòèîáëàäàåò ñâîéñòâàìè êîíñåðâàòèçìà óãëîâ è ïîñòîÿíñòâà ðàñòÿæåíèé. Ôóíêöèÿ, îñóùåñòâëÿþùàÿ âçàèìíîîäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ îäíîëèñòíîé.
Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî, åñëè ïðîèçâîäíàÿ îäíîëèñòíîéàíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè íå îáðàùàåòñÿ â íîëü, òî îòîáðàæåíèå ýòîé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ êîíôîðìíûì.Ðàñïðîñòðàíèì îïðåäåëåíèå êîíôîðìíîñòè íà îòîáðàæåíèå îáëàñòåé ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.Äàäèì íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé.Îïðåäåëåíèå.Ôóíêöèÿf (z)íàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â òî÷êåàíàëèòè÷íà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè. Ôóíêöèÿf (z)z0 ∈óäàëåííîé òî÷êå, åñëè îíà îïðåäåëåíà è àíàëèòè÷íà íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâåf (z) = c0 +c−1c−2+ 2 + ...,zzC, åñëè îíà îïðåäåëåíà èíàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â áåñêîíå÷íî|z| > Rè|z| > R.Èíûìè ñëîâàìè, áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êîé ôóíêöèèf (z).Îïðåäåëåíèå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
