1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ñ 1727 ïî 1741 è ñ 1766 äî êîíöà æèçíè ðàáîòàë â Ïåòåðáóðãñêîé àêàäåìèèíàóê. Êðóã èíòåðåñîâ Ýéëåðà âêëþ÷àë â ñåáÿ âñå îòäåëû ñîâðåìåííîé åìó ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè, òåîðèþ óïðóãîñòè,ìàòåìàòè÷åñêóþ ôèçèêó, îïòèêó, òåîðèþ ìóçûêè, òåîðèþ ìàøèí, áàëëèñòèêó, ìîðñêóþ íàóêó, ñòðàõîâîå äåëî, . . . Ýéëåðïåðâûì íà÷àë ñèñòåìàòè÷åñêîå èçó÷åíèå ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî è ïðèìåíåíèå ìíèìûõ âåëè÷èí ê âû÷èñëåíèþèíòåãðàëîâ.7è, â ÷àñòíîñòè, ïîëåçíîå ðàâåíñòâîe2πik = 1äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëàk.Èç òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìû ëåãêî ïîëó÷èòü ïîêàçàòåëüíóþ ôîðìó çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëàz = r(cos ϕ + i sin ϕ) = rei ϕ = |z|ei Arg z .Äëÿ ôóíêöèèezâûïîëíÿþòñÿ ñòàíäàðòíûå ñâîéñòâà ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî,ê ïðèìåðó,ez1 · ez2 = ez1 +z2 ,îäíàêî â êîìïëåêñíîé îáëàñòè ýêñïîíåíòà îêàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ ÷èñòî ìíèìûì ïåðèîäîìðàâíûì2πiez+2πik = ez · e2πik = ez · 1 = ez .Îïðåäåëÿÿ ñòàíäàðòíûì îáðàçîì ëîãàðèôì êîìïëåêñíîãî ÷èñëàw = Ln zóñëîâèåì:ew = z,ìûïîëó÷èì áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèéwk = ln |z| + i(arg z + 2πk), k = 0, ±1, ±2, .
. .w = u + iv, òî z = x + iy = eu (cos v + i sin v).îäíèì èç çíà÷åíèé àðãóìåíòà z.Ïðèìåð 1. Ln (−2) = ln 2 + i(π + 2πk), k = 0, ±1, ±2, ....Äåéñòâèòåëüíî, åñëèÎòñþäà|z| = eu , u = ln |z|,àvÿâëÿåòñÿÇàìå÷àíèå. Äëÿ ëþáûõ îòëè÷íûõ îò íóëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 , z2 ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Ln z1 z2 =Ln z1 + Ln z2 , êîòîðàÿ îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî, ñòîÿùåå â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà åñòü ñóììà ìíîæåñòâLn z1 , Ln z2 . (Ñóììîé ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ A, B íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü âñåâîçìîæíûõ ñóìì a + b, a ∈A, b ∈ B. )  ÷àñòíîñòè, ïåðåñòàåò áûòü âåðíîé ôîðìóëà Ln z n = n Ln z. Íàïðèìåð, Ln 1 = Ln 12 6= 2 Ln 1 :Ln 1 = i2πn, 2 Ln 1 = i4πn, n = 0, ±1, ...
 òî æå âðåìÿ, çàïèñàâ 12 = 1 · 1, , ïîëó÷àåì âåðíûé ðåçóëüòàò:Ln 1 · 1 = i2πk + i2πm = i2πn, n = 0, ±1, ..., òàê êàê k è m ïðîáåãàþò ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë íåçàâèñèìîäðóã îò äðóãà.Ïóñòüa, b ∈ Cèa 6= 0,ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþab = eb Ln a = eb(ln |a|+i(arg a+2πk)) , k = 0, ±1, ±2, . . . îáùåì ñëó÷àå ïðè âîçâåäåíèè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà â ïðîèçâîëüíóþ êîìïëåêñíóþ ñòåïåíü ìû áóäåìïîëó÷àòü áåñêîíå÷íóþ ñåðèþ îòâåòîâ.Èç ôîðìóëû Ýéëåðà ñëåäóåò, ÷òîcos x =eix − e−ixeix + e−ix; sin x =.22iÓ÷èòûâàÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ, òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî îïðåäåëèì ðàâåíñòâàìècos z =eiz + e−izeiz − e−izsin zcos z; sin z =; tg z =; ctg z =.22icos zsin zw = Arcsin zÎïðåäåëÿÿ ñòàíäàðòíûì îáðàçîì(àðêñèíóñ êîìïëåêñíîãî ÷èñëàz)óñëîâèåì:sin w = z,ìû ïîëó÷èì áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèéArcsin z = −i Ln i(z +Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöèè√ Ïðèìåð 2.3pz 2 − 1).Arccos z, Arctg z, Arcctg z.√sin z = −2 : z = Arcsin (−2) = −i Ln i(−2 ± 3).Íàéäåì âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ- àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿ.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷àåì äâå ñåðèè ðåøåíèé:− π2 + 2πk + i ln(2 −√3), k = 0, ±1, ...,èzm = − π2 + 2πm + i ln(2 +√Çäåñüzk =3), m = 0, ±1, ...Îïðåäåëÿÿ ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè ðàâåíñòâàìèch z =ez + e−zez − e−zsh zch z; sh z =; th z =; cth z =,22ch zsh zëåãêî çàìåòèòü, ÷òî íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèå è è ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè îáðàçóþòîäèí è òîò æå êëàññ ôóíêöèé, ïîñêîëüêó âûðàæàþòñÿ îäíè ÷åðåç äðóãèåcos z = ch iz; sin iz = i sh z; .
. .sin z è cos z íà äåéñòâèòåëüíîé îñè ñîâïàäàþò ñsin x è cos x äåéñòâèòåëüíîãî àðãóìåíòà, áóäóò 2π ïåðèîäè÷åñêèìè,êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ôóíêöèè sin z è cos z ïðèíèìàþò ñêîëüÂâåäåííûå íàìè ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî àðãóìåíòàîáû÷íûìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìèíî ïåðåñòàþò áûòü îãðàíè÷åííûìè íàóãîäíî áîëüøèå ïî ìîäóëþ çíà÷åíèÿ.86. Ñôåðà Ðèìàíà. Áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà.1Åùå îäíó ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ìíîæåñòâà êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ïðåäëîæåííóþ Ðèìàíîì ,ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè òî÷êàì êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèCñîïîñòàâèòü èõ ñôåðè÷åñêèå îáðàçû.Ðàññìîòðèì òðåõìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî ñ êîîðäèíàòàìèïëîñêîñòüCñ ïëîñêîñòüþOξη(ξ, η, θ)òàê, ÷òîáû äåéñòâèòåëüíàÿ îñü ñîâïàëà ñ îñüþè ñîâìåñòèì êîìïëåêñíóþOξ,ìíèìàÿ îñü ñ îñüþOη,è ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ íà ñîîòâåòñòâóþùèõ îñÿõ ñîâïàäàëè.Îáîçíà÷èì ÷åðåçSñôåðó ñ öåíòðîì â òî÷êå0, 0, 1211ξ 2 + η 2 + (θ − )2 =24èëèðàäèóñà1,2èìåþùóþ óðàâíåíèåξ 2 + η 2 = θ(1 − θ),(2)(0, 0, 1) íàçîâåì ïîëþñîì ñôåðû S è îáîçíà÷èì ñèìâîëîì P.
Ñîåäèíèì îòðåçêîì òî÷êó z ∈ C ñP, ïðè ýòîì îòðåçîê ïåðåñå÷åò ñôåðó S â åäèíñòâåííîé òî÷êå M (ξ, η, θ). Òî÷êà M íàçûâàåòñÿñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèåé òî÷êè z ∈ C íà ñôåðó S.à òî÷êóïîëþñîìÑòåðåîãðàôè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ óñòàíàâëèâàåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òî÷êàìè êîìïëåêñíîéïëîñêîñòèCè òî÷êàìè ñôåðûS ñ âûêîëîòûì ïîëþñîì P.P (0, 0, 1), M (ξ, η, θ) è z(x, y, 0) ñèëó êîëèíåàðíîñòè òî÷åêèìååìη1−θξ= =,xy1x=ηξ + iηξ, y=, z=.1−θ1−θ1−θ(3)Ïîñêîëüêó|z|2 =ξ2 + η2,(1 − θ)2òî èç óðàâíåíèÿ ñôåðû (2) ïîëó÷àåì|z|2 =Âûðàæàÿ èç ðàâåíñòâà (4) çíà÷åíèåξ=θθ.1−θ(4)è ïîäñòàâëÿÿ åãî â ðàâåíñòâà (3), íàõîäèìxy|z|2,η=,θ=.1 + |z|21 + |z|21 + |z|2(5)Ôîðìóëû (5) íàçûâàþò ôîðìóëàìè ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèè.Ñòåðåîãðàôè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ îáëàäàåò çàìå÷àòåëüíûì êðóãîâûì ñâîéñòâîì: âñÿêàÿ îêðóæíîñòü èëèïðÿìàÿ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèS,Cîòîáðàæàåòñÿ ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèåé â îêðóæíîñòü íà ñôåðåè îáðàòíî, ïðîîáðàçîì âñÿêîé îêðóæíîñòè íà ñôåðåïëîñêîñòèSÿâëÿåòñÿ ëèáî îêðóæíîñòü ëèáî ïðÿìàÿ íàC.Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíåíèå ïðîèçâîëüíîé îêðóæíîñòè íà ïëîñêîñòèCèìååò âèäA(x2 + y 2 ) + Bx + Cy + D = 0,A, B, C, D äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì A > 0, B 2 + C 2 > 4AD.B + C 2 > 0 óðàâíåíèå (6) îïðåäåëÿåò ïðÿìóþ íà ïëîñêîñòè C.ãäå(6)ÏðèA=0è2×òîáû íàéòè ñîîòâåòñòâóþùóþ ëèíèþ íà ñôåðå, çàìåíèì â óðàâíåíèè (6) ïåðåìåííûåâûðàæåíèÿìè ÷åðåçξ, η, θxèyèõïî ôîðìóëàì (3) è ïîëó÷èìBξ + Cη + (A − D)θ + D = 0.(7)Ñëåäîâàòåëüíî ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèåé ëèíèè, îïðåäåëÿåìîé óðàâíåíèåì (6), ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü,ïîëó÷àåìàÿ â ðåçóëüòàòå ïåðåñå÷åíèÿ ñôåðûSè ïëîñêîñòè, îïðåäåëÿåìîé óðàâíåíèåì (7).S , çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì (7) ïðè íåêîòîðûõ êîýôôèöèåíòàõ,A ≥ 0, B 2 +C 2 > 4AD, òî î÷åâèäíî, ÷òî ïðîîáðàçîì ïðîèçâîëüíîé îêðóæíîñòèíà ñôåðå S ÿâëÿåòñÿ ëèáî îêðóæíîñòü ëèáî ïðÿìàÿ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè C, îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèåìÏîñêîëüêó âñÿêàÿ ïëîñêîñòü, ïåðåñåêàþùàÿ ñôåðóóäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì(6).Òàê êàê ïðèA = 0 ïëîñêîñòü (7) ïðîõîäèò ÷åðåç ïîëþñ P, òî ïðè ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèè ïðÿìàÿ,S, èëåæàùàÿ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, îòîáðàæàåòñÿ â îêðóæíîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ïîëþñ ñôåðûîáðàòíî.1 Ðèìàí Ãåîðã Ôðèäðèõ Áåðíõàðä (1826-1866) íåìåöêèé ìàòåìàòèê.
Îñíîâíûå ðàáîòû ïîñâÿùåíû ìàòåìàòè÷åñêîìóàíàëèçó, òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî è ãåîìåòðèè. Îñíîâîïîëîæíèê ãåîìåòðè÷åñêîãî íàïðàâëåíèÿ â òåîðèèàíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé.9Ïðè íåîãðàíè÷åííîì óäàëåíèè òî÷êèzîò íóëÿ â ïðîèçâîëüíîì íàïðàâëåíèè (âäîëü ïðîèçâîëüíîéïðÿìîé) îáðàç ýòîé òî÷êè íà ñôåðå âñåãäà áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê ïîëþñóèäåàëüíûé îáúåêò,íàçûâàåìûé áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êîéP.
Äîáàâèì ê êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè C∞. Äàëååè îáîçíà÷àåìûé ñèìâîëîìêîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü ñ ïðèñîåäèíåííîé ê íåé áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êîé áóäåì íàçûâàòü ðàñøèðåííîéêîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ è îáîçíà÷àòü ñèìâîëîìC,ò.å.C = C ∪ {∞}.Åñëè ìû äîîïðåäåëèì ñòåðåîãðàôè÷åñêóþ ïðîåêöèþ, ïîëàãàÿ ïîëþñPîáðàçîì áåñêîíå÷íî óäàëåííîéòî÷êè, òî ïîëó÷èì âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþñôåðîéCèS.P íà ñôåðå ÿâëÿåòñÿ "øàïî÷êà ò.å. ÷àñòü ñôåðû S, ðàñïîëîæåííàÿθ = a, 0 < a < 1. Ñòàíäàðòíîé îêðåñòíîñòüþ áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êèíà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ ïðîîáðàç ñòàíäàðòíîé îêðåñòíîñòè ïîëþñà P ïðè ñòåðåîãðàôè÷åñêîéïðîåêöèè, ò.å. ìíîæåñòâî U = {|z| > r > 0} âíåøíîñòü êðóãà ñ öåíòðîì â íóëå. Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèèÑòàíäàðòíîé îêðåñòíîñòüþ ïîëþñàâûøå íåêîòîðîé ïëîñêîñòèñòåðåîãðàôè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ áóäåò íåïðåðûâíà è â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå.
Ïðè ýòîì îòîáðàæåíèåâñåé ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèCíà ñôåðóSáóäåò ãîìåîìîðôèçìîì. ÑôåðóS,íà êîòîðîéèçîáðàæåíû êîìïëåêñíûå ÷èñëà, íàçûâàþò ñôåðîé Ðèìàíà.{zn } ê áåñêîíå÷íîzn → ∞, åñëè äëÿ ëþáîé îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè U íàéäåòñÿ òàêîéïðè n > n0 òî÷êè zn ïðèíàäëåæàò îêðåñòíîñòè U. Ýòî îïðåäåëåíèå ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òîÅñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåëóäàëåííîé òî÷êå:n0 , ÷òî|zn | → +∞.íîìåðÐàñøèðåííàÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòüC ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì.
Ýòî ëåãêî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííîïî îïðåäåëåíèþ êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà, ò.å. ïîêàçàòü, ÷òî èç ëþáîãî îòêðûòîãî ïîêðûòèÿ êîìïëåêñíîéïëîñêîñòèC ìîæíî âûáðàòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå. Ïóñòü Σ ïðîèçâîëüíîå îòêðûòîå ïîêðûòèå ðàñøèðåííîéC, îòêðûòîå ìíîæåñòâî U0 ∈ Σ è ñîäåðæèò áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ òî÷êó.
Ìíîæåñòâîêîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèK = C\U0 ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì, ïîñêîëüêó îíî îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ êîìïàêòíîñòè,nSñóùåñòâóåò òàêîé êîíå÷íûé íàáîð îòêðûòûõ ìíîæåñòâ Uk ∈ Σ, k = 1, . . . , n, ÷òî K ⊂Uk . Ñëåäîâàòåëüíî,k=1âñÿ ðàñøèðåííàÿ êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòüC ïîêðûâàåòñÿ êîíå÷íûì íàáîðîì îòêðûòûõ ìíîæåñòâ U0 , U1 , . . . , Un .Íà ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè âñÿêîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî áóäåò êîìïàêòíûì.
Äîáàâëåíèåê êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè íàçûâàþò îäíîòî÷å÷íîé êîìïàêòèôèêàöèåé, àñàìó ðàñøèðåííóþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòüCèíîãäà íàçûâàþò êîìïàêòèôèöèðîâàííîé êîìïëåêñíîéïëîñêîñòüþ.Ïîìèìî êðóãîâîãî ñâîéñòâà ñòåðåîãðàôè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ îáëàäàåò åùå îäíèì çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì- êîíñåðâàòèçìîì óãëîâ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî óãîë ìåæäó ëþáûìè ãëàäêèìè êðèâûìè íà êîìïëåêñíîéïëîñêîñòè ðàâåí óãëó ìåæäó îáðàçàìè ýòèõ êðèâûõ, ëåæàùèìè íà ñôåðåS. ñèëó ñèììåòðèè äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü âûïîëíåíèå ýòîãî ñâîéñòâà â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ëåæàùåé íàz = a + i0. Ïóñòü γ1 è γ2 ãëàäêèå êðèâûå, ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êåzk = zk (s) = xk (s) + iyk (s), k = 1, 2 íàòóðàëüíûå ïàðàìåòðèçàöèè äàííûõ êðèâûõ (ò.å.ïàðàìåòðà âûáðàíà äëèíà äóãè), òî êîñèíóñ óãëà ìåæäó êðèâûìè γ1 è γ2 â òî÷êå z = a + i0äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé, ò.å.
â òî÷êåz = a + i0.â êà÷åñòâåÅñëèðàâåí ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ, ò.å.cos α = ẋ1 ẋ2 + ẏ1 ẏ2 .ÊðèâûåñôåðåS,Γ1èΓ2 ,ÿâëÿþùèåñÿ îáðàçàìè êðèâûõïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êåξk =1+2aaM ( 1+a2 ; 0; 1+a2 )xk (s)x2k (s) +;yk2 (s)ηk =è1+yk (s)x2k (s) +Íåñëîæíî íàéòè êàñàòåëüíûå âåêòîðû ê êðèâûìτ̄k =γ1Γkïðè ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèè, ëåæàò íà;yk2 (s)â òî÷êåθk =Mx2k (s) + yk2 (s).1 + x2k (s) + yk2 (s)è èõ íîðìû1122ẋ((1−a);ẏ((1+a);2aẋ, ||τ̄k || =.kkk22(1 + a )1 + a2Òåïåðü ëåãêî íàõîäèòñÿ êîñèíóñ óãëà ìåæäó êðèâûìècos β =γ2è èìåþò ïàðàìåòðèçàöèèτ̄1 τ̄21=||τ̄1 ||||τ̄2 ||(1 + a2 )Γ1èΓ2â òî÷êåM2 222 2ẋẋ[(1−a)+4a]+ẏẏ(1+a)=1 21 22ẋ1 ẋ2 + ẏ1 ẏ2 = cos α.Èç ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò ñîõðàíåíèå óãëîâ ïðè ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèè.10Èñòîðè÷åñêàÿ ñïðàâêà.1Âïåðâûå ìíèìûå âåëè÷èíû, êàê êîðíè êâàäðàòíûå èç îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë, ïîÿâèëèñü â òðóäå Êàðäàíî"Âåëèêîå èñêóññòâî, èëè Îá àëãåáðàè÷åñêèõ ïðàâèëàõ"(1545), êîòîðûé ñ÷åë èõ áåñïîëåçíûìè, íåãîäíûìèê óïîòðåáëåíèþ, ïðèâîäÿùèìè ê áåññìûñëåííûì ðåçóëüòàòàì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
