1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Ôèêñèðóåì îäíîçíà÷íóþ â îáëàñòèD âåòâü h(z) ôóíêöèè z α−1 , ïðèíèìàþùóþ ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ íà âåðõíåì áåðåãó ðàçðåçà, ò.å.h(x + i0) = xα−1 . Òîãäà íà íèæíåì áåðåãó ðàçðåçà ïîëó÷àåì h(x − i0) = xα−1 ei2π(α−1) = xα−1 ei2πα .Ïóñòü âñå êîíå÷íûå îñîáûå òî÷êè ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè R(z) ëåæàò â êîëüöå r < |z| < R. Ðàññìîòðèìîðèåíòèðîâàííûé çàìêíóòûé êîíòóð Lr,R , ñîñòîÿùèé èç îêðóæíîñòåé Cr = {|z| = r}, CR = {|z| = R} èîòðåçêîâ [r, R], [R, r], ëåæàùèõ ñîîòâåòñòâåííî íà âåðõíåì è íèæíåì áåðåãàõ ðàçðåçà.Ïî îñíîâíîé òåîðåìå òåîðèè âû÷åòîâZRZh(z) R(z) d z =Lr,Rxα−1ZR(x) d x +rh(z) R(z) d z + ei2παCR2πiZrRXRes (h(z) R(z)).z=zkÈç óñëîâèé 2) è 3) ñëåäóåò, ÷òî56xα−1 R(x) d x +Zh(z) R(z) d z =Cr−(2)ZlimR→∞CRh(z) R(z) d z = 0,Zh(z) R(z) d z = 0.limr→0Cr−r→0R → ∞, ïîëó÷àåìXI − ei2πα I = 2πiRes (h(z) R(z))Ïåðåõîäÿ â ðàâåíñòâå (2) ê ïðåäåëó ïðèèz=zkèëèI=X2πiRes (h(z) R(z)).i2παz=zk1−eÇàìå÷àíèå.
Äîñòàòî÷íî ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ èíòåãðàëû âèäàZ1 x αR(x) d x1−x0ïðè ïîìîùè çàìåíû ïåðåìåííîéxy = 1−xñâîäÿòñÿ ê èíòåãðàëàì ñî ñòåïåííûì âåñîì âèäà (1). Òàêèåèíòåãðàëû ìîæíî òàêæå âû÷èñëÿòü íåïîñðåäñòâåííî.6. Èíòåãðàëû òèïà áåòà-ôóíêöèè.Òàê íàçûâàþò èíòåãðàëû âèäàI=Z1 x αR(x) d x =1−x0ãäåZ1h(x)R(x) d x,0R(x) - ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ (ò.å.
îòíîøåíèÿ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ),α -íåöåëîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.R(x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [0, 1] è −1 < α < 1, òî èíòåãðàë ñõîäèòñÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòèÅñëèóñëîâèÿ âûïîëíåíû.I âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé 3 î âû÷åòàõ. Äëÿ ýòîãî ïðîäîëæèì ïîäèíòåãðàëüíóþD, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ âíåøíîñòüþ êîíòóðà Γ, ñîñòîÿùåãî èç äâóõ îêðóæíîñòåé |z| = ρ,|z − 1| = ρ, ρ > 0, - äîñòàòî÷íî ìàëî, è îòðåçêà [ρ, 1 − ρ] âåùåñòâåííîé îñè. Òàêèì îáðàçîì îáëàñòü Dñîäåðæèò îêðåñòíîñòü òî÷êè z = ∞.αzíåîäíîçíà÷íà, òî âûäåëèì â îáëàñòè D åå îäíîçíà÷íóþ âåòâü ñëåäóþùèìÒàê êàê ôóíêöèÿ h(z) =1−zÄëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëàôóíêöèþ â îáëàñòü[0, 1] âåùåñòâåííîé îñè ôóíêöèÿ h(z) ïîëîæèòåëüíà, z α iα(ϕ1 −ϕ2 )ò.å. h(x) =ïðè z = x ∈ (0, 1), à äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè z ∈ D ïîëîæèì h(z) = 1−z eãäå γ - ïðîèçâîëüíàÿ êðèâàÿ, ëåæàùàÿ â D è ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êó âåðõíåãî áåðåãà ðàçðåçà ñ òî÷êîé z, àϕ1 = ∆γ arg(z), ϕ2 = ∆γ arg(1 − z) - ïðèðàùåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ àðãóìåíòîâ âäîëü γ.îáðàçîì.
Ñ÷èòàåì, ÷òî íà âåðõíåì áåðåãó ðàçðåçà ïî îòðåçêóx1−xα ÷àñòíîñòè ïîëó÷àåì:1) Íà íèæíåì áåðåãó ðàçðåçà2)Íà ëó÷åz=x>1 x α i2παh(x) = e1−xâåùåñòâåííîé îñè x α iπαh(x) = e .x−1Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè ôóíêöèÿh(z)ïðè îáõîäå ïî ëþáîìó çàìêíóòîìó êîíòóðó, ëåæàùåìó ââîçâðàùàåòñÿ ê ñâîåìó èñõîäíîìó çíà÷åíèþ, òàê ÷òî äåéñòâèòåëüíî â îáëàñòèDâåòâü.Ïî òåîðåìå î âû÷åòàõZ mXz αR(z) d z = 2πiRes (h(z)R(z)) + 2πi Res (h(z)R(z))z=zkz=∞1−zΓk=157D,âûäåëåíà åå îäíîçíà÷íàÿãäåzk = 1, ..., m - âñå ïîëþñû ôóíêöèè R(z), è Γ îáõîäèòñÿ òàê, ÷òî îáëàñòü D îñòàåòñÿ ñëåâà (â ÷àñòíîñòè,z = x x ìåíÿåòñÿ îò ρ äî 1 − ρ ).íà âåðõíåì áåðåãó ðàçðåçàÌîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ èíòåãðàëû ïî îêðóæíîñòÿì, âõîäÿùèì â êîíòóðΓ, ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, åñëè ρ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à ñóììà èíòåãðàëîâ ïî âåðõíåìó è íèæíåìó áåðåãó ðàçðåçà,i2παêîòîðûå ïðîõîäÿòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ, ñòðåìèòñÿ ê (1−e)I.
Çíà÷èò, ïåðåéäÿ ê ïðåäåëóïðè ρ → 0 ïîëó÷èì ôîðìóëó(1 − ei2πα )I = 2πimXk=1Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âû÷èñëèòüIRes (h(z)R(z)) + 2πi Res (h(z)R(z))z=zkz=∞íàäî íàéòè âñå âû÷åòû. Âû÷åòû â òî÷êàõzkíàõîäÿòñÿ îáû÷íûìîáðàçîì. Íàéäåì âû÷åò â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå. Áóäåì äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â îêðåñòíîñòèz=∞c−1+ ...zR(z) = c0 +Äàëåå çàìåòèì, ÷òî ïðèz=x>1h(z) = eiαπÐàññìîòðèì òó âåòâüg(z) x − 1 −αxg(z) = 1 +z = x > 1,h(z)ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèèáèíîìèíàëüíûì ðÿäîìÒàê êàê îáå ôóíêöèè1 −α= eiαπ 1 −xeiαπ g(z)è1−1z−αêîòîðàÿ ïðè|z| > 1ïðåäñòàâëÿåòñÿα+ ...zîäíîçíà÷íû è äèôôåðåíöèðóåìû ïðè|z| > 1è ñîâïàäàþò ïðèòî ïî òåîðåìå åäèíñòâåííîñòè îíè ñîâïàäàþò òîæäåñòâåííî.Òàêèì îáðàçîìc−1αh(z)R(z) = eiαπ 1 + + ...
c0 ++ ... =zzc+αc−10eiαπ c0 ++ ... ,zRes (h(z)R(z)) = −eiαπ c−1 + αc0è, çíà÷èò,z=∞7. Èíòåãðàëû ñ ëîãàðèôìè÷åñêèì âåñîì.Ðàññìîòðèì èíòåãðàë âèäàZ∞Im =xα−1 (ln x)m R(x) d x,(1)0ãäåα äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî,m ∈ N,àR(x) ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ.Êàê è â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òîR(0) 6= 0èR(0) 6= ∞,èR(z) ∼ Cz −kïðèz → ∞.Óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà (1) îêàçûâàþòñÿ òàêèìè æå êàê è äëÿ èíòåãðàëîâ ñî ñòåïåííûì âåñîìâ 5:R(x)0 < α < k.1) ôóíêöèÿ2)äîëæíà íå èìåòü ïîëþñîâ íà ïîëóîñè0 < x < ∞;D ïëîñêîñòü ñ ðàçðåçîìD âåòâü h(z) ôóíêöèè z α−1 , ïðèíèìàþùóþ ïîëîæèòåëüíûåα−1çíà÷åíèÿ íà âåðõíåì áåðåãó ðàçðåçà, ò.å. h(x+i0) = x, è îäíîçíà÷íóþ âåòâü ôóíêöèè ln z, ïðèíèìàþùóþäåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ íà âåðõíåì áåðåãó ðàçðåçà, ò.å. ln(x + i0) = ln x.
Òîãäà íà íèæíåì áåðåãó ðàçðåçàα−1 i2παïîëó÷àåì h(x − i0) = xe, ln(x − i0) = ln x + 2πi.Ïóñòü âñå êîíå÷íûå îñîáûå òî÷êè ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè R(z) ëåæàò â êîëüöå r < |z| < R. Ðàññìîòðèìîðèåíòèðîâàííûé çàìêíóòûé êîíòóð Lr,R , ñîñòîÿùèé èç îêðóæíîñòåé Cr = {|z| = r}, CR = {|z| = R} èîòðåçêîâ [r, R], [R, r], ëåæàùèõ ñîîòâåòñòâåííî íà âåðõíåì è íèæíåì áåðåãàõ ðàçðåçà.Ïðîäîëæèì ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ â êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü. Ïóñòü[0, +∞].Ôèêñèðóåì îäíîçíà÷íóþ â îáëàñòèÏî îñíîâíîé òåîðåìå òåîðèè âû÷åòîâZmZRh(z) (ln z) R(z) d z =Lr,Rxα−1mZ(ln x) R(x) d x +rCR58h(z) (ln z)m R(z) d z+ei2παZrZxα−1 (ln x + 2πi)m R(x) d x +Xh(z) (ln z)m R(z) d z = 2πiRes (h(z) (ln z)m R(z)).(2)Res (h(z) (ln z)m R(z)).(3)z=zkCr−RÈç óñëîâèÿ 2) ñëåäóåò, ÷òîZh(z) (ln z)m R(z) d z = 0,limR→∞CRZh(z) (ln z)m R(z) d z = 0.limr→0Cr−Ïåðåõîäÿ â ðàâåíñòâå (2) ê ïðåäåëó ïðèZ∞xα−1m(ln x) R(x) d x − ei2παZ∞r→0èR → ∞,ïîëó÷àåìxα−1 (ln x + 2πi)m R(x) d x = 2πiXz=zk00Âîçìîæíû äâà ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿ.1.×èñëî α ÿâëÿåòñÿ íåöåëûì.(3) îòëè÷åí îò åäèíèöû.
Íàèáîëåå ïðîñòîé âèä ôîðìóëà (3)(1 − ei2παei2πα ïåðåä âòîðûì èíòåãðàëîì â ôîðìóëåèìååò ïðè m = 1 ýòîì ñëó÷àå ìíîæèòåëüZ∞)I1 − 2πixα−1 R(x) d x = 2πiXRes (h(z) ln z R(z)).(4)z=zk0Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèåZ∞J=xα−1 R(x) d x,0è âûäåëèòü â ôîðìóëå (4) äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè, òî ìû ïîëó÷èì ëèíåéíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèéâèäàèç êîòîðîé ìîæíî íàéòè çíà÷åíèå èíòåãðàëàíàéòè çíà÷åíèå èíòåãðàëîâ2.a1 I1 + a2 J = Ab1 I1 + b2 J = B,I1 . Çíàÿ çíà÷åíèå I1 , ïî ôîðìóëå (3) ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíîI2 , I3 , . .
. Im .×èñëî α ÿâëÿåòñÿ öåëûì. ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì èíòåãðàë âèäàImZ∞= (ln x)m R(x) d x,0ôîðìóëà (3) ïðèíèìàåò âèäZ∞Z∞Xm(ln x) R(x) d x − (ln x + 2πi)m R(x) d x = 2πiRes (ln z)m R(z)(5)z=zk00è íå ïîçâîëÿåò íàéòè èíòåãðàëÄëÿ íàõîæäåíèÿ èíòåãðàëàôóíêöèþIm .Imâ ôîðìóëå (5) â êà÷åñòâå ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ñëåäóåò âçÿòü(ln z)m+1 R(z).R(x) ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà Im ìîæíîγr,R , ñîñòîÿùèé èç îòðåçêîâ äåéñòâèòåëüíîé îñè [−R, −r], [r, R] è âåðõíèõ ïîëóîêðóæíîñòåéÅñëè ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ ôóíêöèÿèñïîëüçîâàòü êîíòóð+Cr+ , CR.8. Ïðèíöèï àðãóìåíòà.Âíà÷àëå äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 1.
(Î êîëè÷åñòâå íóëåé è ïîëþñîâ.)ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåéàíàëèòè÷åñêîé âDΓ,ÏóñòüD⊂C îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòüf (z) ÿâëÿåòñÿz ∈ Γ. Òîãäàîðèåíòèðîâàííîé â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè. Ôóíêöèÿçà èñêëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîëþñîâ12πiZb1 , b2 , . . . , bmf 0 (z)d z = N − P,f (z)Γ59èf (z) 6= 0ïðèNãäåêîëè÷åñòâî íóëåé, àÄîêàçàòåëüñòâî.Pêîëè÷åñòâî ïîëþñîâ ôóíêöèèf (z)f (z)Çàìåòèì âíà÷àëå, ÷òî ôóíêöèÿâ îáëàñòèDñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòè.ìîæåò èìåòü â îáëàñòèDëèøü êîíå÷íîå{zn } ⊂ D,f (zn ) = 0 ïðè âñåõ n ∈ N. Ïîñêîëüêó îáëàñòü D, òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåëüíóþ òî÷êóz0 ∈ D, è ïî òåîðåìå åäèíñòâåííîñòè f (z) ≡ 0 â D, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ òåîðåìû.f 0 (z)Îñîáûìè òî÷êàìè ôóíêöèèÿâëÿþòñÿ ïîëþñû b1 , b2 , .
. . , bm è íóëè a1 , a2 , . . . , an ôóíêöèè f (z).f (z)÷èñëî íóëåé. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå, ò.å. ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê÷òîÏî îñíîâíîé òåîðåìå òåîðèè âû÷åòîâXf 0 (z)f 0 (z) Xf 0 (z)dz =Res+Res.z=ai f (z)z=bj f (z)f (z)Z12πi(1)ΓÏóñòüaiíóëü ïîðÿäêàk,òîãäà â îêðåñòíîñòè òî÷êèf (z) =∞Xaics (z − ai )s = (z − ai )k ϕ(z),s=kãäåϕ(z)àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ èϕ(ai ) = ck 6= 0.Òîãäàf 0 (z) = k(z − ai )k−1 ϕ(z) + (z − ai )k ϕ0 (z)èkϕ0 (z)f 0 (z)=+.f (z)z − aiϕ(z)ÑëåäîâàòåëüíîResz=aiÏóñòübjïîëþñ ïîðÿäêàl,kf 0 (z)ϕ0 (z)= Res= k + 0 = k.+ Resz=ai z − aiz=ai ϕ(z)f (z)òîãäà â îêðåñòíîñòè òî÷êèf (z) =∞Xbjcs (z − bj )s =s=−lãäåψ(z)àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ èψ(bj ) = c−l 6= 0.f 0 (z) = −lè(2)ψ(z),(z − bj )lÒîãäàψ(z)ψ 0 (z)+l+1(z − bj )(z − bj )lf 0 (z)−lψ 0 (z)=+.f (z)z − bjψ(z)ÑëåäîâàòåëüíîResz=bjf 0 (z)−lψ 0 (z)= Res+ Res= −l + 0 = −l.z=bj z − bjz=bj ψ(z)f (z)Ñóììèðóÿ âû÷åòû âî âñåõ íóëÿõ è ïîëþñàõ ôóíêöèèf (z)(3)è ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâà (2) è (3), ïîëó÷àåìóòâåðæäåíèå òåîðåìû.Òåîðåìà 2.
(Ïðèíöèï àðãóìåíòà.) Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé ïðåäûäóùåé òåîðåìûN −P =ãäå1∆Γ (Arg f (z)),2π∆Γ (Arg f (z)) ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà ôóíêöèè f (z) ïðè îäíîêðàòíîì îáõîäå êîíòóðà Γ â ïîëîæèòåëüíîìíàïðàâëåíèè.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿf (z)ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé âDçà èñêëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî÷èñëà ïîëþñîâ è èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî íóëåé, òî ìîæíî âûáðàòü òàêèå çàìêíóòûå êîíòóðûγ2 ,ñîäåðæàùèé ãðàíè÷íûé êîíòóðâíóòðè ñåáÿ, ÷òî ôóíêöèÿçàêëþ÷åííîé ìåæäó êîíòóðàìèγ1èγ2 .γ1 ⊂ Dèáóäåò àíàëèòè÷åñêîé â êîëüöåâîéγ1 è γ2 ìû0f(z)∗ïîëó÷èì èç êîëüöåâîé îáëàñòè K îäíîñâÿçíóþ îáëàñòü D , â êîòîðîé ôóíêöèÿáóäåò àíàëèòè÷åñêîé.f (z)∗∗Ïîêàæåì, ÷òî â îáëàñòè D ìîæíî âûäåëèòü îäíîçíà÷íóþ âåòâü ôóíêöèè Ln f (z).
Ïóñòü òî÷êà z0 ∈ D ,ïîñêîëüêó w0 = f (z0 ) 6= 0, òî â îêðåñòíîñòè òî÷êè w0 ìîæíî âûäåëèòü áåñêîíå÷íî ìíîãî îäíîçíà÷íûõaâåòâåé ôóíêöèè Ln w. Ôèêñèðóåì îäíî èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé a0 = ln f (z0 ), ò.å. e 0 = f (z0 ). Àíàëèòè÷åñêàÿîáëàñòèK,Γf 0 (z)f (z)Ïðîâîäÿ ðàçðåç, ñîåäèíÿþùèé êîíòóðû60D∗â îäíîñâÿçíîé îáëàñòèÇàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿôóíêöèÿ−Φ(z)f (z)ef 0 (z)f (z)èìååò ïåðâîîáðàçíóþ, êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì ÷åðåçÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé â îáëàñòèf (z)e−Φ(z)0∗D ,= f 0 (z)e−Φ(z) − f (z)e−Φ(z)Φ(z).ïîñêîëüêóf 0 (z)≡ 0.f (z)Ñëåäîâàòåëüíîf (z)e−Φ(z) = f (z0 )e−Φ(z0 )èëèf (z) = f (z0 )eΦ(z)−Φ(z0 ) = eΦ(z)−Φ(z0 )+a0 .Âåòâü ôóíêöèèLn f (z),îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîìln f (z) = Φ(z) − Φ(z0 ) + a0(4)ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íîé, ïîñêîëüêó îäíîçíà÷íîé ÿâëÿåòñÿ ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (4).
Ïðè ýòîìd (ln f (z)) = d (Φ(z)) =f 0 (z)d z.f (z)Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåé òåîðåìû, ïîëó÷àåì1N −P =2πiZf 0 (z)1dz =f (z)2πiΓZd (ln f (z)) =1∆Γ (ln f (z)) =2πiΓ11[∆Γ (ln |f (z)|) + i∆Γ (Arg f (z))] =∆Γ (Arg f (z)),2πi2πïîñêîëüêó ∆Γ (ln |f (z)|) = 0.Ïðèâåäåì åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî. Îáðàçîì Γ ïðè îòîáðàæåíèè w = f (z) ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ1 íåïðåðûâíà â îêðåñòíîñòè Γ0 . Êàê óæå ðàíååΓ0 , íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç 0. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ F (w) = wîòìå÷àëîñü,Zdw= i∆Γ0 arg w = i∆Γ arg f (z).wΓ0Òåïåðü, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó çàìåíû ïåðåìåííîé, ïîëó÷àåì11∆Γ arg f (z) =2π2πiZdw1=w2πiΓ0Zf 0 (z)dz.f (z)Γ9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
