1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Êðîìå òîãî,0 < R < ∞, òàêîå, ÷òî |ζ − z|, |ζ − z − h| < R äëÿ ëþáîãî ζ ∈ Γ. Ââåäåì, äëÿ êðàòêîñòè,t = ζ − z è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîéíàéäåòñÿam − bm = (a − b)(am=1 + am−2 b + ...bm−1 ),m - íàòóðàëüíîå.Ïðîäåëàåì íåñëîæíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ: g(z + H) − g(z) (n + 1)! Zf (ζ)dζ −=h2πi(ζ − z)n+2ΓZn! t(tn + tn−1 (t − h) + ... + (t − h)n+1f(ζ)dζ≤n+2n−12πt(t − h)ΓM n!2πZn+1|tn+1− (t − h)| + |tn (t − h) − (t − h)n+1 | + ... + |t(t − h)n − (t − h)n+1 ||dζ| = J,|t|n+2 |t − h|n−1ΓãäåM = max |f (ζ)|.Äëÿk = 0, 1, ..., nïîëó÷àåì|tn+1−k (t − h)k − (t − h)n+1| = |t − h|k |tn+1−k − (t − h)n+1−k | =30R,îáîçíà÷åíèå|t − h|k |h||Pk (t, t − h)| ≤ |h|Ck Rn ,1 ≤ 1,1≤ 1 , òî2δ |t − h|δ|t|M ln!CRnJ ≤ n+1 2n+3 |h|,2δC > 0 - ïîñòîÿííàÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, J → 0 ïðè h → 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü.
×òîáû ëó÷øå ïîíÿòü ïðîâåäåííûåâûêëàäêè, ïîëåçíî ïîäðîáíî âîñïðîèçâåñòè èõ äëÿ n = 1, n = 2.ãäåCk- ïîñòîÿííàÿ. À ò.ê.Äèôôåðåíöèðóåìîñòü èíòåãðàëîâ òèïà Êîøè ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü âàæíîå ñëåäñòâèå: àíàëèòè÷åñêàÿ âîáëàñòèDôóíêöèÿf (z)ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé â êàæäîé òî÷êå îáëàñòèz0Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü òî÷êàB(z0 , r)ôóíêöèÿf (z) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà îáëàñòèDèr < dist(z0 , ∂D).D.Òîãäà â êðóãåïðåäñòàâèìà èíòåãðàëîì Êîøèf (z) =Z12πif (ζ) dζζ −z|ζ−z0 |=rè, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìîé.Ïðèìåð.Âû÷èñëèì èíòåãðàëeζ dζ=J(ζ + i)2 (ζ − 2i)Z|ζ+1|=1zez−2i äèôôåðåíöèðóåìà â êðóãåïî äîêàçàííîé òåîðåìåÔóíêöèÿf (z) =J = 2πif 0 (−i) =|z + i| < 1è íåïðåðûâíà íà åãî ãðàíèöå.
Ñëåäîâàòåëüíî,2π −i2π e (−3 + i) =(sin 1 − 3 cos 1) + i(3 sin 1 + cos 1) .995. Ïåðâîîáðàçíàÿ. Òåîðåìà Ìîðåðû.Îïðåäåëåíèå (ïåðâîîáðàçíîé).F (z)f (z) - ôóíêöèÿ â îáëàñòè D. Àíàëèòè÷åñêàÿf (z), åñëè â D âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîÏóñòüíàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèèâDôóíêöèÿF 0 (z) = f (z)Òåîðåìà 1.(Î ñóùåñòâîâàíèè ïåðâîîáðàçíîé)îáëàñòèD,òî âDÄîêàçàòåëüñòâî.ãëàäêîé êðèâîéÅñëè ôóíêöèÿf (z)ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé âñóùåñòâóåò åå ïåðâîîáðàçíàÿ.γ⊂DÏóñòüz0D.- ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êàÄëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êèz ∈ Dè êóñî÷íî-èíòåãðàëZf (z)dzγíå çàâèñèò îòγ(ñëåäñòâèå èíòåãðàëüíîé òåîðåìû Êîøè), ïîýòîìó îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿZzF (z) =f (ζ)dζ,z0ãäå èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî ëþáîé êðèâîé, ñîåäèíÿþùåéz0 , z .Ïîêàæåì, ÷òîF 0 (z) = f (z)èëè, ÷òî òî æåñàìîå,F (z + h) − F (z)− f (z) → 0, h → 0h.
Âû÷èñëÿÿ ðàçíîñòü F (z+h)−F (z), ìîæíî â êà÷åñòâå ïóòè, ñîåäèíÿþùåãî z è z+h, âçÿòü ïðÿìîëèíåéíûéîòðåçîê ζ = z + th,t ∈ [0, 1]. Òîãäà 1 Z Z1 Z1 F (z + h) − F (z) 1 − f (z) = f (z + th)hdt − f (z) = (f (z + th) − f (z))dt ≤ |(f (z + th) − f (z))|dt.hh 00310Òàê êàêf (z) íåïðåðûâíà, òî äëÿ çàäàííîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 ÷òî|f (z + th) − f (z)| < ε, çíà÷èò, ïðè òàêèõ h F (z + h) − F (z)− f (z) < ε,hïðè|h| < δ,t ∈ [0, 1]ñïðàâåäëèâîíåðàâåíñòâî÷òî è òðåáîâàëîñü.Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ôóíêöèÿ f (z) íåïðåðûâíà â ïðîèçâîëüíîé îáëàñòè Dè èíòåãðàëZzf (ζ)dζz0f (z).f (z) è îäíîñâÿçíîñòü D òðåáîâàëèñüòîëüêî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè F, à äàëüøå èñïîëüçîâàëàñü ëèøü íåïðåðûâíîñòü f (z).
Ïîýòîìó ôóíêöèÿíå çàâèñèò îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ, òî âÄîêàçàòåëüñòâî.Dñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû àíàëèòè÷íîñòüZzf (ζ)dζF (z) =z0ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé.Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ôîðìóëà (1) îïðåäåëÿåò îäíó èç ïåðâîîáðàçíûõ ôóíêöèèâèä ïåðâîîáðàçíûõ. Ïóñòüÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé èΦ0 (z) = f (z) è Φ(z) − F (z) = H(z) = u(x, y) + iv(x, y).H 0 (z) ≡ 0.
Òàêèì îáðàçîìf (z). Íàéäåì îáùèéH(z)Òîãäà ôóíêöèÿ∂u∂v∂v∂u≡≡≡≡ 0,∂x∂y∂x∂yò.å.H(z) ≡ C,ãäåC íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ. ÑëåäîâàòåëüíîZzΦ(z) = F (z) + C =f (ζ) d ζ + C.z0Ñëåäñòâèå 2.  óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 èëè ñëåäñòâèÿ 1 ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Íüþòîíà-ËåéáíèöàZzf (ζ)dζ = Φ(z) − Φ(z0 ),z0ãäåΦ(z)- ïðîèçâîëüíàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèèÄîêàçàòåëüñòâî.
Òàê êàê Φ(z) = C +Rzf (z).f (ζ)dζ,òî, ïîëàãàÿz = z0 ,ïîëó÷èìC = Φz0 .z0Ñëåäñòâèå 3. Åñëè ôóíêöèè f (z), g(z) àíàëèòè÷íû â D, òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî÷àñòÿì:ZzZz0f (ζ)g (ζ)dζ = f (z)g(z) − f (z0 )g(z0 ) −z00g(ζ)f 0 (ζ)dζ.z0Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê ôóíêöèÿ f (z)g(z) ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè f (z)g 0 (z)+f (z)g(z),òî äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäñòâèåì 2.Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì ê èíòåãðàëüíîé òåîðåìå Êîøè.Òåîðåìà Ìîðåðû.f (z) íåïðåðûâíà â îäíîñâÿçíîéγ⊂DZf (z) d z = 0,Åñëè ôóíêöèÿçàìêíóòîãî êóñî÷íî-ãëàäêîãî êîíòóðàîáëàñòèD ⊂ Cè âäîëü ëþáîãîγòî ôóíêöèÿf (z)ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòèD.Äîêàçàòåëüñòâî.
Èç óñëîâèé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàë ôóíêöèè f (z) íå çàâèñèò îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ.Ñîãëàñíî òåîðåìå 1 ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿf (z),òî ôóíêöèÿf (z),F (z) áóäåò àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòè D. Ïîñêîëüêó F 0 (z) =êàê ïðîèçâîäíàÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè, â ñâîþ î÷åðåäü áóäåò àíàëèòè÷åñêîé.32ÐßÄÛ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ1.
Òåîðåìû Âåéåðøòðàññà.Ïåðâàÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà. Ïóñòü ôóíêöèè fn (z) ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè â îáëàñòè D ⊂ C∞Pfn (z) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà âñÿêîì êîìïàêòíîì ïîäìíîæåñòâå K ⊂ D ê ôóíêöèè f (z). Òîãäàn=0ôóíêöèÿ f (z) àíàëèòè÷åñêàÿ â îáëàñòè D, ðÿä ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü ëþáîå ÷èñëî ðàç,è ðÿäò.å.f (k) (z) =∞Xfn(k) (z)n=0è ðÿä èç ïðîèçâîäíûõ ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà âñÿêîì êîìïàêòíîì ïîäìíîæåñòâåÄîêàçàòåëüñòâî.â îáëàñòèD,Ïóñòüz0 ∈ D, d = dist(z0 , ∂D).ÏðèK ⊂ D.0 < r < d çàìêíóòûé êðóã B(z0 , r) ëåæèòB(z0 , r) è, ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ f (z)ñîãëàñíî óñëîâèþ ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íàáóäåò íåïðåðûâíîé â êðóãåB(z0 , r),êàê ñóììà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà èç íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé.Ðàññìàòðèâàÿ ïðîèçâîëüíûé êóñî÷íî-ãëàäêèé çàìêíóòûé êîíòóðγ ⊂ B(z0 , r),èñïîëüçóÿ âîçìîæíîñòüïî÷ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà è ïðèìåíÿÿ ê àíàëèòè÷åñêèì ôóíêöèÿìfn (z)èíòåãðàëüíóþ òåîðåìó Êîøè, ïîëó÷àåìZ X∞Zf (z)dz =γfn (z)dz =n=0γ∞ ZXfn (z)dz = 0.n=0 γf (z) íåïðåðûâíà è åå èíòåãðàë ïî ëþáîìó çàìêíóòîìó êîíòóðó γ ⊂ B(z0 , r) ðàâåíf (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â êðóãå B(z0 , r).
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòèâûáîðà òî÷êè z0 ôóíêöèÿ f (z) áóäåò àíàëèòè÷åñêîé è âî âñåé îáëàñòè D.Çàìåòèì, ÷òî êàæäîãî z ∈ B(z0 , r) ïðè ëþáûõ ζ,|ζ − z0 | = r è ëþáîì íàòóðàëüíîì k âûïîëíÿåòñÿ1íåðàâåíñòâî≤CñêîíñòàíòîéC,íåçàâèñÿùåéîò ζ. Ïîýòîìó íà îêðóæíîñòè |ζ − z0 | = r ðÿäkk(ζ − z)k+1∞P1fn (ζ) ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî. Èñïîëüçóÿ èíòåãðàëüíóþ ôîðìóëó Êîøè è âîçìîæíîñòük+1(ζ − z)n=0ïî÷ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà, äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè z ∈ B(z0 , r) ïîëó÷àåìÏîñêîëüêó ôóíêöèÿíóëþ, òî ïî òåîðåìå Ìîðåðû ôóíêöèÿ∞Xf(k)Zk!(z) =2πiZf (t)dtk!=2πi(t − z)k+1Crfn (t)n=0(t − z)k+1dt =CrZ∞∞XXk!fn (t)dt=fn(k) (z),k+12πi(t−z)n=0n=0CrãäåCr îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êåz0r,ðàäèóñàîðèåíòèðîâàííàÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè.Îñòàëîñü ïîêàçàòü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà èç ïðîèçâîäíûõ.
Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå∞Pfn (z) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îêðóæíîñòèn=0òàêîé íîìåð n0 , ÷òî ïðè n > n0 äëÿ ëþáîãî t ∈ CrÒàê êàê ðÿäCr ,ε > 0.òî ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè ñóùåñòâóåò∞Xfm (t) < ε.m=nÏóñòüz ∈ B(z0 , r/2),òîãäà|t − z| > r/2Ñëåäîâàòåëüíî∞Xk!(k)fm(t) ≤2πm=näëÿ ëþáîãî∞Xf(t)nZm=nk+1|t − z||dt| ≤k! ε 2π r 2k+1= M ε,2πrk+1Crò.å.
ðÿä èç ïðîèçâîäíûõ ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â êðóãåB(z0 , r/2).z ∈B(z, rz ), â êîòîðîì ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî. Êðóãè B(z, rz ) îáðàçóþò îòêðûòîåïîêðûòèå êîìïàêòà K è èç íåãî ìîæíî âûáðàòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå êðóãàìè, íà êîòîðûõ ðÿä ñõîäèòñÿðàâíîìåðíî, à ñëåäîâàòåëüíî ðÿä èç ïðîèçâîäíûõ ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî è íà âñåì êîìïàêòå K.ÏóñòüKK ⊂ Dt ∈ Cr . ïðîèçâîëüíîå êîìïàêòíîå ïîäìíîæåñòâî.
Ïî äîêàçàííîìó, äëÿ âñÿêîé òî÷êèñóùåñòâóåò êðóã33Çàìå÷àíèå.Òàêîé ïðîñòîé òåîðåìû î äèôôåðåíöèðóåìîñòè ñóììû ðÿäà â äåéñòâèòåëüíîì àíàëèçåíåò. Íà äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä èç ãëàäêèõ ôóíêöèé, âîîáùå ãîâîðÿ, íåëüçÿïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü, äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ áîëåå æåñòêîå óñëîâèå äîëæåí ðàâíîìåðíî ñõîäèòüñÿðÿä èç ïðîèçâîäíûõ. Ñ àíàëèòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ñèòóàöèÿ ñóùåñòâåííî èíàÿ, è ýòî ðàçëè÷èå îáúÿñíÿåòñÿòåì, ÷òî, èñïîëüçóÿ èíòåãðàëüíóþ òåîðåìó Êîøè, ìû ìîæåì ñâåñòè äèôôåðåíöèðîâàíèå ê èíòåãðèðîâàíèþ.2.
Ñòåïåííûå ðÿäû.Ñòåïåííûì ðÿäîì íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä âèäàt = z − z0cn (z−z0 )n , ãäå êîýôôèöèåíòû cn ÿâëÿþòñÿn=0êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.Çàìåíîé∞P∞Pñòåïåííîé ðÿä ñâîäèòñÿ ê âèäócn tn ,ïîýòîìó äàëåå ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òîn=0z0 = 0,ò.å. ðàññìàòðèâàòü ðÿäû âèäà∞Xcn z n .(1)n=0Òåîðåìà 1. (Ïåðâàÿ òåîðåìà Àáåëÿ.)êðóãå|z| < |z∗ |Äîêàçàòåëüñòâî.|cn z∗n | ≤ M.Åñëè ðÿä (1) ñõîäèòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êåîí ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è â ëþáîì êðóãåÏóñòüÈç ñõîäèìîñòè ðÿäà|z| < α|z∗ |,0 < α < 1,∞Pcn z∗n|z| < α|z∗ |,0<α<1z∗ ,|z∗ | > 0,òî âñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî.ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò êîíñòàíòàM > 0,òàêàÿ ÷òîn=0òîãäà nz|cn | = |cn z∗n | ≤ M αn .z∗Òàêèì îáðàçîì, ðÿä (1) ìàæîðèðóåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé ïî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññàñõîäèòñÿ â êðóãå|z| ≤ α|z∗ |àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî. Òàê êàêαìîæíî âçÿòü ñêîëü óãîäíî áëèçêèì êåäèíèöå, òî òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå.
Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ðÿä (1) ðàñõîäèòñÿ ïðè íåêîòîðîì z ∗ , òî îí ðàñõîäèòñÿ ïðè ëþáîì z,òàêîì, ÷òî|z| > |z ∗ |.R ∈ [0, +∞], íàçûâàåìîå|z| < R íàçûâàåìîì êðóãîì ñõîäèìîñòè è ðàñõîäèòñÿ ïðèòî÷êå z = 0, ïðè R = +∞ ðÿä ñõîäèòñÿ âî âñåé êîìïëåêñíîéÈç òåîðåìû Àáåëÿ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ñòåïåííîãî ðÿäà ñóùåñòâóåò òàêîåðàäèóñîì ñõîäèìîñòè, ÷òî ðÿä ñõîäèòñÿ â êðóãå|z| > R(ïðèR=0ðÿä ñõîäèòñÿ òîëüêî âïëîñêîñòè).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
