1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ u íàçûâàåòñÿu = Re f, ôóíêöèÿ v íàçûâàåòñÿ ìíèìîé ÷àñòüþ äåéñòâèòåëüíîçíà÷íûå ôóíêöèè èfv = Im f.äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ ôóíêöèèè îáîçíà÷àåòñÿè îáîçíà÷àåòñÿÄëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèèf (z)â òî÷êåz0 = x0 + iy0lim f (z) = λ = a + ibz→z0íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî îäíîâðåìåííîå ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëîâ ôóíêöèélimu(x, y) = a,lim(x,y)→(x0 ,y0 )Ôóíêöèÿf (z)u(x, y) è v(x, y) â òî÷êå (x0 , y0 )v(x, y) = b.(x,y)→(x0 ,y0 )íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êåz0 ,åñëèlim f (z) = f (z0 ).z→z0f (z) íåïðåðûâíà â òî÷êå z0 , åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå|z − z0 | < δ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f (z) − f (z0 )| < ε.Èç ñâîéñòâ ïðåäåëà ôóíêöèè ñëåäóåò, ÷òî íåïðåðûâíîñòü f (z) â òî÷êå z0 = x0 + iy0 , êàê ôóíêöèèêîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî z, ýêâèâàëåíòíà îäíîâðåìåííîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé u(x, y) è v(x, y) âòî÷êå (x0 , y0 ), êàê ôóíêöèé äâóõ äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ.22Åñëè ôóíêöèè f : D → C ñîïîñòàâèòü îòîáðàæåíèå F : D ⊂ R → R , ïîëàãàÿ F (x, y) = (u(x, y), v(x, y)),òî î÷åâèäíî, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà è íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî f (z) ýêâèâàëåíòíûñîîòâåòñòâåííî ñóùåñòâîâàíèþ ïðåäåëà è íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ F (x, y).
Ïîýòîìó äëÿ íåïðåðûâíûõ22ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî âåðíû âñå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ îòîáðàæåíèé èç R â R , èçâåñòíûåÈíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ÷èñëîδ > 0,÷òî äëÿ âñåõèç äåéñòâèòåëüíîãî àíàëèçà.Ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä∞Xfk (z)k=1f (z) íà ìíîæåñòâå E ⊂ C, åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0n > n0 è âñåõ z ∈ E âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèèíîìåðn0 = n0 (ε),÷òî äëÿ âñåõ|f (z) −nXíàéäåòñÿ òàêîéfk (z)| < ε.k=1Êðèòåðèé Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.Äëÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà∞Xfk (z)k=1íà ìíîæåñòâån0 = n0 (ε),E⊂Cíåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ÷èñëà÷òî äëÿ âñåõn > n0 , m ∈ Nè âñåõ|z∈En+mXε>0âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâîfk (z)| < ε.k=n13ñóùåñòâîâàë òàêîé íîìåðÓäîáíîå äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè äàåò ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà: Åñëèäëÿ âñåõz∈Eè ÷èñëîâîé ðÿä∞Pak|fk (z)| ≤ akñõîäèòñÿ, òî ðÿäk=1∞Xfk (z)k=1ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâåÅñëè ôóíêöèèfk (z)E.íåïðåðûâíû, òî ñóììà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäàf (z) =∞Xfk (z)k=1ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé.2.
Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî.ÏóñòüD⊂C îáëàñòü è òî÷êàz0 ∈ D.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f : D → C÷èñëîλ ∈ C,íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êåz0 ,åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå÷òîf (z) − f (z0 ) = λ(z − z0 ) + o(z − z0 )ïðèz → z0 .(1)f : D → C äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå z0 , òî ñîîòâåòñòâóþùååf (z) â òî÷êå z0 è îáîçíà÷àåòñÿ ñòàíäàðòíûì îáðàçîì f 0 (z0 ).(1) ñèìâîë o(z − z0 ) ïîíèìàåòñÿ â ñòàíäàðòíîì ñìûñëåÅñëè ôóíêöèÿ÷èñëîλíàçûâàåòñÿïðîèçâîäíîé ôóíêöèè ðàâåíñòâålimz→z0ñëåäîâàòåëüíîo(z − z0 )= 0,z − z0po(∆z) = o(|∆z|) = o( (∆x)2 + (∆y)2 )ïðè∆z → 0.Ðàâåíñòâî (1) ýêâèâàëåíòíî ñóùåñòâîâàíèþ êîíå÷íîãî ïðåäåëàf (z0 ) = limz→z0f (z) − f (z0 ).z − z0(2)Ïðàêòè÷åñêè äîñëîâíîå ïîâòîðåíèå äîêàçàòåëüñòâ èç îäíîìåðíîãî äåéñòâèòåëüíîãî àíàëèçà ïîçâîëÿåòïîëó÷èòü ñòàíäàðòíûå ïðàâèëà íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíîé:1.(f ± g)0 (z) = f 0 (z) ± g 0 (z);2.(f · g)0 (z) = f 0 (z) · g(z) + f (z) · g 0 (z);3.(f /g)0 (z) = (f 0 (z) · g(z) − f (z) · g 0 (z))(g(z))−2 ;4.(f (g(z)))0 = f 0 (g(z)) · (g 0 (z)). îòëè÷èå îò íåïðåðûâíîñòè äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèèf (z) = u(x, y)+iv(x, y) â ñìûñëå êîìïëåêñíîãîïåðåìåííîãî íå ñâîäèòñÿ ê äèôôåðåíöèðóåìîñòè åå äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòåé êàê ôóíêöèé äâóõäåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ.Ïðèìåð.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (z) = ax+iby, ó êîòîðîé äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü Re f (z) = ax è ìíèìàÿ÷àñòüIm f (z) = byÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè.Åñëè âûáðàòü ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà âäîëü ïðÿìîé ïàðàëëåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé îñè, òî∆z = ∆xèf (z + ∆z) − f (z)a∆x== a,∆z∆xåñëè æå âûáðàòü ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà âäîëü ïðÿìîé ïàðàëëåëüíîé ìíèìîé îñè, òî∆z = i∆yèf (z + ∆z) − f (z)ib∆y== b.∆zi∆yÒàêèì îáðàçîì äëÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèèf (z) = ax+ibyâ ñìûñëå êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãîãëàäêîñòè åå äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòåé îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íî,äèôôåðåíöèðóåìîé òîëüêî ïðèa = b,ò.å. â ñëó÷àå, êîãäàè äàííàÿ ôóíêöèÿ áóäåòf (z) = az!Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè â ñìûñëå êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãîäàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà.f (z) = u(x, y) +z0 = x0 + iy0 íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ óñëîâèé:1.
ôóíêöèè u(x, y) è v(x, y) äîëæíû áûòü äèôôåðåíöèðóåìû â òî÷êå (x0 , y0 ) êàê ôóíêöèè äâóõ äåéñòâèòåëüíûõiv(x, y)Äëÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè â ñìûñëå êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî ôóíêöèèâ òî÷êåïåðåìåííûõ;142. ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèéu(x, y)Êîøè-Ðèìàíàèv(x, y)∂u∂v=,∂x∂yÍåîáõîäèìîñòü.Ïóñòü ôóíêöèèâ òî÷êå(x0 , y0 )äîëæíû áûòü ñâÿçàíû óñëîâèÿìè∂u∂v=− .∂y∂xf (z) = u(x, y) + iv(x, y) äèôôåðåíöèðóåìàf 0 (z0 ) = λ = A + iB.â òî÷êåz0 = x0 + iy0âñìûñëå êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî è åå ïðîèçâîäíàÿÍåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî∆f = ∆u + i∆v = λ∆z + o(∆z) = (A + iB)(∆x + i∆y) + o(∆z) =(A∆x − B∆y) + i(B∆x + A∆y) + o1 (∆z) + io2 (∆z).(1)Âûäåëÿÿ â ðàâåíñòâå (1) äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè, ïîëó÷àåì∆u = A∆x − B∆y + o1 (∆z)(2)∆v = B∆x + A∆y + o2 (∆z).(3)èÈç ðàâåíñòâ (2) è (3) ñëåäóåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèéu(x, y)èv(x, y)êàê ôóíêöèé äâóõäåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ, ïðè ýòîìdu =∂u∂udx −dy = Adx − Bdy∂x∂ydv =∂v∂vdx +dy = Bdx + Ady.∂x∂yèÑëåäîâàòåëüíîA=∂u∂v=,∂x∂yB=−∂u∂v=,∂y∂xè óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà âûïîëíÿþòñÿ.Äîñòàòî÷íîñòü.
Èç äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèé u(x, y) è v(x, y) êàê ôóíêöèé äâóõ äåéñòâèòåëüíûõïåðåìåííûõ è óñëîâèé Êîøè-Ðèìàíà ñëåäóåò âûïîëíåíèå ðàâåíñòâ (2) è (3). Óìíîæàÿ ðàâåíñòâî (3) íàìíèìóþ åäèíèöóôóíêöèèfi è ñêëàäûâàÿ ñ ðàâåíñòâîì (2), ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (1), êîòîðîå è îçíà÷àåò äèôôåðåíöèðóåìîñòüâ ñìûñëå êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî.Çàìå÷àíèå. Çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé f 0 (z0 ) = A + iB, à èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òîA=∂u∂v=,∂x∂yB=−∂u∂v=.∂y∂xÏîýòîìó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íûå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ ôóíêöèéu(x, y)èv(x, y):∂u∂v∂u∂u∂v∂v∂v∂u+i=−i=+i=−i=∂x∂x∂x∂y∂y∂x∂y∂y1 ∂u ∂v i ∂v∂u =++−= ...2 ∂x ∂y2 ∂x ∂yf 0 (z0 ) = A + iB =Çàïèøåì óñëîâèå Êîøè-Ðèìàíà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõx = r cos ϕ, y = r sin ϕ.
Èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãîàíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî∂u∂u 1∂u= cos ϕ− sin ϕ ,∂x∂rr∂ϕè àíàëîãè÷íî äëÿ ôóíêöèèv.∂u∂u 1∂u= sin ϕ+ cos ϕ∂y∂rr∂ϕÏîäñòàâëÿÿ ýòè ðàâåíñòâà â óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà, ïîëó÷àåì∂u1 ∂v=,∂rr ∂ϕ∂u∂v= −r .∂ϕ∂rÈñïîëüçóÿ ýòè ðàâåíñòâà, ìîæíî ïîëó÷èòü íîâûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíîéf 0 (z) =f 0 (z) :r ∂u∂v1 ∂v∂u(+i )= (−i )z ∂r∂rz ∂ϕ∂ϕÎïðåäåëåíèå.
Ôóíêöèÿ f : D → C íàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòè D ⊂ C, åñëè îíà äèôôåðåíöèðóåìàâ êàæäîé òî÷êå îáëàñòèD,è åå ïðîèçâîäíàÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â îáëàñòè15Dôóíêöèåé.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ fòî÷êèz0 ,â êîòîðîé ôóíêöèÿfíàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â òî÷êåz0 ∈ C,åñëè ñóùåñòâóåòîêðåñòíîñòüÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé.Òàêèì îáðàçîì, ãîâîðÿ îá àíàëèòè÷íîñòè ôóíêöèè â òî÷êå, ìû çàðàíåå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ôóíêöèÿîïðåäåëåíà íå òîëüêî â äàííîé òî÷êå, íî îïðåäåëåíà è ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèýòîé òî÷êè.Îïðåäåëåíèå.Ôóíêöèÿfíàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé íà ìíîæåñòâåàíàëèòè÷åñêîé â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâàE ⊂ C,åñëè îíà ÿâëÿåòñÿE.Ê ïðèìåðó, åñëè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â çàìêíóòîì øàðåB(a, r), òî îíà ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîéè â íåêîòîðîì îòêðûòîì ìíîæåñòâå, ñîäåðæàùåì äàííûé çàìêíóòûé øàð, è ñëåäîâàòåëüíî ÿâëÿåòñÿàíàëèòè÷åñêîé è â íåêîòîðîì îòêðûòîì øàðåB(a, r + ε) ⊃ B(a, r).Çàìå÷àíèå.
Âîîáùå ãîâîðÿ, â îïðåäåëåíèè àíàëèòè÷íîñòè ôóíêöèè â îáëàñòè òðåáîâàíèå íåïðåðûâíîñòèïðîèçâîäíîé ÿâëÿåòñÿ èçëèøíèì, ò.ê. îíî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè âî âñåõòî÷êàõ îáëàñòè. Îäíàêî äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà.Çàìå÷àíèå.
 ìàòåìàòèêå ïðèíÿòî íàçûâàòü àíàëèòè÷åñêèìè ôóíêöèè, ïðåäñòàâèìûå ñõîäÿùèìèñÿñòåïåííûìè ðÿäàìè. Äàííîå íàìè îïðåäåëåíèå àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî âïîëíåñîãëàñóåòñÿ ñ îáùèì ïîäõîäîì, ò.ê. äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî âñÿêàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ â îáëàñòè ôóíêöèÿêîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ïðîèçâîëüíîé òî÷êè îáëàñòè ïðåäñòàâèìà ñòåïåííûìðÿäîì.3. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé.f = u + iv ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îêðåñòíîñòè U òî÷êè z0 ∈ C è f 0 (z0 ) 6= 0.Ïóñòü γ : z = σ(t), t ∈ [α, β] ãëàäêàÿ êðèâàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç z0 , òî åñòü z0 = σ(t0 ), Γ : w = f (σ(t)) =ω(t) - åå îáðàç ïðè îòîáðàæåíèè w = f (z).
Åñëè ϕ - óãîë ìåæäó êàñàòåëüíûì âåêòîðîì â òî÷êå z0 è0ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì äåéñòâèòåëüíîé îñè, òî ϕ = arg σ (t0 ). Ïî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ00000êîìïîçèöèè ω (t0 ) = f (z0 )σ (t0 ) 6= 0 è, çíà÷èò, ψ = arg f (z0 ) + arg σ (t0 ). Òàêèì îáðàçîì, óãîë ïîâîðîòà âòî÷êå z0 ïðè îòîáðàæåíèè w = f (z), êîòîðûé, ïî îïðåäåëåíèþ ðàâåí ψ − ϕ, îäèí è òîò æå äëÿ âñåõ êðèâûõ0è ñîâïàäàåò ñ óãëîì arg f (z0 ). Ñëåäîâàòåëüíî, óãîë ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ êðèâûìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåçòî÷êó z0 , íå ìåíÿåòñÿ. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ ñâîéñòâîì ñîõðàíåíèÿ óãëîâ (èëè êîíñåðâàòèçìîì óãëîâ).iθÏóñòü l - åäèíè÷íûé âåêòîð; åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ðàäèóñ-âåêòîðîì íåêîòîðîé òî÷êè eåäèíè÷íîéÏóñòü ôóíêöèÿîêðóæíîñòè. Ïðåäåëk = limt→0+|f (z0 + teiθ ) − f (z0 )|tíàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ðàñòÿæåíèÿ â òî÷êåz0â íàïðàâëåíèèl.Ïîíÿòíî, ÷òîk = |f 0 (z0 )|,òî åñòüêîýôôèöèåíò ðàñòÿæåíèÿ íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ.F : U → R2 , îïðåäåëÿåìîå ïî ïðàâèëó F (x, y) =(u(x, y), v(x, y)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
