1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Òàê, íà êîìïëåêñíîéïëîñêîñòè ñèíóñ è êîñèíóñ, íåñìîòðÿ íà âûïîëíåíèå îñíîâíîãî òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî òîæäåñòâà, ïåðåñòàþòáûòü îãðàíè÷åííûìè ôóíêöèÿìè. Ê ïðèìåðó,cos(0 + iy) = ch y =ïðèey + e−y→ +∞2|y| → ∞.6. Âûäåëåíèå âåòâåé ìíîãîçíà÷íûõ ôóíêöèé. Ýëåìåíòàðíûå ìíîãîçíà÷íûå ôóíêöèè.Ðàññìîòðèì ìíîãîçíà÷íóþ â îáëàñòèôóíêöèèf (z)â òî÷êåD ôóíêöèþ f (z) è îáîçíà÷èì ÷åðåç [f ]zìíîæåñòâî âñåõ çíà÷åíèéz ∈ D.Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (z) äîïóñêàåò âûäåëåíèå îäíîçíà÷íîé àíàëèòè÷åñêîé âåòâè â îáëàñòèD, åñëè ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ â îáëàñòè D ôóíêöèÿ h(z) òàêàÿ, ÷òî çíà÷åíèå h(z) ∈ [f ]zïðè ëþáîì z ∈ D.Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (z) äîïóñêàåò âûäåëåíèå îäíîçíà÷íîé àíàëèòè÷åñêîé âåòâè â îêðåñòíîñòèòî÷êè z0 ∈ D, åñëè îíà äîïóñêàåò âûäåëåíèå îäíîçíà÷íîé àíàëèòè÷åñêîé âåòâè â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîéîêðåñòíîñòè U̇ òî÷êè z0 .Çàìå÷àíèå.  ïîñëåäíåì îïðåäåëåíèè çíà÷åíèå îäíîçíà÷íîé àíàëèòè÷åñêîé âåòâè h(z), âîîáùå ãîâîðÿ,ìîæåò ìîæåò áûòü íå îïðåäåëåíî â ñàìîé òî÷êå z0 .Çàìå÷àíèå.
Èç òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ f (z) äîïóñêàåò âûäåëåíèå îäíîçíà÷íîé àíàëèòè÷åñêîé âåòâè âîêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè z ∈ D, â îáùåì ñëó÷àå, íå ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ f (z) äîïóñêàåò âûäåëåíèåîäíîçíà÷íîé àíàëèòè÷åñêîé âåòâè âî âñåé îáëàñòè D.Ïóñòü ìíîãîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ f (z) äîïóñêàåò âûäåëåíèå îäíîçíà÷íîé àíàëèòè÷åñêîé âåòâè h(z) âïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè U̇ òî÷êè z0 . Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé çàìêíóòûé êîíòóð γ ⊂ U̇ .
Ïîñêîëüêóâåòâü h(z) ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé, òî ïðè îáõîäå êîíòóðà γ åå çíà÷åíèÿáóäóò ìåíÿòüñÿ íåïðåðûâíûì îáðàçîì è ïðè ïîëíîì îäíîêðàòíîì îáõîäå êîíòóðà çíà÷åíèÿ ôóíêöèè h(z)â íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷êàõ îáõîäà äîëæíû ñîâïàäàòü.Ïðîâåðêà ýòîãî ñâîéñòâà ïîçâîëÿåò äàòü îòâåò íà âîïðîñ î âîçìîæíîñòè âûäåëåíèÿ îäíîçíà÷íûõ âåòâåéìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè ôèêñèðîâàííîé òî÷êè.Ðàññìîòðèì ôóíêöèþz1 , z2Arg z.Äàäèì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå. Ïóñòüêîòîðûé ïîâîðà÷èâàåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîð â òî÷êå20∆γ arg zγ- êðèâàÿ, íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç 0z âäîëü γ íàçûâàåòñÿ óãîë, íàz ïðè äâèæåíèè ïî γ îò z1 ê z2 .
Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè êðèâàÿγ ðàçáèòà íåêîòîðîé òî÷êîé íà äâå äóãè γ1 , γ2 , òî ∆γ arg z = ∆γ1 arg z + ∆γ2 arg z. Äàëåå, åñëè èçìåíèòüíàïðàâëåíèå îáõîäà êðèâîé, òî ó ïðåâðàùåíèÿ àðãóìåíòà èçìåíèòñÿ çíàê. Êðîìå òîãî, åñëè êðèâûå γ1 , γ2- åå íà÷àëüíàÿ è êîíå÷íàÿ òî÷êè. Ïðèðàùåíèåìàðãóìåíòàñ îáùèì íà÷àëîì è êîíöîì ìîæíî íåïðåðûâíî ïðîäåôîðìèðîâàòü äðóã â äðóãà, íå ïðîõîäÿ ÷åðåç 0, òîïðèðàùåíèå àðãóìåíòà âäîëü ýòèõ êðèâûõ îäèíàêîâî. Èìååò ìåñòî ôîðìóëàZ∆γ arg z =xdy − ydxx2 + y 2γÄåéñòâèòåëüíî, äèôôåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâàx = r cos ϕ, y = r sin ϕd arg z = dϕ =Arg zßñíî, ÷òî ôóíêöèÿïîëó÷èìcos ϕdy − sin ϕdxxdy − ydx=rx2 + y 2äîïóñêàåò â îáëàñòèDâûäåëåíèå îäíîçíà÷íûõ âåòâåé â òîì è òîëüêî â òîìD, ðàâíî íóëþ.
Åñëèz0 ∈ D è îïðåäåëåííîåarg z = ϕ0 + ∆γ arg z, ãäå γ - ïðîèçâîëüíàÿñëó÷àå, êîãäà ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà âäîëü ëþáîé çàìêíóòîé êðèâîé, ëåæàùåé âýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, òî îäíîçíà÷íàÿ âåòâü ñòðîèòñÿ òàê: ôèêñèðóåì íåêîòîðîåçíà÷åíèåϕ0åãî àðãóìåíòà; äëÿ ëþáîé òî÷êèêðèâàÿ, ëåæàùàÿ âÏðèìåð 1.DÏóñòüè ñîåäèíÿþùàÿDz0èz∈Dïîëàãàåìz.- ïëîñêîñòü ñ ðàçðåçîì ïî êðèâîéðàâíàÿ 0 â òî÷êå 1. Òîãäà√5πarg0 (1 + i 3) = − ,3z = t + it2 , t ≥ 0èarg0 z- âåòâü àðãóìåíòà,√πarg0 (2 + i2 3) =3Ðàññìîòðèì òåïåðü îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ìíîãîçíà÷íûå ôóíêöèè. ÔóíêöèÿLn z äîïóñêàåò âûäåëåíèåîäíîçíà÷íûõ âåòâåé â ëþáîé îáëàñòè, íå ñîäåðæàùåé îáõîäîâ âîêðóã íóëÿ.
Êàæäàÿ âåòâü òàêîé îáëàñòèèìååò âèäïðèìåðà 1ln z = √ln |z| + i arg z, ãäå arg z -íåêîòîðàÿîäíîçíà÷íàÿ âåòâü àðãóìåíòà. Òàê, äëÿ îáëàñòè D èç√,ln(2+i23)=2ln2+i π3 . Òàê êàê Re ln z = ln |r|, Im ln z = ϕ = arg z òî,ln(1+i 3) = ln 2−i 5π3î÷åâèäíî, óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà âûïîëíÿþòñÿ è ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíîé ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ ëþáîéîäíîçíà÷íîé âåòâè1dln z = .dzzÑòåïåííàÿ ôóíêöèÿzαäîïóñêàåò âûäåëåíèå îäíîçíà÷íûõ âåòâåé â òåõ æå îáëàñòÿõ, ÷òî èîäíîçíà÷íàÿ âåòâü èìååò âèäz α = eα ln z ,ãäåln z- îäíîçíà÷íàÿ âåòâüLn z.Ln z.ËþáàÿÒàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ âåòâüñòåïåííîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé êàê êîìïîçèöèÿ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé è åå ïðîèçâîäíàÿâû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåd ααz αz =dzz.Äëÿ äàëüíåéøåãî áóäåò ïîëåçíî ñëåäóþùåå ïîíÿòèå.
Ïóñòü â îáëàñòèf (z).Òîãäà, åñëè êðèâàÿγëåæèò â îáëàñòèDè ôóíêöèÿf (z)D çàäàíà àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿâ òî÷êàõ ýòîé êðèâîé íå îáðàùàåòñÿ âf (z) âäîëü γ íàçûâàåòñÿ óãîë, íà êîòîðûé ïîâîðà÷èâàåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðw = f (z) ïðè äâèæåíèè z ïî γ. Îáîçíà÷åíèå: ∆γ arg f (z). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ∆γ arg(−f (z)) =1∆γ arg f (z), ∆γ arg f (z)= −∆γ arg f (z), ∆γ arg f1 (z)f2 (z) = ∆γ arg f1 (z) + ∆γ arg f2 (z)√√Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (z) = z 2 . Ìû óæå çíàåì, ÷òî â òî÷êå t 6= 0, ∞ ôóíêöèÿ tp i arg tp i arg t2 . Åñëè z 6= 0, ∞ è t = z 2 , òî ëèáî arg t = 2arg zïðèíèìàåò äâà ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿ:|t|e 2 è − |t|e√ëèáî arg t = 2arg z − 2π.
Ïîýòîìó ôóíêöèÿ f (z) =z 2 ïðèíèìàåò â òî÷êå z äâà ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿ:iarg ziarg zw1 = |z|e= z è w2 = −|z|e= −z.Îäíîçíà÷íûå àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè h1 (z) = z è h2 (z) = −z ÿâëÿþòñÿ âåòâÿìè ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèè√f (z) = z 2 â îêðåñòíîñòè ïðîèçâîëüíîé òî÷êè z0 ∈ C.p√Ïðèìåð 3. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (z) = z 2 − 1. Ìû óæå çíàåì, ÷òî ôóíêöèÿ t äîïóñêàåò âûäåëåíèåäâóõ îäíîçíà÷íûõ àíàëèòè÷åñêèõ âåòâåé f1 (t) è f2 (t) â îêðåñòíîñòè ïðîèçâîëüíîé òî÷êè t 6= 0, ∞. Ïîýòîìópôóíêöèÿ f (z) =z 2 − 1 äîïóñêàåò âûäåëåíèå äâóõ îäíîçíà÷íûõ àíàëèòè÷åñêèõ âåòâåé f1 (z 2 − 1) è2f2 (z − 1) â îêðåñòíîñòè ïðîèçâîëüíîéòî÷êè z 6= ±1, ∞.p2Åñëè ôóíêöèÿ f (z) =z − 1 äîïóñêàåò âûäåëåíèå îäíîçíà÷íîé àíàëèòè÷åñêîé âåòâè h(z) â îêðåñòíîñòèU̇ òî÷êè z0 = 1, òî ïðè îáõîäå ïðîèçâîëüíîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà γ ⊂ U̇ çíà÷åíèå ôóíêöèè h(z) äîëæíîìåíÿòüñÿ íåïðåðûâíûì îáðàçîì, è ïðèðàùåíèå ôóíêöèè h(z) ïðè ïîëíîì îáõîäå êîíòóðà γ äîëæíî áûòü0, òî ïðèðàùåíèåì àðãóìåíòàòî÷êèðàâíûì íóëþ.γ ⊂ U̇ âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ îêðóæíîñòü |z − 1| = r, ãäå r < 1.
Ðàññìîòðèìg1 (z) = z + 1 è g2 (z) = z − 1. Ïðè îáõîäå òî÷êîé z êîíòóðà γ, òî÷êà t1 = g1 (z) ñîâåðøàåòîáõîä îêðóæíîñòè |t − 2| = r, íå ñîäåðæàùåé âíóòðè ñåáÿ íóëåâîé òî÷êè, ò.å. ïðèðàùåíèå àðãóìåíòàôóíêöèè g1 (z) ïðè ïîëíîì îáõîäå êîíòóðà γ ðàâíî íóëþ. Ïðè îáõîäå òî÷êîé z êîíòóðà γ ïðîòèâ ÷àñîâîéñòðåëêè, òî÷êà t2 = g2 (z) ñîâåðøàåò ïîëíûé îáõîä îêðóæíîñòè |t| = r, ïîýòîìó ïðèðàùåíèå àðãóìåíòàôóíêöèè g2 (z) ïðè ïîëíîì îáõîäå êîíòóðà γ ðàâíî 2π. Òàêèì îáðàçîì ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà ôóíêöèèt = z 2 − 1 = g1 (z) · g2 (z) ïðè ïîëíîì îáõîäå êîíòóðà γ ðàâíî 2π. êà÷åñòâå êîíòóðàäâå ôóíêöèè21 ïðîèçâîëüíîé òî÷êåz∈γôóíêöèÿf (z) =wk (z) =ãäåpz2 − 1ïðèíèìàåò äâà ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿqarg (z 2 −1)+2πk2|z 2 − 1|ei,k = 0, 1.a∈γ ôèêñèðîâàííîé òî÷êåçíà÷åíèå ôóíêöèèh(z) äîëæíî ñîâïàäàòü ñ îäíèì èç çíà÷åíèé wk (a).γ çíà÷åíèå ôóíêöèè h(z) â êîíå÷íîé òî÷êå îáõîäàÈçìåíÿÿñü íåïðåðûâíûì îáðàçîì ïðè îáõîäå êîíòóðàb,a,ñîâïàäàþùåé ñ òî÷êîéäîëæíî áûòü ðàâíîh(b) =ò.å.
ïðèðàùåíèå ôóíêöèèh(z)q|a2 − 1|eiarg (a2 −1)+2πk+2π2= −h(a),γ îòëè÷íî îò íóëÿ.z0 = 1 íåëüçÿ âûäåëèòü îäíîçíà÷íóþ àíàëèòè÷åñêóþïðè ïîëíîì îáõîäå êîíòóðàÝòî îçíà÷àåò, ÷òî â îêðåñòíîñòè òî÷êèâåòâüìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèèz0 = −1íåëüçÿ âûäåëèòü îäíîçíà÷íóþ àíàëèòè÷åñêóþ âåòâü ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèèf (z).Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî è â îêðåñòíîñòè òî÷êèf (z).Ïîñìîòðèì êàê âûãëÿäèò ñèòóàöèÿ â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè.U̇ òî÷êè z = ∞ ðàññìîòðèì âíåøíîñòü êðóãà, ò.å. ìíîæåñòâî U̇ = C \ B(0, R),R > 1. Ïóñòü a ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà îêðåñòíîñòè U̇ , γ ⊂ U̇ ïðîèçâîëüíûé ïðîñòîé çàìêíóòûé êîíòóð,ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êó a.
Åñëè êîíòóð γ íå ñîäåðæèò âíóòðè ñåáÿ òî÷êó z = 0, òî ïðèðàùåíèÿ àðãóìåíòàôóíêöèé g1 (z) = z + 1 è g2 (z) = z − 1 ïðè ïîëíîì îáõîäå êîíòóðà γ ðàâíû íóëþ. Åñëè êîíòóð γ ñîäåðæèòâíóòðè ñåáÿ òî÷êó z = 0, òî ïðè ïîëíîì îáõîäå êîíòóðà γ, ïðè êîòîðîì îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, ñîäåðæàùàÿòî÷êó z = 0, îñòàåòñÿ ñëåâà, ïðèðàùåíèÿ àðãóìåíòà ôóíêöèé g1 (z) è g2 (z) ðàâíû 2π. Ñëåäîâàòåëüíî,2ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà ôóíêöèè t = z − 1 = g1 (z) · g2 (z) ïðè ïîëíîì îáõîäå êîíòóðà γ ëèáî ðàâíî íóëþëèáî ðàâíî 4π.Ïîëîæèì, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèè h(z) â òî÷êå a ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç çíà÷åíèé wk (a), à â ïðîèçâîëüíîéòî÷êå z ∈ γ ìû åäèíñòâåííûì îáðàçîì ìîæåì âûáðàòü çíà÷åíèå h(z) ∈ [f ]z òàê, ÷òîáû ôóíêöèÿ h(z)èçìåíÿëàñü íåïðåðûâíûì îáðàçîì ïðè îáõîäå êîíòóðà γ, íà÷èíàþùåìñÿ â òî÷êå a. Òîãäà äëÿ çíà÷åíèÿôóíêöèè h(z) â êîíå÷íîé òî÷êå îáõîäà b, ñîâïàäàþùåé ñ òî÷êîé a, ïîëó÷èì êà÷åñòâå îêðåñòíîñòèãäåh(b) =|a2 − 1|eiarg (a2 −1)+2πk+2πm2= h(a)eiπm = h(a),γ, ëèáî ðàâíî íóëþ ëèáî ðàâíî 2.h(z) ïðè ïîëíîì îáõîäå çàìêíóòîãî êîíòóðà ïîëó÷àåòñÿ ðàâíûì íóëþ,òî â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà íà÷àëüíîé òî÷êè a è êîíòóðà γ, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â îêðåñòíîñòè U̇ ìîæíîçàäàòü òàêóþ îäíîçíà÷íóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ h(z), ÷òî h(z) ∈ [f ]z ïðè ëþáîì z ∈ U̇ .
Íåñëîæíîçàìåòèòü, ÷òî çíà÷åíèå ôóíêöèè h(z) â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå z ∈ U̇ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîìîäíîãî èç äâóõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé â íà÷àëüíîé òî÷êå a ∈ U̇ , ñëåäîâàòåëüíî â îêðåñòíîñòè U̇ ìîæíîâûäåëèòü äâå íåïðåðûâíûå îäíîçíà÷íûå âåòâè h1 (z) è h2 (z) ôóíêöèè f (z). Îñòàëîñü ïðîâåðèòü,à÷òîôóíêöèè h1 (z) è h2 (z) ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè. Îäíàêî, ìû óæå çíàåì, ÷òî â îêðåñòíîñòè ïðîèçâîëüíîéòî÷êè z ∈ U̇ ôóíêöèÿ f (z) äîïóñêàåò âûäåëåíèå äâóõ îäíîçíà÷íûõ àíàëèòè÷åñêèõ âåòâåé f1 (z) è f2 (z),êîòîðûå, â ñèëó íåïðåðûâíîñòè, â îêðåñòíîñòè òî÷êè z ∈ U̇ áóäóò ñîâïàäàòü ñîîòâåòñòâåííî ñ ôóíêöèÿìèh1 (z) è h2 (z), ò.å.
ôóíêöèè h1 (z) è h2 (z) ÿâëÿþòñÿ îäíîçíà÷íûìè àíàëèòè÷åñêèìè âåòâÿìè ôóíêöèè f (z)ãäåm,qâ çàâèñèìîñòè îò âûáîðà êîíòóðàÏîñêîëüêó ïðèðàùåíèå ôóíêöèèâ îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè.Òàêèì îáðàçîì ôóíêöèÿïðîèçâîëüíîé òî÷êèz ∈ C,f (z)äîïóñêàåò âûäåëåíèå îäíîçíà÷íûõ àíàëèòè÷åñêèõ âåòâåé â îêðåñòíîñòèçà èñêëþ÷åíèåì òî÷åêz = ±1.Ïðèìåð 4. Ðàññìîòðèì âîïðîñ î âîçìîæíîñòè âûäåëåíèÿ îäíîçíà÷íûõ âåòâåé ôóíêöèéa)f1 (z) = Ln1−z,1+zb)f2 (z) = Ln1−z(1 + z)(2 + z)â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè.a)  êà÷åñòâå îêðåñòíîñòè U̇z = ∞ ðàññìîòðèì âíåøíîñòü êðóãà, ò.å. ìíîæåñòâî U̇ = C \B(0, R),0z0 ýòîé îêðåñòíîñòè è çíà÷åíèå ϕ0 àðãóìåíòà 1−z1+z0 ; òåì ñàìûì1−z01−zîïðåäåëÿåòñÿ îäíî èç çíà÷åíèé f1 (z0 ) : h(z0 ) = ln |1+z0 |+iϕ0 . Ðàññìîòðèì ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà 1+z âäîëüëþáîé çàìêíóòîé êðèâîé γ, ëåæàùåé â U̇ , êîòîðàÿ íà÷èíàåòñÿ è çàêàí÷èâàåòñÿ â z0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
