1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Ôóíêöèÿ f (z) íàçûâàåòñÿ îäíîëèñòíîé â òî÷êå z0 ∈ C, åñëè îíà îïðåäåëåíà è îäíîëèñòíàâ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè.z0 â íîëü, òî ïî òåîðåìå îá îáðàòíîéz0 . Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè ôóíêöèÿ àíàëèòè÷íà è îäíîëèñòíà â òî÷êå, òîåå ïðîèçâîëíàÿ â ýòîé òî÷êå îòëè÷íà îò íóëÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ áûëà îäíîëèñòíîé â îáëàñòè D,íåîáõîäèìà (íî íå äîñòàòî÷íà!) îäíîëèñòíîñòü â êàæäîé òî÷êå D. Íàïðèìåð, ïðîèçâîäíàÿ àíàëèòè÷åñêîézâî âñåé ïëîñêîñòè ôóíêöèè f (z) = e íå îáðàùàåòñÿ â íîëü íè â îäíîé òî÷êå, íî ýòà ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿîäíîëèñòíîé ââèäó ïåðèîäè÷íîñòè. Ñïðàâåäëèâû òàêæå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. Åñëè ôóíêöèÿ f (z)Åñëè ïðîèçâîäíàÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè íå îáðàùàåòñÿ â òî÷êåôóíêöèè ôóíêöèÿ îäíîëèñòíà âàíàëèòè÷íà â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå, òî îíà îäíîëèñòíà â îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè â òîì è òîëüêîâ òîì ñëó÷àå, êîãäàôóíêöèèf (z),òîãäàc−1 = − Res f (z) 6= 0.f (z)Äàëåå, ïóñòü òî÷êà z0 (êîíå÷íàÿ èëè íåò) ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîìz=∞îäíîëèñòíà â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå,êîãäà ïîðÿäîê ïîëþñà ðàâåí åäèíèöå.
Êðîìå òîãî, íè â êàêîé îêðåñòíîñòè ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êèôóíêöèÿ íå ìîæåò áûòü îäíîëèñòíîé.Òåïåðü äàäèì òàêîå îïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå.w = f (z)f (z) îäíîëèñòíà â D è àíàëèòè÷íà âîâñåõ òî÷êàõ D çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, îäíîé, â êîòîðîé f (z) èìååò ïîëþñ ïåðâîãî ïîðÿäêà.ßñíî, ÷òî âî âñåõ êîíå÷íûõ òî÷êàõ îáëàñòè D, îòëè÷íûõ îò ïîëþñà îòîáðàæåíèå w = f (z) îáëàäàåòîáëàñòèDÏóñòüíà îáëàñòüGD, G- îáëàñòè ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè C. Îòîáðàæåíèåíàçûâàåòñÿ êîíôîðìíûì, åñëè ôóíêöèÿñâîéñòâàìè êîíñåðâàòèçìà óãëîâ è ïîñòîÿíñòâà ðàñòÿæåíèé.Ââåäåì ïîíÿòèå óãëà ìåæäó êðèâûìè â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå.
Ïóñòü ãëàäêèå êðèâûåòàêîâû, ÷òî èõ îáðàçû ïðè ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèè ïðîõîäÿò ÷åðåç ñåâåðíûé ïîëþñPγ1 , γ2ñôåðû Ðèìàíàè èìåþò â íåì êàñàòåëüíûå. Óãîë ìåæäó ýòèìè êàñàòåëüíûìè è ïðèíèìàåòñÿ çà óãîë ìåæäó êðèâûìè âáåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòîò óãîë ðàâåí óãëó ìåæäó îáðàçàìè êðèâûõïðè îòîáðàæåíèèÏðèìåð.ζ = z1 .z = teiϕ ,γ1 , γ2z = teiψ ,t ≥ 0 â òî÷êå z = 0, îòñ÷èòûâàåìîé âψ − ϕ. Óãîë ìåæäó ýòèìè æå ëó÷àìè (â íàïðàâëåíèè îò l1 ê l2 ) â áåñêîíå÷íîϕ − ψ.Óãîë ìåæäó ëó÷àìè l1:l2 :íàïðàâëåíèè îò l1 ê l2 , ðàâåíóäàëåííîé òî÷êå ðàâåíÈìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå ñîõðàíÿåò óãëû âî âñåõ òî÷êàõ, âêëþ÷àÿïîëþñû è áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ. Êîìïîçèöèÿ êîíôîðìíûõ îòîáðàæåíèé ÿâëÿåòñÿ êîíôîðìíûì îòîáðàæåíèåì;îáðàòíîå ê êîíôîðìíîìó îòîáðàæåíèþ òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîíôîðìíûì. Íàêîíåö, îòìåòèì åùå îäíî ïîëåçíîåñâîéñòâî, íàçûâàåìîå ïðèíöèïîì ñîõðàíåíèÿ ãðàíèö.
ÏóñòüD, Gîãðàíè÷åííûå îäíîñâÿçíûå îáëàñòè,Γ, Γ0 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà,f (z) ìîæíî äîîïðåäåëèòü íà ΓΓ íà Γ0 âçàèìíî îäíîçíà÷íî è ñãðàíèöàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûå çàìêíóòûå êóñî÷íî ãëàäêèå êðèâûååñëè ôóíêöèÿw = f (z)êîíôîðìíî îòîáðàæàåòòàê ÷òî ïîëó÷èòñÿ íåïðåðûâíàÿ âDDíàG,òî ôóíêöèþôóíêöèÿ; ýòà ôóíêöèÿ îòîáðàæàåòñîõðàíåíèåì îðèåíòàöèè. Ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî òàêæå è äëÿ îáëàñòåé ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîéïëîñêîñòè ñ êóñî÷íî ãëàäêèìè ãðàíèöàìè.2. Äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ.Äðîáíî-ëèíåéíîé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ âèäàw=az + b,cz + d71(1)ãäåa, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0.Îãðàíè÷åíèå íà êîýôôèöèåíòû ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðèc=0îáÿçàòåëüíîd 6= 0ad − bc = 0ôóíêöèÿ áóäåò ïîñòîÿííîé.
Ïðèè ôóíêöèÿ (1) èìååò âèäabz+ ,ddw=ò.å. ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé.Äàëåå ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òîäëÿ ñëó÷àÿc = 0c 6= 0. Èçìåíåíèÿ â äîêàçàòåëüñòâàõ (ðåàëüíî óïðîùàþùèå ðàññóæäåíèÿ)âñÿêèé ðàç áóäóò âïîëíå î÷åâèäíû, è, åñòåñòâåííî, ÷òî ñâîéñòâà âåðíûå äëÿ äðîáíî-ëèíåéíûõ ôóíêöèé îáùåãî âèäà áóäóò âåðíû è äëÿ ëèíåéíûõ ôóíêöèé.Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè (1) ïðè c 6= 0 îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíû âñþäó çà èñêëþ÷åíèåì äâóõ îñîáûõ òî÷åêz = −d/c è z = ∞ (ïðè c = 0 ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà äëÿ âñåõ z ∈ C ).
Äîîïðåäåëèì ôóíêöèþ â îñîáûõ òî÷êàõ,ïîëàãàÿ w(−d/c) = ∞, w(∞) = a/c (â ñëó÷àå c = 0 äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü w(∞) = ∞, ïðè ýòîì èç âñåõôóíêöèé âèäà (1) òîëüêî ëèíåéíûå ôóíêöèè áóäóò îòîáðàæàòü áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ òî÷êó â áåñêîíå÷íîóäàëåííóþ òî÷êó). Äîîïðåäåëåííàÿ òàêèì îáðàçîì äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ áóäåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîCè íåïðåðûâíî îòîáðàæàòü âñþ ðàñøèðåííóþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòüëèíåéíîé ôóíêöèè óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî, à ïðèc 6= 0íà ñåáÿ. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿêàæäîìó çíà÷åíèþw 6= a/c, ∞îäíîçíà÷íîñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå àðãóìåíòàz=Ïðè ýòîì òî÷êàìw = a/cèw=∞dw − b.a − cw(2)îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóþò òî÷êèz = −d/cèz = ∞.Íåïðåðûâíîñòüôóíêöèè â òî÷êàõ, íå ÿâëÿþùèõñÿ îñîáûìè, î÷åâèäíà, à â îñîáûõ òî÷êàõ ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííîïî îïðåäåëåíèþlimz→−d/caz + b= ∞,cz + dlimz→∞az + ba= .cz + dcÈç ðàâåíñòâà (2) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ îáðàòíàÿ ê äðîáíî-ëèíåéíîé òàêæå áóäåò äðîáíî-ëèíåéíîé.Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî êîìïîçèöèÿ äâóõ äðîáíî-ëèíåéíûõ ôóíêöèé âíîâü áóäåò äðîáíî-ëèíåéíîé ôóíêöèåé.Äðîáíî-ëèíåéíûå ôóíêöèè îáðàçóþò àññîöèàòèâíóþ ãðóïïó îòîáðàæåíèé ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèíà ñåáÿ, è åäèíèöåé â ýòîé ãðóïïå áóäåò ÿâëÿòüñÿ òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå.Ïðîâåðèòüñâîéñòâî àññîöèàòèâíîñòè è ïîêàçàòü, ÷òî êîìïîçèöèÿ äâóõ äðîáíî-ëèíåéíûõ ôóíêöèéâ îáùåì ñëó÷àå íå îáëàäàåò ñâîéñòâîì êîììóòàòèâíîñòè!Äåëÿ â ðàâåíñòâå (1) ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íàc,ëåãêî âèäåòü, ÷òî äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ òðåìÿ êîìïëåêñíûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿäðîáíî-ëèíåéíîé ôóíêöèè äîñòàòî÷íî çíàòü åå çíà÷åíèÿ â òðåõ ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ.Ïîñêîëüêó äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ ïðèïëîñêîñòè, êðîìå òî÷êèz0 = − dc ,c 6= 0ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé âî âñåõ òî÷êàõ ðàñøèðåííîéÿâëÿþùåéñÿ ïîëþñîì ïåðâîãî ïîðÿäêà, òî êàê ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãîïàðàãðàôà îòîáðàæåíèå îïðåäåëÿåìîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ êîíôîðìíûì îòîáðàæåíèåì C íà ñåáÿ. ( ñëó÷àåc=0ïîëó÷àåòñÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, àíàëèòè÷åñêàÿ âî âñåõ êîíå÷íûõ òî÷êàõ è èìåþùàÿ ïîëþñ ïåðâîãîïîðÿäêà íà áåñêîíå÷íîñòè.) Ñëåäîâàòåëüíî, îòîáðàæåíèå îñóùåñòâëÿåìîå äðîáíî-ëèíåéíîé ôóíêöèåé îáëàäàåòâñåìè îòìå÷åííûìè ðàíåå ñâîéñòâàìè, â ÷àñòíîñòè, ñâîéñòâîì ñîõðàíåíèÿ óãëîâ.
Óñòàíîâèòü ýòî ñâîéñòâîìîæíî è íåïîñðåäñòâåííî. Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåìw0 =c 6= 0.Åñëèz 6= − dc ,òî ïðîèçâîäíàÿad − dc6= 0(cz + d)2è óãëû ìåæäó êðèâûìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç òàêèå òî÷êè, ñîõðàíÿþòñÿ.Ïóñòü êðèâûåγ1 , γ2ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êóz0 = − dc ,óäàëåííóþ òî÷êó è óãîë ìåæäó íèìè ðàâåí óãëó â òî÷êåw→òî èõ îáðàçût=0γ10 , γ20ïðîõîäÿò ÷åðåç áåñêîíå÷íîìåæäó èõ îáðàçàìè ïðè îòîáðàæåíèè1= t.wÑëåäîâàòåëüíî, íóæíî ïðîâåðèòü ñâîéñòâî ñîõðàíåíèÿ óãëîâ äëÿ îòîáðàæåíèÿz→â òî÷êåz0 .cz + daz + bÍåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ýòîãî îòîáðàæåíèÿ â òî÷êåîò íóëÿ, çíà÷èò, óãëû ìåæäó êðèâûìè íå ìåíÿþòñÿ. Åñëè êðèâûåìåæäó íèìè ðàâåí óãëó â òî÷êåζ=0γ1 , γ2ìåæäó èõ îáðàçàìè ïðè îòîáðàæåíèèz→ζ=721.zz0ñóùåñòâóåò è îòëè÷íàïðîõîäÿò ÷åðåçz = ∞,òî óãîëÑëåäîâàòåëüíî, íóæíî ïðîâåðèòü ñâîéñòâî ñîõðàíåíèÿ óãëîâ â òî÷êåζ→ζ=0äëÿ îòîáðàæåíèÿa1 + bbζ + aζ.=1dζ + cc +dζÏîñêîëüêó ïðîèçâîäíàÿ ýòîãî îòîáðàæåíèÿ îòëè÷íà îò íóëÿ ïðèζ = 0,òî âíîâü ïîëó÷àåì ñîõðàíåíèåóãëîâ.Òåîðåìà.òî÷åêÄëÿ ïðîèçâîëüíûõ òðåõ ðàçëè÷íûõ òî÷åêw1 , w2 , w3 ∈ Cz1 , z2 , z3 ∈ Cè ïðîèçâîëüíûõ òðåõ ðàçëè÷íûõñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå äðîáíî-ëèíåéíîå îòîáðàæåíèåL òàêîå, ÷òî L(zk ) = wk , k =1, 2, 3.Äîêàçàòåëüñòâî.Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî îòîáðàæåíèåðàâåíñòâàz → w,êîòîðîå â ÿâíîì âèäå íàõîäèòñÿ èçz − z1 z3 − z2w − w1 w3 − w2·=·,w − w2 w3 − w1z − z2 z3 − z1(3)è ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì.
Äåéñòâèòåëüíî, îíî ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-ëèíåéíûì è ïðåîáðàçóåò òî÷êèzkâ òî÷êèwk .Äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü ýòîãî îòîáðàæåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò äâå äðîáíî-ëèíåéíûåôóíêöèèw = f1 (z),w = f2 (z),òàêèå, ÷òîfj (zk ) = wk ,Òîãäà ôóíêöèÿg(z) = f1−1 (f2 (z))j = 1, 2,ÿâëÿåòñÿ äðîáíî-ëèíåéíîé,g(z) =èg(zk ) = zk .k = 1, 2, 3.Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèåg(z) = z,az + b,cz + dðàâíîñèëüíîå óðàâíåíèþcz 2 + (d − a)z − b = 0èìååò òðè ðàçëè÷íûõ êîðíÿg(z) = f1−1 (f2 (z)) ≡ z,z1 , z2 , z3 , ÷òî ìîæåòf1 (z) ≡ f2 (z).áûòü òîëüêî â ñëó÷àåc = b = 0,a = d.Òàêèì îáðàçîì,è, çíà÷èò,Çàìå÷àíèå. Âûðàæåíèåz − z1 z3 − z1:z − z2 z3 − z2íàçûâàþò àíãàðìîíè÷åñêèì îòíîøåíèåì ÷åòûðåõ òî÷åê. Ðàâåíñòâî (3) îçíà÷àåò èíâàðèàíòíîñòü àíãàðìîíè÷åñêîãîîòíîøåíèÿ ïðè äðîáíî-ëèíåéíîì îòîáðàæåíèè.Çàìå÷àíèå.Êàæäàÿ èç òî÷åêzkèwkâõîäèò â ðàâåíñòâî (3) äâàæäû - â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå.Íåñëîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ðàâåíñòâî ñîõðàíÿåòñÿ è â òîì ñëó÷àå, êîãäà êàêàÿ-ëèáî èç òî÷åêèç òî÷åêwkzk è ñîîòâåòñòâåííîÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî óäàëåííîé: íóæíî òîëüêî ìíîæèòåëè, â êîòîðûõ ïîÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîóäàëåííàÿ òî÷êà çàìåíèòü íà åäèíèöó.
Íàïðèìåð, êîãäàz3 = w1 = ∞,ðàâåíñòâî (3) ïðèíèìàåò âèä1z − z1 1w3 − w2=·· .w − w21z − z2 1Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà îñòàåòñÿ âåðíîé è äëÿ òî÷åê ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.Äðîáíî-ëèíåéíûå ôóíêöèè îáëàäàþò êðóãîâûì ñâîéñòâîì: âñÿêàÿ îêðóæíîñòü èëè ïðÿìàÿ íà êîìïëåêñíîéïëîñêîñòè äðîáíî-ëèíåéíîé ôóíêöèåé îòîáðàæàåòñÿ â îêðóæíîñòü ëèáî â ïðÿìóþ.Äëÿ ëèíåéíûõ ôóíêöèé ýòî ñâîéñòâî î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó òàêèå îòîáðàæåíèÿ ñâîäÿòñÿ êîìïîçèöèèïîäîáèÿ, ïîâîðîòà è ñäâèãà. Åñëèc 6= 0,w=òî ôóíêöèþ (1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåaz + baad − bcB= −=A+cz + dcc(cz + d)z+Cè ïðåäñòàâèòü êàê êîìïîçèöèþ òðåõ îòîáðàæåíèéL1 : z → z + C,Î÷åâèäíî, ÷òî îòîáðàæåíèÿäëÿ îòîáðàæåíèÿL1èL3w = L3 ◦ L2 ◦ L1 (z),L2 : z →1,zãäåL3 : z → A + Bz.îáëàäàþò êðóãîâûì ñâîéñòâîì, îñòàåòñÿ äîêàçàòü ýòî ñâîéñòâîL2 .Óðàâíåíèå ïðîèçâîëüíîé îêðóæíîñòè èëè ïðÿìîé íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ìîæåò áûòü çàïèñàíî ââèäåEzz + F z + F z + G = 0.73Ïðè îòîáðàæåíèèw = 1/zîíî ïðåîáðàçóåòñÿ â óðàâíåíèåE + F w + F w + Gww = 0,êîòîðîå âíîâü ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ëèáî îêðóæíîñòè ëèáî ïðÿìîé.
Ïðè ýòîì âûðîæäåíèÿ â òî÷êó èëèïóñòîå ìíîæåñòâî áûòü íå ìîæåò â ñèëó âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòè îòîáðàæåíèÿ.Òàêèì îáðàçîì ïðîèçâîëüíàÿ äðîáíî-ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îáëàäàåò êðóãîâûì ñâîéñòâîì.Çàìå÷àíèå.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êðèâûå è îêðóæíîñòè, íå ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ïîëþñ äðîáíî-ëèíåéíîéôóíêöèè, ïðåîáðàçóþòñÿ â îêðóæíîñòè, à ïðÿìûå è îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ïîëþñ â ïðÿìûå.Îïðåäåëåíèå.Òî÷êèzèz∗íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòèΓ ⊂ C,åñëèîíè ëåæàò íà îäíîì ëó÷å ñ âåðøèíîé â öåíòðå îêðóæíîñòè è ïðîèçâåäåíèå èõ ðàññòîÿíèé äî öåíòðàîêðóæíîñòè ðàâíî êâàäðàòó ðàäèóñà îêðóæíîñòèÅñëè öåíòð îêðóæíîñòè íàõîäèòñÿ â òî÷êå∗|z − z0 | · |z − z0 | = R2z0Γ.è åå ðàäèóñ ðàâåíR,òîarg(z − z0 ) = arg(z ∗ − z0 ),èz ∗ − z0 =R2.z − z0Íàì áóäåò óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñâîéñòâîì ñèììåòðè÷íûõ òî÷åê:(*) Äëÿ òîãî ÷òîáû òî÷êèzèz∗áûëè ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî îêðóæíîñòèΓ,íåîáõîäèìî èäîñòàòî÷íî, ÷òîáû ëþáàÿ îêðóæíîñòü èëè ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íèõ, áûëà îðòîãîíàëüíà îêðóæíîñòèΓ.z è z ∗ ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî∗2îêðóæíîñòè Γ, òî îíè ëåæàò íà ëó÷å îðòîãîíàëüíîì îêðóæíîñòè Γ è |z − z0 | · |z − z0 | = R .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
