1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Ýòî ïðèðàùåíèå ðàâíî∆γ arg 1−z1+z = ∆γ arg(1 − z) − ∆γ arg(1 + z). Åñëè γ íå îáõîäèò âîêðóã òî÷åê ±1, òî ïðèðàùåíèå àðãóìåíòîâ1 ± z ðàâíî 0; åñëè îáõîäèò âîêðóã îäíîé èç íèõ, òî îáõîäèò è âîêðóã äðóãîé è ïðèðàùåíèÿ àðãóìåíòîâ1 ± z ðàâíû 2π . Èòàê â ëþáîì ñëó÷àå ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà 1−z1+z = 0, è, çíà÷èò, â îáëàñòè U̇ ìîæíî1−z1−zâûäåëèòü îäíîçíà÷íóþ âåòâü ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèè f1 (z) : hz = ln |1+z | + i(ϕ0 + ∆γ arg 1+z ), ãäå γ 1−z0−iïðîèçâîëüíàÿ êðèâàÿ, ëåæàùàÿ â U̇ è ñîåäèíÿþùàÿ z0 è z.
Ïóñòü, íàïðèìåð, z0 = 1 + i,1+z0 = 2+i èãäåR > 4.òî÷êèÇàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ òî÷êó22ϕ0 = − π2 − α, α = arctan 12 . Ïîñìîòðèì, êàêèå çíà÷åíèÿ ïðè âåùåñòâåííûõ z = x > 1 ïðèíèìàåò âåòâüx−1h(z) : ∆γ arg(1 − z) = − π2 , ∆γ arg(1 + z) = −α, çíà÷èò arg 1−x1+x = −π è h(x) = ln x+1 − iπ.b)  êà÷åñòâå êîíòóðà γ âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ îêðóæíîñòü |z| = R, ãäå R > 2. Ïðè ïîëíîì îáõîäåòî÷êîé z êîíòóðà γ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè ïðèðàùåíèÿ àðãóìåíòà âñåõ òðåõ ôóíêöèé g1 (z) = 1 −z, g2 (z) = 1 + z, g3 (z) = 2 + z áóäóò ðàâíû 2π. Ñëåäîâàòåëüíî ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà ôóíêöèè t =1−záóäåò ðàâíî −2π.(1 + z)(2 + z) ïðîèçâîëüíîé òî÷êå z ∈ γ ôóíêöèÿ f2 (z) ïðèíèìàåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèéwk (z) == ln1−z1−z+ 2πk), k = 0, ±1, ±2, .
. . + i(arg(1 + z)(2 + z)(1 + z)(2 + z)Åñëè â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ âåòâüìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèèf2 (z),òî ïðè îáõîäå ïðîèçâîëüíîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà çíà÷åíèå ôóíêöèèh(z)h(z)h(z) äîëæíîh(z) äîëæíî ñîâïàäàòü ñ îäíèì èççíà÷åíèé wk (a). Èçìåíÿÿñü íåïðåðûâíûì îáðàçîì ïðè îáõîäå êîíòóðà γ çíà÷åíèå ôóíêöèè h(z) â êîíå÷íîéòî÷êå îáõîäà b, ñîâïàäàþùåé ñ òî÷êîé a, äîëæíî áûòü ðàâíî1−a1−a+ 2πk − 2π) = wk (a) − 2πi.wk (b) = ln + i(arg(1 + a)(2 + a)(1 + a)(2 + a)äîëæíî ìåíÿòüñÿ íåïðåðûâíûì îáðàçîì, è ïðè ïîëíîì îáõîäå êîíòóðà ïðèðàùåíèå ôóíêöèèáûòü ðàâíûì íóëþ.  ôèêñèðîâàííîé òî÷êåò.å.
ïðèðàùåíèå ôóíêöèèh(z)çíà÷åíèå ôóíêöèèïðè ïîëíîì îáõîäå êîíòóðàÝòî îçíà÷àåò, ÷òî â îêðåñòíîñòè òî÷êèìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèèa∈γz0 = ∞γîòëè÷íî îò íóëÿ.íåëüçÿ âûäåëèòü îäíîçíà÷íóþ àíàëèòè÷åñêóþ âåòâüf2 (z).23ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÉ ÊÎÌÏËÅÊÑÍÎÃÎÏÅÐÅÌÅÍÍÎÃÎ1. Ïîíÿòèå èíòåãðàëà.γ ⊂ C îðèåíòèðîâàííàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ, z = z(t) åå êóñî÷íî-ãëàäêàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ,z(t) : [a, b] ⊂ R → γ ⊂ C, z 0 (t) 6= 0.Îïðåäåëåíèå. Èíòåãðàë îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f : γ → C âäîëü êðèâîé γ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîìÏóñòüò.å.
êóñî÷íî-ãëàäêîå îòîáðàæåíèåZbZf (z) dz =γf (z(t))z 0 (t) dt,(1)aâ êîòîðîì ïðàâàÿ ÷àñòü ïîíèìàåòñÿ êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ èíòåãðàëîâ îò äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé÷àñòåé. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå (â ñëó÷àå ãëàäêèõ êðèâûõ) ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó:∞XZf (z)d z = limf (ζk )(zk − zk−1 ).l→1 k=1γÇäåñü z0 ,z1 ..zn - ðàçáèåíèå êðèâîé γ íà äóãè äëèíû lk , ζk ëåæèò íà ñîîòâåòñòâóþùåé äóãå, l = maxlk ,z0 , zn - ñîîòâåòñòâåííî íà÷àëüíàÿ è êîíå÷íàÿ òî÷êà γ , ò.å. z0 = z(a), zn = z(b).
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ çàìêíóòîéêðèâîé z0 = zn .Ïóñòü z(t) = x(t) + iy(t) è f (z) = u(x, y) + iv(x, y) , òîãäà ðàâåíñòâî (1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:ZbZf (z) dz =γZb0Zb0(ux − vy ) dt + if (z(t))z (t) dt =a0a(vx0 + uy 0 ) dt =aZZu dx − v dy + iγv dx + u dy.(2)γÒàêèì îáðàçîì íàõîæäåíèå èíòåãðàëà îò ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî ìîæåò áûòü ñâåäåíî êâû÷èñëåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ èëè èíòåãðàëîâ îò äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìïåðâîé ñòåïåíè. Èç äåéñòâèòåëüíîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèéu è v ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûìóñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ â ðàâåíñòâå (2). Ïîýòîìó äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèèf = u + ivèíòåãðàë ïî êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé âñåãäà ñóùåñòâóåò.γ.
Ïóñòü z1 (τ ) :[α, β] → γ äðóãàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ êðèâîé γ. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿêóñî÷íî-ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ t(τ ) : [α, β] → [a, b] òàêàÿ, ÷òî z1 (τ ) = z[t(τ )] äëÿ âñåõ τ ∈ [α, β]. Ïîñêîëüêóz 0 (t) dt = z 0 [t(τ )]t0 (τ ) dτ = z1 0 (τ )) dτ, òî ïðèìåíÿÿ èçâåñòíóþ èç äåéñòâèòåëüíîãî àíàëèçà òåîðåìó î çàìåíåÏîêàæåì, ÷òî çíà÷åíèå èíòåãðàëà íå çàâèñèò îò âûáîðà ïàðàìåòðèçàöèè êðèâîéïåðåìåííîé â èíòåãðàëå îòäåëüíî ê äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòÿì â ðàâåíñòâå (2), ïîëó÷àåìZbZf (z) dz =γZβ0f (z(t))z (t) dt =af [z1 (τ )]z1 0 (τ ) dτ.αÒàêèì îáðàçîì íåçàâèñèìî îò âûáîðà êóñî÷íî-ãëàäêîé ïàðàìåòðèçàöèè çíà÷åíèå èíòåãðàëà ïîëó÷àåòñÿîäíèì è òåì æå.Ðàññìîòðèì 3 ïðèìåðà.Ïðèìåð 1.
Ïóñòü f (z) = z , òîãäàZI=f (z)d z = limnXzk (zk − zk−1 ) = liml→1 k=1γnXzk−1 (zk − zk−1 ),l→1 k=1è çíà÷èòI=nnXX111lim(zk + zk−1 )(zk − zk−1 ) =lim(zk 2 − zk−1 2 ) = (zk 2 − z0 2 ).2 l→12 l→12k=1k=1Âòîðîé ïðèìåð, íåñìîòðÿ íà ñâîþ ïðîñòîòó, ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â òåîðèè ôóíêöèè êîìïëåêñíîãîïåðåìåííîãî.24Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèì èíòåãðàëZ1In =2πi(z − z0 )n d z,|z−z0 |=Rñ÷èòàÿ, ÷òînöåëîå ÷èñëî, à îêðóæíîñòü îðèåíòèðîâàíà ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè.Âîñïîëüçîâàâøèñü ïàðàìåòðèçàöèåé îêðóæíîñòèz = z0 + Reiϕ ,d z = iReiϕ d ϕ,0 ≤ ϕ ≤ 2π,ïðåîáðàçóåì èíòåãðàë ê âèäó1 n+1In =R2πZ2πeiϕ(n+1) d ϕ.0Ïðèn = −1ïîëó÷àåìI−11=2πZ2πd ϕ = 1.0Ïðèn 6= −1ïîëó÷àåìIn =2π11Rn+1 eiϕ(n+1) =Rn+1 (ei2π(n+1) − 1) = 0.2πi(n + 1)2πi(n + 1)0Ïðèìåð 3.
Ïóñòü Γ - çàìêíóòàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ, íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç 0. Ðàññìîòðèì èíòåãðàëZJ=Zdz=zxdx + ydy+ix2 + y 2ΓΓZxdy − ydx.x2 + y 2ΓÏåðâûé èç èíòåãðàëîâ â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ðàâåí 0, òàê êàê âûðàæåíèå ïîä çíàêîìèíòåãðàëà ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì (êàêîé ôóíêöèè?). Ñî âòîðûì èíòåãðàëîì ìû óæå âñòðå÷àëèñü,îí ðàâåí ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòàzâäîëüΓ.Èòàê,J = i∆Γ arg z.Ñâîéñòâà èíòåãðàëà. Óêàæåì îñíîâíûå ñâîéñòâà èíòåãðàëà îò ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî,êîòîðûìè ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ äàëåå.Íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì îïðåäåëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà èíòåãðàëà.1.
Ëèíåéíîñòü. Äëÿ ëþáûõ íåïðåðûâíûõ íà êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé γ ôóíêöèé f è g è ïðîèçâîëüíûõêîìïëåêñíûõ ïîñòîÿííûõαèβâûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîZZ(αf + βg)d z = αγZfd z + βγgd z.γ2. Àääèòèâíîñòü.Ïóñòü γ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ êðèâàÿ ñ íà÷àëîì â òî÷êå a è êîíöîì â òî÷êå b. Äëÿc ∈ γ îáîçíà÷èì ÷åðåç γ1 äóãó êðèâîé γ, íà÷èíàþùóþñÿ â òî÷êå a è çàêàí÷èâàþùóþñÿ â òî÷êåc, à ÷åðåç γ2 äóãó êðèâîé γ, íà÷èíàþùóþñÿ â òî÷êå c è çàêàí÷èâàþùóþñÿ â òî÷êå b. Òîãäà äëÿ âñÿêîéíåïðåðûâíîé íà êðèâîé γ ôóíêöèè fZZZf d z = f d z + f d z.òî÷êèγγ1γ2γ1 ñîâïàäàåòγ2 .
 îáùåì ñëó÷àå, îáúåäèíåíèå äâóõ ïðîèçâîëüíûõ êðèâûõ, âîîáùå ãîâîðÿ, êðèâîé íåÏîêà ñâîéñòâîì àääèòèâíîñòè ìû ìîæåì ïîëüçîâàòüñÿ òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà êîíåö êðèâîéñ íà÷àëîì êðèâîéÿâëÿåòñÿ, íî õîòåëîñü áû èìåòü ïîíÿòèå èíòåãðàëà è ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè è â ýòîé ñèòóàöèè. Ïîýòîìóïðÿìî ïî îïðåäåëåíèþ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ îðèåíòèðîâàííûõ êóñî÷íî-ãëàäêèõ êðèâûõZZfd z =γ1 ∪γ2Zfd z +γ125f d z.γ2γ1èγ2ïîëîæèì3. Çàâèñèìîñòü îò îðèåíòàöèè.ñ êðèâîéôóíêöèèγ,fÎáîçíà÷èì ÷åðåçγ−êðèâóþ, ñîâïàäàþùóþ, êàê ìíîæåñòâî òî÷åê,íî èìåþùóþ ïðîòèâîïîëîæíóþ îðèåíòàöèþ. Òîãäà äëÿ âñÿêîé íåïðåðûâíîé íà êðèâîéZγZfd z = −f d z.γγ−4.
Îöåíêà èíòåãðàëà. Äëÿ âñÿêîé íåïðåðûâíîé íà êðèâîé γfôóíêöèèâûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà ZZ f d z ≤ |f | |d z| ≤ M · l,γγ|d z| =píà êðèâîéγ.ãäådx2 + dy 2Äîêàçàòåëüñòâî. ýëåìåíò äëèíû êðèâîéγ, lγ,äëèíà êðèâîéMàìàêñèìóì ìîäóëÿ ôóíêöèèfÐàññìîòðèì ìîäóëü èíòåãðàëüíîé ñóììû è îöåíèì åãî, èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâîòðåóãîëüíèêà:|nXf (ζk )(zk − zk−1 )| ≤k=1nX|f (ζk )||(zk − zk−1 )| ≤k=1nX|f (ζk )|lkk=1Âûðàæåíèå ñïðàâà åñòü èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà îò ôóíêöèè|f (z)|. Ïåðåõîäÿê ïðåäåëó, ïîëó÷àåì òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî.5.
Ïî÷ëåííîå èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà. Ïóñòü ðÿäêóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîéγôóíêöèé ðàâíîìåðíî íàZf (z)d z =γ∞Pfk (z) èç íåïðåðûâíûõ íàk=1íà ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (z), òîãäà∞ ZXfk (z)d z.k=1 γγÄîêàçàòåëüñòâî. Êàê ñóììà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà èç íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, ôóíêöèÿ f (z)áóäåò íåïðåðûâíîé è èíòåãðèðóåìîé íàÎáîçíà÷èì ÷åðåç0läëèíó êðèâîéñóùåñòâóåò òàêîé íîìåðn0 ,γ.γ. ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî÷òî ïðè ëþáîìn > n0îöåíêà|f (z) −nPfk (z)| < ε · l−1ε >âûïîëíÿåòñÿk=1z ∈ γ.
ÏîýòîìóZn Zn Z XXfk (z)d z ≤ f (z) −fk (z)|d z| < ε · l−1 · l = ε, f (z)d z −îäíîâðåìåííî äëÿ âñåõ òî÷åêk=1 γγk=1γè, ñëåäîâàòåëüíî,Zf (z)d z =6. Ôîðìóëà çàìåíû ïåðåìåííîé.D, Γ̃- îáðàçΓD çàäàíà àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f (z), Γw = f (z) è F (w) - íåïðåðûâíàÿ íà Γ̃ ôóíêöèÿ. ÒîãäàZZF (w)dw = F (f (z))f 0 (z)dzÏóñòü â îáëàñòèÄîêàçàòåëüñòâî.ΓÄîêàæåì ýòó ôîðìóëó äëÿ äèôôåðåíöèðóåìûõ êðèâûõ. Ïóñòü- íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿÎ÷åâèäíî,w0 (t) = f 0 (z(t))z 0 (t).ZbZF (w)dw =Γ̃-ïðè îòîáðàæåíèèΓ̃t ∈ [a, b]fk (z)d z.k=1 γγêðèâàÿ â∞ ZXòîãäàw(t) = f (z(t))z(t) = x(t) + iy(t),Γ̃.- ïàðàìåòðèçàöèÿÏîëó÷àåì0ZbF (w(t))w (t)dt =aΓ,00ZF (f (z(t)))f (z(t))z (t)dt =aF (f (z))f 0 (z)dz.Γ2. Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè.Òåîðåìà 1.
(Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Êîøè äëÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè)ÏóñòüD ⊂ C îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü, à ôóíêöèÿ f èìååò íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ â D. Òîãäà äëÿ ëþáîãîγ⊂DZf (z)d z = 0.ïðîñòîãî êóñî÷íî-ãëàäêîãî çàìêíóòîãî êîíòóðàγ26Äîêàçàòåëüñòâî.Îáîçíà÷èì ÷åðåçD∗f = u + iväåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè ôóíêöèèγèíòåãðàë ïîîáëàñòü, îãðàíè÷åííóþ êîíòóðîìγ.D∗ ⊂ D, òîD∗ . ÇàïèøåìÏîñêîëüêóÿâëÿþòñÿ ãëàäêèìè â îêðåñòíîñòèêàê ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ âòîðîãî ðîäàZZZu dx − v dy + if (z)d z =γγv dx + u dyγè ðàññìîòðèì äâà âåêòîðíûõ ïîëÿF~ (x, y) = (u(x, y), −v(x, y)),~G(x,y) = (v(x, y), u(x, y)).Óñëîâèå Êîøè-Ðèìàíà îçíà÷àåò, ÷òî ýòè ïîëÿ óäîâëåòâîðÿþò íåîáõîäèìîìó óñëîâèþ ïîòåíöèàëüíîñòè. Âîäíîñâÿçíîé îáëàñòè îíè äåéñòâèòåëüíî ïîòåíöèàëüíû è, êàê èçâåñòíî èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà,óêàçàííûå âûøå êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû ðàâíû íóëþ.Ïðèìåð.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
