1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ïîëàãàÿ zk = z0 + t1 , ïîëó÷àåìâñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, îòëè÷íàÿ îò ïîñòîÿííîé ôóíêöèÿñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åêlim zk = z0 ,k→∞tk → ∞,÷òîlim f1 (zk − z0 ) = c0 ∈ C,k→∞47klim f2k→∞1zk − z0= ∞,ñëåäîâàòåëüíîlim f (zk ) = ∞.k→∞Òåîðåìà Ñîõîöêîãî Âåéåðøòðàññà. Ïóñòü òî÷êà z0 ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êîé àíàëèòè÷åñêîéôóíêöèèf (z), òîãäà äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ λ ∈ Cñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åêzk → z0 , ÷òîlim f (zk ) = λ.k→∞Äîêàçàòåëüñòâî.Åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åêzk → z0 ,÷òîf (zk ) = λ,òî,î÷åâèäíî,lim f (zk ) = λ.k→∞U̇ ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòüòî÷êèz0 ,â êîòîðîéf (z) 6= λ.ÒîãäàôóíêöèÿH(z) =ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè1f (z) − λU̇ ,à òî÷êàz0äëÿ íåå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííî îñîáîé.Ïî ðàíåå äîêàçàííîìó, ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åêzk → z0 ,÷òî1= ∞,k→∞ f (zk ) − λlim H(zk ) = limk→∞ñëåäîâàòåëüíîlim f (zk ) = λ,k→∞÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ìíîæåñòâîì íåîïðåäåëåííîñòè ôóíêöèèçíà÷åíèé â òî÷êåz0 .f (z) â òî÷êå z0 íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü âñåõ åå ïðåäåëüíûõf (z) â óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êå ñîñòîèò èçÌíîæåñòâî íåîïðåäåëåííîñòè ôóíêöèèîäíîé êîíå÷íîé òî÷êèλ ∈ C,â ïîëþñå èç îäíîé áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè, à â ñóùåñòâåííî îñîáîéòî÷êå ìíîæåñòâî íåîïðåäåëåííîñòè ôóíêöèè ñîâïàäàåò ñî âñåé ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþC.11.
Öåëûå è ìåðîìîðôíûå ôóíêöèè.Îïðåäåëåíèå.Öåëîé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, àíàëèòè÷åñêàÿ âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèC,ò.å. íåèìåþùàÿ êîíå÷íûõ îñîáûõ òî÷åê.Òî÷êàz = ∞ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé èçîëèðîâàííîé òî÷êîé öåëîé ôóíêöèèf (z). Åñëè áåñêîíå÷íîf (z) ≡ const. Åñëèóäàëåííàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìîé, òî ïî òåîðåìå Ëèóâèëëÿ öåëàÿ ôóíêöèÿm, òî ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà â îêðåñòíîñòèz = ∞ ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè m : Pm (z) = c1 z + . .
. + cm z m , cm 6= 0. Ôóíêöèÿ h(z) =f (z) − Pm (z) ÿâëÿåòñÿ öåëîé, à áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà äëÿ íåå ÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìîé, ñëåäîâàòåëüíîh(z) = f (z) − Pm (z) ≡ c0 = const. Òàêèì îáðàçîì ôóíêöèÿ f (z) ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè m.áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì ïîðÿäêàòî÷êèÖåëûå ôóíêöèè, äëÿ êîòîðûõ áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííî îñîáîé, íàçûâàþòñÿöåëûìè òðàíñöåíäåíòíûìè ôóíêöèÿìè (òàêîâû, ê ïðèìåðó, ôóíêöèèez , sin z, cos z, . . .).Îïðåäåëåíèå.
Ôóíêöèÿ, àíàëèòè÷åñêàÿ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè C âñþäó, êðîìå ïîëþñîâ, íàçûâàåòñÿìåðîìîðôíîé.Ñòàíäàðòíûì ïðèìåðîì ìåðîìîðôíûõ ôóíêöèé ÿâëÿþòñÿ ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè:R(z) =Pn (z).Qm (z)Âçàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ñòåïåíåé ìíîãî÷ëåíîâ, ñòîÿùèõ â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå ðàöèîíàëüíîéôóíêöèè, áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà äëÿ ôóíêöèèR(z)áóäåò ëèáî óñòðàíèìîé òî÷êîé ëèáî ïîëþñîì.Âåðíî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà.Åñëè äëÿ ìåðîìîðôíîé ôóíêöèèòî÷êîé èëè ïîëþñîì, òî ôóíêöèÿÄîêàçàòåëüñòâî.ôóíêöèèf (z),f (z)f (z)áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìîéÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíîé.Ïîñêîëüêó áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êîéòî âñå îñòàëüíûå ïîëþñû ëåæàò â íåêîòîðîì êðóãåïîëþñîâ ôóíêöèèf (z) êîíå÷íî,íåèçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êîé ôóíêöèèÎáîçíà÷èì ÷åðåça1 , .
. . , aNB(0, R), R < ∞.Ñëåäîâàòåëüíî ÷èñëîò.ê. èíà÷å ñóùåñòâîâàëà áû ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ïîëþñîâ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿf (z),à íå ïîëþñîì.ïîëþñû ôóíêöèèf (z) â êîíå÷íûõ òî÷êàõ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè C, ÷åðåç(k)(k)gk (z) =c−mkc−1+ ... +z − ak(z − ak )mk48ãëàâíóþ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà ôóíêöèèf (z)â îêðåñòíîñòè ïîëþñàak ,à ÷åðåçP (z) = c1 z + . . . + cm z mãëàâíóþ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà ôóíêöèèÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êîé, òîf (z) â îêðåñòíîñòèP (z) = 0).áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè (åñëèz = ∞Ôóíêöèÿh(z) = f (z) − P (z) −NXgk (z)k=1ÿâëÿåòñÿ öåëîé, áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà äëÿ íåå ÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìîé, ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèÿîãðàíè÷åíà è ïî òåîðåìå Ëèóâèëëÿ ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé, ò.å.h(z)h(z) ≡ c0 .Òàêèì îáðàçîì ôóíêöèÿf (z) = c0 + P (z) +NXgk (z)(1)k=1ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíîé.Çàìå÷àíèå. Èç ôîðìóëû (1) ñëåäóåò âîçìîæíîñòü ðàçëîæåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèèíà öåëóþ ÷àñòü è ïðîñòåéøèå äðîáè.49ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÂÛ×ÅÒÎÂ1.
Âû÷åò àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè â èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êå.Ïóñòüf (z)z0 ∈ Cf (z), ò.å. ñóùåñòâóåò òàêîå r > 0, ÷òî ôóíêöèÿK : 0 < |z − z0 | < R, è ïðåäñòàâëÿþòñÿ â íåì ñâîèì ðÿäîì Ëîðàíà èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà ôóíêöèèÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â êîëüöå∞Xf (z) =cn (z − z0 )n .n=−∞Äàäèì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå.c−1Âû÷åòîì ôóíêöèèðÿäà Ëîðàíà ôóíêöèèf (z)f (z)â èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êåâ îêðåñòíîñòè òî÷êèz0 .z0íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòÎáîçíà÷àåòñÿ âû÷åò òàêRes f (z) = c−1 .z=z0Âñïîìèíàÿ ôîðìóëû äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà Ëîðàíà, âèäèì, ÷òîRes =z=z0Z12πif (z)dz,|z−z0 |=rr < R, è îêðóæíîñòü |z−z0 | = r îðèåíòèðîâàíà â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè. Èç îïðåäåëåíèÿ âû÷åòàãäåâèäíî, ÷òî ýòî ïîíÿòèå äîëæíî áûòü ñâÿçàíî ñ âû÷èñëåíèåì èíòåãðàëà.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðîñòîéïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûé êîíòóðγ ⊂ Kñîäåðæèò âíóòðè ñåáÿ òî÷êóz0 ,òî, êàê ýòî ñëåäóåò èçèíòåãðàëüíîé òåîðåìû Êîøè,ZZf (z)dz = 2πi Res f (z).f (z)dz =γz=z0|z−z0 |=rÈìååò ìåñòî áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèåÒåîðåìà 1. (Îñíîâíàÿ òåîðåìà òåîðèè âû÷åòîâ.) Ïóñòü D ⊂ C îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåéâDΓ, îðèåíòèðîâàííîé â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè. Ôóíêöèÿ f (z) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîéD, çà èñêëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà îñîáûõ òî÷åê z1 , z2 , . .
. , zn , ëåæàùèõè àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòèâ îáëàñòèD.ÒîãäàZf (z)dz = 2πinXk=1ΓRes f (z).z=zkÄîêàçàòåëüñòâî.Âûáåðåì äîñòàòî÷íî ìàëîå r > 0 òàê, ÷òîáû çàìêíóòûå êðóãè Bk : |z − zk | ≤ rD è íå ïåðåñåêàëèñü ìåæäó ñîáîé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ck+ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííóþ|z − zk | = r, à ÷åðåç Ck− - òó æå îêðóæíîñòü, îðèåíòèðîâàííóþ îòðèöàòåëüíî. Ôóíêöèÿ f (z)ëåæàëè â îáëàñòèîêðóæíîñòüÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòèD∗ = D \n[Bkk=1è íåïðåðûâíîé â åå çàìûêàíèè.
Ñîãëàñíî èíòåãðàëüíîé òåîðåìå Êîøè èíòåãðàë ôóíêöèèãðàíèöå îáëàñòèD∗f (z) ïî îðèåíòèðîâàííîéðàâåí íóëþ, ò.å.ZZf (z)dz =∂D ∗ÑëåäîâàòåëüíîZf (z)dz =Γf (z)dz +f (z)dz = 0.k=1 −CkΓn ZXn ZXf (z)dz = 2πik=1 +CknXk=1Res f (z).z=zkÇàìå÷àíèå. Äîêàçàííàÿ òåîðåìà ñïðàâåäëèâà äëÿ âñåõ îáëàñòåé, äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâà èíòåãðàëüíàÿòåîðåìà Êîøè.  ñëó÷àå, åñëè îáëàñòü ñîäåðæèò ðàçðåçû, òî óñëîâèå íåïðåðûâíîñòèf (z)âDçàìåíÿåòñÿóñëîâèåì íåïðåðûâíîñòè âïëîòü äî ãðàíèöû.Òåîðåìà 1 èìååò äîâîëüíî ìíîãî ðàçëè÷íûõ ïðèëîæåíèé ïîñêîëüêó ïîçâîëÿåò ñâåñòè âû÷èñëåíèåèíòåãðàëà ê ê ñóùåñòâåííî áîëåå ïðîñòîé ïðîöåäóðå íàõîæäåíèÿ âû÷åòîâ.50Ïóñòü áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êàñóùåñòâóåò òàêîåR0 < ∞,z = ∞ ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êîé ôóíêöèè f (z), ò.å.f (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ïðè |z| > R0 , è ïðåäñòàâëÿåòñÿ÷òî ôóíêöèÿðÿäîì Ëîðàíàf (z) =∞Xcn z n .n=−∞Îïðåäåëåíèå.
Âû÷åòîì ôóíêöèè f (z) â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå z = ∞ íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíàRes f (z) = −c−n .z=∞Î÷åâèäíî,Res f (z) = −z=∞Z12πif (z)dz,R > R0 ,|z|=Rãäå îêðóæíîñòü|z| = Rîðèåíòèðîâàíà ïîëîæèòåëüíî.Ïðè ýòîì ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äàæå â ñëó÷àå, êîãäà áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìîéîñîáîé òî÷êîé, âû÷åò â íåé ìîæåò áûòü îòëè÷åí îò íóëÿ.  êà÷åñòâå ïðîñòåéøåãî ïðèìåðà ìîæíî ðàññìîòðåòüôóíêöèþf (z) = z1 ,äëÿ êîòîðîéz=∞ÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êîé, íîÒåîðåìà 2. (Òåîðåìà î ñóììå âû÷åòîâ.)êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèC,Ïóñòü ôóíêöèÿf (z)Res f (z) = −1.z=∞ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé âî âñåéçà èñêëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà îñîáûõ òî÷åê, òîãäà ñóììà âû÷åòîâ âî âñåõîñîáûõ òî÷êàõ (âêëþ÷àÿ âû÷åò â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå) ðàâíà íóëþ.Äîêàçàòåëüñòâî.òî÷êèz1 , z2 , .
. . , znÂûáåðåì äîñòàòî÷íî áîëüøîå çíà÷åíèåëåæàëè â êðóãånXk=1|z| < R.R < ∞òàê, ÷òîáû âñå êîíå÷íûå îñîáûåÒîãäàZ1Res f (z) + Res f (z) =z=zkz=∞2πi1f (z)dz +2πiZf (z)dz = 0.−CR+CR ñëó÷àå, êîãäà êîíå÷íûõ èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ òî÷åê äîñòàòî÷íî ìíîãî, âìåñòî âû÷èñëåíèÿ ñóììûâû÷åòîâ âî âñåõ êîíå÷íûõ îñîáûõ òî÷êàõ ÷àñòî áûâàåò ïðîùå íàéòè âû÷åò â îäíîé åäèíñòâåííîé áåñêîíå÷íîóäàëåííîé òî÷êå.Òåîðåìà 3.
(Òåîðåìà î âû÷åòàõ äëÿ îáëàñòåé, ñîäåðæàùèõ îêðåñòíîñòü áåñêîíå÷íî óäàëåííîéòî÷êè.) Ïóñòü îáëàñòü D ñîäåðæèò îêðåñòíîñòü áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè è åå ãðàíèöà ñîñòîèò èçêîíå÷íîãî ÷èñëà ïðîñòûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ çàìêíóòûõ êðèâûõ. Åñëè ôóíêöèÿèñêëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà èçîëèðîâàííûõ îñîáûõ òî÷åêZf (z)dz =k=1ΓÇäåñümXz1 , ..., zm ,f (z)àíàëèòè÷íà âDçàòîRes f (z) + Res f (z).z=zkz=∞Γ - ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííàÿ ãðàíèöà îáëàñòè D. (Íàïîìíèì, ÷òî ïîëîæèòåëüíàÿ îðèåíòàöèÿãðàíèöû îáëàñòè îçíà÷àåò òàêîå íàïðàâëåíèå îáõîäà, ïðè êîòîðîì îáëàñòü îñòàåòñÿ ñëåâà.)Äîêàçàòåëüñòâî.
Âûáåðåì ÷èñëî R > 0 òàê, ÷òîáû êðóã |z| < R ñîäåðæàë âñå îñîáûå òî÷êè ôóíêöèèf (z)è ãðàíèöó îáëàñòèD.Ïî òåîðåìå 1ZZf (z)dz +− Res f (z),z=∞mXk=1Γ|z|=RÒàê êàê ïåðâûé èíòåãðàë ðàâåíf (z)dz =Res f (z).z=zkòî ïîëó÷àåì òðåáóåìóþ ôîðìóëó.Ðàññìîòðèì âîïðîñ î âû÷èñëåíèè âû÷åòîâ. Ïðåæäå âñåãî, èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî âû÷åò â óñòðàíèìîéîñîáîé òî÷êå ðàâåí íóëþ.
Äîâîëüíî ïðîñòî íàõîäèòñÿ âû÷åò è â ïîëþñå ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà. Ïóñòüòî÷êàz0 ∈ Cÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì ïîðÿäêàmôóíêöèèf (z),òîãäà â îêðåñòíîñòè òî÷êèz0∞f (z) =Xc−1c−m+cn (z − z0 )n ,m + ... +(z − z0 )z − z0 n=0è íåñëîæíî âèäåòü, ÷òîc−1 = limz→z01dm−1[f (z)(z − z0 )m .](m − 1)! dz m−151(1)Åñëè òî÷êàz0 ∈ Cf (z) =ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ïîëþñîì èRes f (z) =z=z0ϕ(z),ψ(z)ãäåϕ(z0 ) 6= 0, ψ(z0 ) = 0,àψ 0 (z0 ) 6= 0,òîϕ(z0 ).ψ 0 (z0 )Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî ôîðìóëå (1)c−1 = lim f (z) (z − z0 ) = limz→z0z→z0ϕ(z) (z − z0 )ϕ(z0 )= 0.ψ(z) − ψ(z0 )ψ (z0 )Äëÿ îòûñêàíèÿ âû÷åòà â ïîëþñå ìîæíî òàêæå âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ.Ïîÿñíèì ýòî ïðèìåðîì.Ïðèìåð 1.Íàéäåì âû÷åò ôóíêöèèf (z) =ïîðÿäêà, òîf (z) =cos zz 3 (ez + 1)z = 0.â òî÷êåÒàê êàêz=0- ïîëþñ òðåòüåãîc−2c−1c−3+ 2 ++ ....z3zzÏåðåïèøåì ýòî ðàâåíñòâî òàê:z2z22+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
