1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Ïðè ýòîì∗äëÿ ïðîèçâîëüíîé îêðóæíîñòè γ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè z è z , êâàäðàò êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè γ èç∗òî÷êè z0 ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñåêóùåé |z −z0 | íà åå âíåøíþþ ÷àñòü |z −z0 |, ò.å. êâàäðàò êàñàòåëüíîé ðàâåí2R . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê îêðóæíîñòè γ ñîâïàäàåò ñ ðàäèóñîì îêðóæíîñòè Γ, è, ñëåäîâàòåëüíî,îêðóæíîñòè Γ è γ âçàèìíî îðòîãîíàëüíû.∗Ïðè äîêàçàòåëüñòâå äîñòàòî÷íîñòè ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî òî÷êè z è z ëåæàò íà ïðÿìîé, îðòîãîíàëüíîéîêðóæíîñòè Γ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè. Âñÿêàÿ îêðóæíîñòü γ, ïðîõîäÿùàÿ∗÷åðåç òî÷êè z è z , áóäåò îðòîãîíàëüíîé îêðóæíîñòè Γ.
Ïîýòîìó ðàäèóñ, ïðîâåäåííûé èç òî÷êè z0 â òî÷êóïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòåé, ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè γ. Ïî òîé æå òåîðåìå î êàñàòåëüíîé è∗2∗ñåêóùåé ïîëó÷àåì, ÷òî |z − z0 | · |z − z0 | = R , îòêóäà è ñëåäóåò ñèììåòðè÷íîñòü òî÷åê z è z .ÏóñòüΓ îêðóæíîñòü ðàäèóñàRñ öåíòðîì â òî÷êåz0 .Åñëè òî÷êèÓñëîâèå (*) ÿâëÿåòñÿ áîëåå óíèâåðñàëüíûì ÷åì äàííîå íàìè îïðåäåëåíèå ñèììåòðè÷íîñòè, ïîñêîëüêóîíî îêàçûâàåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì è äëÿ õîðîøî èçâåñòíîé èç øêîëüíîãî êóðñà ãåîìåòðèèñèììåòðè÷íîñòè òî÷åê îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé.Âîîáùå, â êîìïëåêñíîì àíàëèçå ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ óäîáíûì ñ÷èòàòü ïðÿìóþ îêðóæíîñòüþ áåñêîíå÷íîãîðàäèóñà, ïîñêîëüêó ïðè ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèè è îêðóæíîñòè è ïðÿìûå, ëåæàùèå íà êîìïëåêñíîéïëîñêîñòè, îòîáðàæàþòñÿ â îêðóæíîñòè íà ñôåðå Ðèìàíà.
Äàëåå, ÷òîáû îòìåòèòü òîò ôàêò, ÷òî äàííîåëèáîìíîæåñòâî òî÷åê êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿîêðóæíîñòüþëèáîïðÿìîé, ìû áóäåì ïèñàòüîêðóæíîñòü.Îêðóæíîñòÿìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ òî÷êó è òî÷êóz0 .z0 ∈ C,ÿâëÿþòñÿ òîëüêîΓz0 . Ïîýòîìó áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà z ∗ = ∞ áóäåò ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíîîêðóæíîñòè Γ òî÷êå z0 öåíòðó îêðóæíîñòè.Òåîðåìà. Ïðè äðîáíî-ëèíåéíîì îòîáðàæåíèè L òî÷êè z è z ∗ , ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòèΓ, îòîáðàæàþòñÿ â òî÷êè w è w∗ , ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòè L(Γ) îáðàçà îêðóæíîñòèΓ.Èç êðóãîâîãî ñâîéñòâà ñëåäóåò, ÷òî äðîáíî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå L óñòàíàâëèâàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå∗ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ñåìåéñòâîì âñåõ îêðóæíîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êè z è z , è ñåìåéñòâîì âñåõ∗îêðóæíîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êè w è w .
Âñÿêàÿ îêðóæíîñòü γ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè z èz ∗ , îðòîãîíàëüíà îêðóæíîñòè Γ. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî êîíñåðâàòèçìà óãëîâ, ïîëó÷àåì,÷òî îêðóæíîñòüL(γ), ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè w è w∗ , îðòîãîíàëüíà îêðóæíîñòè L(Γ), èç ÷åãî è ñëåäóåò ñèììåòðè÷íîñòü∗òî÷åê w è w .ïðîèçâîëüíûå ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êóÂñå ýòè ïðÿìûå áóäóò îðòîãîíàëüíû îêðóæíîñòèñ öåíòðîì â òî÷êåÐàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ (äðîáíî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå êëàññè÷åñêèõ îáëàñòåé).Ïðèìåð 1.(Îòîáðàæåíèå âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè íà åäèíè÷íûé êðóã.){Im z > 0} íà åäèíè÷íûé{|z| < 1.} Ïóñòü òî÷êà a, Im a > 0 îòîáðàæàåòñÿ â öåíòð êðóãà w = 0. Òîãäà òî÷êà a, ñèììåòðè÷íàÿòî÷êå a îòíîñèòåëüíî äåéñòâèòåëüíîé îñè, îòîáðàæàåòñÿ â áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ òî÷êó w = ∞, ñèììåòðè÷íóþòî÷êå w = 0 îòíîñèòåëüíî åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè {|z| = 1.} Ïî òî÷êàì, êîòîðûå îòîáðàæàþòñÿ â íóëü èÍàéäåì îáùèé âèä äðîáíî-ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòèêðóãáåñêîíå÷íîñòü äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ íàõîäèòñÿ îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ:w = f (z) = λ74z−a.z−aÄåéñòâèòåëüíàÿ îñü îòîáðàæàåòñÿ â åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü, è, â ÷àñòíîñòè,|f (0)| = |λ|Ñëåäîâàòåëüíîλ = eiα ,|a|= |λ| = 1.|a|à èñêîìîå îòîáðàæåíèå èìååò âèäw = eiαãäåaz−a,z−a ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, èïðîèçâîäíóþf0â òî÷êåa,α ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
Âû÷èñëèâíàéäåì, ÷òî óãîë ïîâîðîòà êðèâûõ â òî÷êåaðàâåíarg f 0 (a) = α − π2.Ïðèìåð 2. Íàéäåì îáùèé âèä äðîáíî-ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ åäèíè÷íîãî êðóãà íà åäèíè÷íûé êðóã.Ïóñòü äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿf (z0 ),|z0 | < 1.w = f (z)f (z) = AÏîêàæåì, ÷òî|A| = 1.|z| < 1 íà êðóã |w| < 1,f ( z1 ) = ∞ è, çíà÷èò,îòîáðàæàåò êðóãÒîãäà èç ñâîéñòâà ñîõðàíåíèÿ ñèììåòðèèïðè÷åì0 =0z − z0.1 − zz 0Òàê êàê ãðàíè÷íûå òî÷êè ïåðåõîäÿò â ãðàíè÷íûå òî÷êè, òî ïðèz = eiϕèìååì:iϕ eiϕ − z0 = |A| |e − z0 |1 = A= |A|.iϕiϕ1 − e z0|e ||e−iϕ − z 0 |(Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî ÷èñëàÒàêèì îáðàçîì,A = eiα .ïîâîðîòà êðèâûõ â òî÷êåÏðèìåð 3.eiϕ − z0 ,f 0 (z0 ),Âû÷èñëèâ ïðîèçâîäíóþe−iϕ − z 0ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî ñîïðÿæåííûìè.)íàéäåì, ÷òîα = arg f 0 (z0 ),ò.å.αÍàéäåì îáùèé âèä äðîáíî-ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòèâåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòüðàâíî óãëóz0 .Im w > 0.Im z > 0íàÇàäàäèì òðè ðàçëè÷íûå òî÷êè, ëåæàùèå íà ãðàíèöå ïîëóïëîñêîñòèIm z > 0, ò.å.
òðè âåùåñòâåííûõ ÷èñëà. Èõ îáðàçû ÿâëÿþòñÿ ãðàíè÷íûìè òî÷êàìè, ò.å. òîæå âåùåñòâåííûìè÷èñëàìè. Âûðàæàÿ w èç ôîðìóëû (3), äàþùåé îáùèé âèä îòîáðàæåíèÿ, ïåðåâîäÿùåãî òðè òî÷êè â òðèòî÷êè, ïîëó÷èìaz + b,cz + dòî÷êè z = i,w=ãäåa, b, c, dâåùåñòâåííûå ÷èñëà. Íàéäÿ îáðàçïîëóïëîñêîñòè, ïîëó÷èìad − bc > 0.75êîòîðûé äîëæåí ïðèíàäëåæàòü âåðõíåéÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÅÒÎÄÛ.1 Îïðåäåëåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ. ýòîì ðàçäåëå ìû çàéìåìñÿ èçó÷åíèåì ïîâåäåíèÿ íåêîòîðûõ èíòåãðàëîâ, çàâèñÿùèõ îò âåùåñòâåííîãîïîëîæèòåëüíîãî ïàðàìåòðàÏóñòüM−λïðèλ −→ +∞.Ñíà÷àëà íàïîìíèì íóæíûå äëÿ äàëüíåéøåãî îïðåäåëåíèÿ.÷èñëîâîå ìíîæåñòâî (ò.å. ïîäìíîæåñòâî âåùåñòâåííîé ïðÿìîé èëè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè),ω, f (λ), g(λ), − ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå íà M.
Òîãäà ïèøóò:g(λ) = O(f (λ)), λ −→ ω, åñëè g(λ) = α(λ)f (λ), α(λ)− îãðàíè÷åííàÿ íà M ôóíêöèÿ;b) g(λ) = o(f (λ)), λ −→ ω, åñëè g(λ) = α(λ)f (λ), α(λ) −→ 0, λ −→ ω;c) g(λ) ∼ f (λ), λ −→ ω, åñëè g(λ) = α(λ)f (λ), α(λ) −→ 1, λ −→ ω. ïîñëåäíåì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî f, g ýêâèâàëåíòíû ïðè λ −→ ω.èìåþùåå ïðåäåëüíóþ òî÷êóa)Íàâîäÿùèé ïðèìåð.
ÏóñòüF (λ) =R∞ e−λx dx1 + x , λ > 0.0Èíòåãðèðóÿ íåñêîëüêî ðàç ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èìF (λ) =Rn+1 (λ)ÎöåíèìnP(−1)k k!(k+1) + Rn+1 (λ),k=0 λ(−1)n+1 (n + 1)! R∞ e−λx dx1 + x , n = 0, 1, ....λn+10Rn+1 (λ) :|Rn+1 (λ)| ≤n+2(n + 1)! R∞ −λx(n + 1)!edx =.n+1λλ0Ââîäÿ îáîçíà÷åíèåϕn (λ) = 1n , n = 0, 1, ...,λìîæíî íàïèñàòüF (λ) =nP(−1)k k!ϕk+1 (λ) + Rn+1 (λ), n = 0, 1, ...;k=0ïðè ýòîì1,λRn+1 (λ) = o(ϕn+1 (λ)), λ −→ +∞.Çàìåòèì, ÷òî ìû íå ïîëó÷èëè ðàçëîæåíèåF (λ)ïî ñòåïåíÿìò.ê.
ðÿäðàñõîäèòñÿ ïðè âñåõ ïîëîæèòåëüíûõçíà÷åíèÿF (λ),λîäíàêî ïîíÿòíî, ÷òî åãî ÷àñòè÷íûå ñóììû äàþò ïðèáëèæåííûåòåì áîëåå òî÷íûå, ÷åì áîëüøåλ.Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì îïðåäåëåíèÿì.Îïðåäåëåíèå àñèìïòîòè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Ïóñòü M - ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî è0, 1, ...,ωåãî ïðåäåëüíàÿ òî÷êà. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèéîïðåäåëåííûõ íà M, íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ïðèòîæäåñòâåííûé íîëü íè íà îäíîì ìíîæåñòâå âèäàM ∩ U, U −λ −→ ω,îêðåñòíîñòüåñëèωϕn (λ)αn (λ), n =íå îáðàùàþòñÿ âèαn+1 (λ) = o(αn (λ)), λ −→ ω, λ ∈ M, n = 0, 1, ....Ïðèìåðû àñèìïòîòè÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé: ϕn (λ) = λ−n , λ −→ +∞, n = 0, 1, ...,α(λ)ϕn (λ), α(λ) > 0, λ −→ +∞, ψn (λ) = λn , n = 0, 1, ..., λ −→ 0, β(λ)ψn (λ), β(λ) > 0, λ −→ 0.Îïðåäåëåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ.Ïóñòüαn (λ)-àñèìïòîòè÷åñêàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü íà ìíîæåñòâå M è ôóíêöèÿf (λ)îïðåäåëåíà íàM.Ôîðìàëüíûé ðÿä∞Pck αk (λ), ck = constk=0íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì ðÿäîì (èëè àñèìïòîòè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì)ôóíêöèèαn (λ),åñëèäëÿ âñåõn = 0, 1, ...âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà76f (λ) ïî ïîñëåäîâàòåëüíîñòènPf (λ) =ck αk (λ) + Rn (λ), Rn = o(αPn (λ)),k=0λ −→ ω.Èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèåf (λ) 'nPck αk (λ.k=0Ñëàãàåìîå c0 α0 (λ) íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì ÷ëåíîì àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ (èëè ãëàâíûì ÷ëåíîì àñìïòîòèêè).ϕn (λ), ψn (λ),îïðåäåëåííûì âûøå, íàçûâàþòñÿ ñòåïåííûìè.
Íå ëþáàÿÐàçëîæåíèÿ ïî ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìôóíêöèÿ äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå ïî çàäàííîé àñèìïòîòè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Òàê,åñëèf (λ) '∞Pcn λ−n ,k=0òî,î÷åâäíî,f (λ) −→ c0 , λ −→ +∞.Ïîýòîìó, íàïðèìåð, ôóíêöèÿf (λ) = sin(eλ )íå èìååò àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ óêàçàííîãî âèäà.Íå òðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî äàííîå îïðåäåëåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìóf (λ) =nPck αk (λ) + O(αn+1 (λ)), λ −→ ω, n = 0, 1, ....k=0Äåéñòâèòåëüíî, ñ îäíîé ñòîðîíûO(αn+1 (λ)) = O(o(αn (λ))) = o(αn (λ)), λ −→ ω.Ñ äðóãîé ñòîðîíû,nPf (λ) =ck αk (λ) + cn+1 αn+1 (λ) + o(αn+1 (λ)) =k=0nPck αk (λ) + O(αn+1 (λ)).k=0Àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ îáëàäàþò âàæíûì ñâîéñòâîì åäèíñòâåííîñòè.Òåîðåìà(î åäèíñòâåííîñòè àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ).Ôóíêöèÿ f (λ)ìîæåò èìååòü íåáîëåå îäíîãî ðàçëîæåíèÿ ïî äàííîé àñèìïòîòè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü αn (λ)− àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èf (λ) '∞Pcn αn (λ), f (λ) 'n=0∞Pdn αn (λ), λ −→ ω.n=0Òîãäàf (λ) = c0 α0 (λ) + o(α0 (λ)) = d0 α0 (λ) + o(α0 (λ)),îòêóäà(c0 − d0 )α0 (λ) = o(α0 (λ)),÷òî âîçìîæíî òîëüêî ïðèω.c0 = d0(ò.ê.α0 (λ) íå îáðàùàåòñÿ òîæäåñòâåííî â íóëü íè â îäíîécn = dn , n = 0, 1, ..., ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.îêðåñòíîñòèÏðîäîëæàÿ òàêèì æå îáðàçîì, ïîëó÷èìÄàäèì åùå îäíî îïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå (àñèìïòîòè÷åñêîãî íóëÿ). Ôóíêöèÿ ϕ(λ) íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì íóëåì îòíîñèòåëüíîàñèìïòîòè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèαn (λ), λ −→ ω,åñëè äëÿ âñåõn = 0, 1, ...âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâàϕ(λ) = o(αn (λ)), λ −→ ω.ϕn (λ) = λ−n , λ −→ +∞ îáîçíà÷àåòñÿ O(λ−∞ ),ψn (λ) = λn , λ −→ 0 îáîçíà÷àåòñÿ O(λ∞ ).Àñèìïòîòè÷åñêèé íóëü îòíîñèòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòèàñèìïòîòè÷åñêèé íóëü îòíîñèòåëüíî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè−1Ïðèìåðû: e−λ = O(λ−∞ ), λ −→ +∞; e λ2 = O(λ∞ ), λ −→ 0.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî åñëè äâå ôóíêöèèäîïóñêàþò ðàçëîæåíèÿ ïî íåêîòîðîé àñèìïòîòè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðàçíîñòü ýòèõ ôóíêöèéÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèì íóëåì, òî èõ ðàçëîæåíèÿ ñîâïàäàþò. Âåðíî è îáðàòíîå: äâå ôóíêöèè, ðàçëîæåíèÿêîòîðûõ ñîâïàäàþò, ðàçëè÷àþòñÿ íà àñèìòîòè÷åñêèé íóëü.2 Ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðàçëîæåíèé.Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ðàçëîæåíèÿ ïðèλ ≥ λ0 ≥ 0λ −→ +∞.Ïóñòü ôóíêöèèè äîïóñêàþò àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ77f (λ), g(λ)îïðåäåëåíû íà èíòåðâàëå∞Pf (λ) '∞Pan λ−n , g(λ) 'n=0bn λ−n , λ −→ +∞.n=0ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà (àðèôìåòè÷åñêèå ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðàçëîæåíè).α, β−êîíñòàíòû,òî1. Åñëè∞Pαf (λ) + βg(λ) '(αan + βbn )λ−n , λ −→ +∞.n=02.Ïðîèçâåäåíèåf (λ)g(λ)äîïóñêàåò ðàçëîæåíèåf (λ)g(λ) '∞Pcn λ−n , cn =n=03.Åñëèb0 6= 0,nPak bn−k , λ −→ +∞.k=0òî∞Pf (λ)'d λ−n , λ −→ +∞,g(λ) n=0 nãäå êîýôôèöèåíòûdnîïðåäåëÿþòñèç èç ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøííèéan =nPbn−k dk , n = 0, 1, ....k=0Äîêàçàòåëüñòâî.Äîêàæåì òîëüêî ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå,îñòàëüíûå äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî. ñîîòâåòñòâèèñ îïðåäåëåíèåì, òðåáóåòñÿ óñòàíîâèòü,÷òî äëÿ âñåõn = 0, 1, ...âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâàf (λ)= d0 + d1 λ−1 + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
