1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Íàéäåì ìàòðèöó ßêîáè îòîáðàæåíèÿ F è, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà, ïðåîáðàçóåìÐàññìîòðèì ñâÿçàííîå ñ ôóíêöèåéfîòîáðàæåíèååå ê ñïåöèàëüíîìó âèäó∂u ∂xJ =∂v∂xãäå ∂u∂y =∂v∂y 2 2∗ = ∂u + ∂v∂x∂xè s√1 ∂u 2 2− ∂v∂x ∗ ∂x∂u∂v+=∂x∂x 1 ∂v∂v∂u√∂x∂x∗ ∂xcos ϕ − sin ϕ,|f 0 (z0 )| sin ϕ cos ϕ∂u∂xϕ = argf 0 (z0 ).Òàêèì îáðàçîì îòîáðàæåíèå, îñóùåñòâëÿåìîå äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèèF)â òî÷êåz0 ,ñâîäèòñÿ ê ðàñòÿæåíèþ ñ êîýôôèöèåíòîìÎïðåäåëåíèå.îòîáðàæåíèå− √1 ∂v∂x∗=√1 ∂u∗ ∂xÎòîáðàæåíèåfîáëàñòèD ⊂ C|f 0 (z0 )|f(äèôôåðåíöèàëîì îòîáðàæåíèÿè ïîâîðîòó íà óãîëíà îáëàñòü0D ⊂ Cϕ = argf 0 (z0 ).íàçûâàþò êîíôîðìíûì, åñëèf : D → D01. ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì;è â êàæäîé òî÷êåz∈Dîáëàäàåò ñâîéñòâàìè:2.
ïîñòîÿíñòâà ðàñòÿæåíèÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì;3. êîíñåðâàòèçìà óãëîâ.f ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòè D ⊂ C è f 0 (z) 6= 0 âñþäó â îáëàñòè D, òî âz ∈ D ôóíêöèÿ f îáëàäàåò ñâîéñòâàìè ïîñòîÿíñòâà ðàñòÿæåíèÿ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿìÅñëè ôóíêöèÿêàæäîé òî÷êåè êîíñåðâàòèçìà óãëîâ. Îäíàêî îòëè÷èå ïðîèçâîäíîé îò íóëÿ â îáùåì ñëó÷àå íå ãàðàíòèðóåò âçàèìíóþîäíîçíà÷íîñòü îòîáðàæåíèÿ âî âñå îáëàñòè.16Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì êîëüöî D = {z ∈ C | 1 < |z| < 2} è f (z) = z 2 . Ôóíêöèÿ w = f (z) = z 2 îòîáðàæàåòD íà êîëüöî D0 = {w ∈ C | 1 < |w| < 4}, ïðè ýòîì f 0 (z) = 2z è, ñëåäîâàòåëüíî, f 0 (z) 6= 0 âñþäóâ êîëüöå D. Îäíàêî îòîáðàæåíèå íå áóäåò âçàèìíî îäíîçíà÷íûì âî âñåì êîëüöå D, ïîñêîëüêó ñ êàæäîé22òî÷êîé z ∈ D òî÷êà −z òàêæå ïðèíàäëåæèò êîëüöó D è ïðè ýòîì f (−z) = (−z) = z = f (z). ðàññìîòðåííîé â ïðèìåðå ñèòóàöèè îòîáðàæåíèå íå áóäåò âçàèìíî îäíîçíà÷íûì âî âñåì êîëüöå D, íîêîëüöîáóäåò ëîêàëüíîòî÷êè êîëüöàâçàèìíî îäíîçíà÷íûì, ò.å.
áóäåò âçàèìíî îäíîçíà÷íûì â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè êàæäîéD.Òåîðåìà.(Îá îáðàòíîé ôóíêöèè.) Ïóñòü ôóíêöèÿ fÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â òî÷êåz0 ∈ Cf 0 (z0 ) 6=f : U0 →è0. Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå îêðåñòíîñòè U0 òî÷êè z0 è V0 òî÷êè w0 = f (z0 ), ÷òî îòîáðàæåíèåV0 ÿâëÿåòñÿ êîíôîðìíûì. Ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ f −1 : V0 → U0 , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿàíàëèòè÷åñêîé â îêðåñòíîñòè V0 .Äîêàçàòåëüñòâî. Íàïîìíèì, ÷òî àíàëèòè÷íîñòü ôóíêöèè f â òî÷êå z0 îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ fîïðåäåëåíà è ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 .Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå F (x, y) = (u(x, y), v(x, y)), êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè êîòîðîãî íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìû â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 .
Íàéäåì ÿêîáèàí îòîáðàæåíèÿ F â òî÷êå z0 ∂u ∂u ∂u ∂x ∂y − ∂v ∂x∂x =detJ(F ) = = |f 0 (z0 )|2 6= 0. ∂v ∂v ∂v∂u ∂x ∂y ∂x∂xÏî òåîðåìå ìíîãîìåðíîãî äåéñòâèòåëüíîãî àíàëèçà îá îáðàòíîì îòîáðàæåíèè ñóùåñòâóþò òàêèå îêðåñòíîñòèw0 , ÷òî îòîáðàæåíèå F : U → V ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì, ñóùåñòâóåòF −1 : V → U, è êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè îáðàòíîãî îòîáðàæåíèÿ x = x(u, v), y =y(u, v) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû â îêðåñòíîñòè V.  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ïðîèçâîäíîé f 0 (z) ñóùåñòâóåò0òàêàÿ îêðåñòíîñòü U0 ⊂ U , ÷òî f (z) 6= 0 ïðè z ∈ U0 .
Ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèÿ f âçàèìíî îäíîçíà÷íîîòîáðàæàåò îêðåñòíîñòü U0 íà îêðåñòíîñòü V0 = f (U0 ) è îáëàäàåò â U0 ñâîéñòâàìè ïîñòîÿíñòâà ðàñòÿæåíèÿïî âñåì íàïðàâëåíèÿì è êîíñåðâàòèçìà óãëîâ, ò.å. îòîáðàæåíèå f : U0 → V0 ÿâëÿåòñÿ êîíôîðìíûì. ñèëó äèôôåðåíöèðóåìîñòè êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé îáðàòíîãî îòîáðàæåíèÿ x = x(u, v) è y = y(u, v)−1äëÿ äîêàçàòåëüñòâà àíàëèòè÷íîñòè îáðàòíîé ôóíêöèè f: V0 → U0 äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü âûïîëíåíèåUòî÷êèz0èVòî÷êèîáðàòíîå îòîáðàæåíèåóñëîâèé Êîøè-Ðèìàíà.Ìàòðèöà ßêîáè îáðàòíîãî îòîáðàæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ìàòðèöåé ê ìàòðèöå ßêîáè ïðÿìîãî îòîáðàæåíèÿ,ïîýòîìó∂x ∂x ∂u ∂v−1J(F ) = ∂y ∂y∂u ∂vcos ϕ − sin ϕ|f 0 (z0 )| sin ϕ cos ϕ−1 = (J(F ))−1∂u ∂x=∂v∂x∂u −1∂y =∂v∂ycos ϕsin ϕ= |f 0 (z0 )|−1 .− sin ϕ cos ϕÑëåäîâàòåëüíî∂x∂y=,∂u∂v∂x∂y=− ,∂v∂uò.å.
âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà äëÿ îáðàòíîé ôóíêöèè, è çíà÷èò ôóíêöèÿâ îêðåñòíîñòèf −1 ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîéV0 .Òàêèì îáðàçîì â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè, â êîòîðîé ïðîèçâîäíàÿ îòëè÷íà îòíóëÿ, îòîáðàæåíèå îñóùåñòâëÿåìîå àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ êîíôîðìíûì.Êîììåíòàðèé.Ñ îäíîé ñòîðîíû, òðåáîâàíèå àíàëèòè÷íîñòè ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî æåñòêèì óñëîâèåì, êîòîðîåïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äëÿ òàêèõ îòîáðàæåíèé öåëûé ðÿä äîïîëíèòåëüíûõ ñâîéñòâ, êîòîðûìè â îáùåìñëó÷àå íå îáëàäàþò ïðîèçâîëüíûå ãëàäêèå îòîáðàæåíèÿ ïëîñêèõ îáëàñòåé.Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîëåçíî èìåòü â âèäó ñëåäóþùèé çàìå÷àòåëüíûé ôàêò, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîãî,ê ñîæàëåíèþ, âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñàÒåîðåìà Ðèìàíà.D, D0 ⊂ C,îáëàñòè D íàÄëÿ ïðîèçâîëüíûõ îäíîñâÿçíûõ îáëàñòåéáîëåå ÷åì èç îäíîé òî÷êè, ñóùåñòâóåò êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèåãðàíèöû êîòîðûõ ñîñòîÿòîáëàñòüD0 .Òàêèì îáðàçîì êëàññ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé íà ïëîñêîñòè îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî "øèðîêèì è ïðèýòîì ñàìè ôóíêöèè îáëàäàþò âåñüìà "ðåãóëÿðíûìè"ñâîéñòâàìè, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ìíîæåñòâîðàçëè÷íûõ, èíîãäà íåîæèäàííûõ, ïðèëîæåíèé òåîðèè àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé êàê â ìàòåìàòèêå òàê è âôèçèêå.174.
Ñîïðÿæåííûå ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè.Îïðåäåëåíèå. Äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ u = u(x, y) íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîéâ îáëàñòèD ⊂ C,åñëè∆u =∂2u ∂2u+ 2 =0∂x2∂yD.âñþäó â îáëàñòèÄàëåå áóäåò äîêàçàíî, ÷òî àíàëèòè÷åñêàÿ â îáëàñòè ôóíêöèÿ, à ñëåäîâàòåëüíî è åå äåéñòâèòåëüíàÿ èìíèìàÿ ÷àñòè, áóäóò áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìû. À ïîêà âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ôàêòîì.Ïóñòü ôóíêöèÿf = u + ivÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòèÊîøè-Ðèìàíà∂v∂u=,∂x∂yD,òîãäà äëÿ íåå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ∂u∂v=− .∂y∂xÄèôôåðåíöèðóÿ ïåðâîå ðàâåíñòâî ïî ïåðåìåííîéx,âòîðîå ðàâåíñòâî ïî ïåðåìåííîéyè ñêëàäûâàÿ,ïîëó÷àåì∆u =ò.å.
ôóíêöèÿv.u∂2u ∂2u+ 2 = 0,∂x2∂yÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â îáëàñòèÎïðåäåëåíèå.Ãàðìîíè÷åñêèå â îáëàñòèDD.Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷íîñòü ôóíêöèèôóíêöèè íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåííûìè, åñëè îíè ñâÿçàíûóñëîâèÿìè Êîøè-Ðèìàíà.Òåîðåìà 1. Äëÿàíàëèòè÷íîñòè ôóíêöèèäåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòüuè ìíèìàÿ ÷àñòüvf = u + ivDâ îáëàñòèíåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ååáûëè ñîïðÿæåííûìè ãàðìîíè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè.Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèé òåîðåìû óæå ïîêàçàíà, à äîñòàòî÷íîñòü ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ãàðìîíè÷åñêèåôóíêöèè äèôôåðåíöèðóåìû (êàê ôóíêöèè äâóõ äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ), è èõ ñîïðÿæåííîñòü âëå÷åòâûïîëíåíèå óñëîâèé Êîøè-Ðèìàíà.Òåîðåìà 2.Äëÿ âñÿêîé ôóíêöèè, ãàðìîíè÷åñêîé â îäíîñâÿçíîé îáëàñòè.
ìîäíî íàéòè ñîïðÿæåííóþåé ãàðìîíè÷åñêóþ ôóíêöèþ, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî, ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü u = (x, y) - çàäàííàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Ðàññìîòðèì âåêòîðíîå ïîëå→−F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)),P =−∂u,∂yQ=∂u∂x→−u - ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ïîëå F óäîâëåòâîðÿåò íåîáõîäèìîìó óñëîâèþ ïîòåíöèàëüíîñòè∂P = ∂Q .  îäíîñâÿçíîé îáëàñòè ýòî óñëîâèå îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå ïîòåíöèàëà, òî åñòü ôóíêöèè∂y∂xv(x, y), òàêîé , ÷òî ∂v = P, ∂v = Q. Ôóíêöèÿ v ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà,∂x∂yÒàê êàêçíà÷åíèå êîòîðîãî íå çàâèñèò îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ,(x,y)Z−v(x, y) =∂u∂udx +dy.∂y∂x(x0 ,y0 )Î÷åâèäíî, íàéäåííàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé.Çàìå÷àíèå.f (z)Èç äîêàçàííîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî àíàëèòè÷åñêàÿ â îäíîñâÿçíîé îáëàñòè ôóíêöèÿâîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî çàäàííîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòèu(x, y)(ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíèìîãîv(x, y) ôóíêöèè f (z), òî îíàu(x, y) (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî âåùåñòâåííîãî ñëàãàåìîãî), êîòîðàÿ→−G (x, y) = ( ∂v , − ∂v )∂y ∂xñëàãàåìîãî).
Àíàëîãè÷íî, åñëè â îäíîñâÿçíîé îáëàñòè çàäàíà ìíèìàÿ ÷àñòüîïðåäåëÿåò äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòüÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëîì ïîëÿ5. Ýëåìåíòàðíûå àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè.Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿw = zn,ãäån>1C.z 6= 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, îòîáðàæåíèå (1) ÿâëÿåòñÿ êîíôîðìíûì âC \ {0}. Èñïîëüçóÿ ïîêàçàòåëüíóþ ôîðìó çàïèñè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòèÅå ïðîèçâîäíàÿw0 = nz n−1 6= 0ïðèîêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè îáëàñòèz = reiϕ ,(1)ïîëó÷àåìw = rn einϕ .Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà âèäíî, â òî÷êåóâåëè÷èâàþòñÿ ânz =0îòîáðàæåíèå íå áóäåò êîíôîðìíûì, ò.ê. â íóëå âñå óãëûðàç.18z 6= 0, îòîáðàæåíèå (1) íå áóäåò âçàèìíîC\{0}, ïîñêîëüêó ðàçëè÷íûå òî÷êè z1 = reiϕ è z2 = rei(ϕ+2π/n) îòîáðàæàþòñÿßâëÿÿñü âçàèìíî îäíîçíà÷íûì â îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êèîäíîçíà÷íûì âî âñåé îáëàñòèâ îäíó òî÷êów(z2 ) = rn einϕ ei2π = rn einϕ = w(z1 ).z1n = z2n , òîãäà |z1 |n = |z2 |n è, ñëåäîâàòåëüíî,|z1 | = |z2 |. Èç óñëîâèÿ arg(z1n ) = arg(z2n ) ñëåäóåò, ÷òî |arg(z1 )−arg(z2 )| = 2πkn ïðè íåêîòîðîì 0 ≤ k ≤ n−1.Íàéäåì îáëàñòè îäíîçíà÷íîñòè ñòåïåííîé ôóíêöèè (1).
ÏóñòüÒàêèì îáðàçîì îáëàñòü, â êîòîðîé ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ (1) ÿâëÿåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîé, íå äîëæíàñîäåðæàòü òî÷åê, ó êîòîðûõ ìîäóëè ðàâíû, à ðàçíîñòü àðãóìåíòîâ êðàòíà2π .nÏðèìåðàìè òàêèõ îáëàñòåé ÿâëÿþòñÿ ñåêòîðûDk = {z ∈ C | 0 < |z|,Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿE02πk2π(k + 1)< arg z <}, k = 0, 1, . . . , n − 1.nnw = znîòîáðàæàåò êàæäûé èç ñåêòîðîâDkíà îäíó è òó æå îáëàñòü íà âñþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü ñ ðàçðåçîì âäîëü íåîòðèöàòåëüíîé ÷àñòè äåéñòâèòåëüíîé îñè.Ïî àíàëîãèè ñ äåéñòâèòåëüíûì ñëó÷àåì ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿñîîòâåòñòâóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèez = limn→∞1+ezóæå áûëà îïðåäåëåíà êàê ïðåäåëz n.nÏðè ýòîì áûëà ïîëó÷åíà ôîðìóëàez = ex+iy = ex (cos y + i sin y).Äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèèxe sin yu(x, y) = Re ez = ex cos yèv(x, y) = Im ez =ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè, è ïðè ýòîì âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ Êîøè-Ðèìàíà∂v∂u== ex cos y,∂x∂y∂u∂v=−= −ex sin y.∂y∂xÑëåäîâàòåëüíî ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, è ååïðîèçâîäíàÿ ìîæåò áûòü íàéäåíà ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ïî ëþáîìó íàïðàâëåíèþ, â ÷àñòíîñòè,(ez )0 =∂v∂u+i= ex (cos y + i sin y) = ez 6= 0.∂x∂xÏîñêîëüêó ïðîèçâîäíàÿ âñþäó îòëè÷íà îò íóëÿ, òî â îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè îòîáðàæåíèå, îñóùåñòâëÿåìîåïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèåé, áóäåò êîíôîðìíûì.
Îäíàêî ýòî îòîáðàæåíèå íå áóäåò âçàèìíî îäíîçíà÷íûì âîâñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, ò.ê. ê ïðèìåðó, äëÿ òî÷åêzèz1 = z + i2πkïîëó÷àåìez1 = ez+i2πk = ez ei2πk = ez · 1 = ez .Íàéäåì îáëàñòè îäíîçíà÷íîñòè ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè. Ïóñòüz1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2èez1 = ez2 .Èç ðàâåíñòâà ìîäóëåé ïîëó÷àåìex1 = |ez1 | = |ez2 | = ex2 ,ñëåäîâàòåëüíîx2 = x1 .Íî òîãäàeiy2 = eiy1 , eiy2 · e−iy1 = ei(y2 −y1 ) = 1 = ei2πk ,ò.å.y2 − y1 = 2πk.Òàêèì îáðàçîì, îáëàñòü îäíîçíà÷íîñòè ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè íå äîëæíà ñîäåðæàòü ðàçëè÷íûõ òî÷åê,ó êîòîðûõ äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè ðàâíû, à ìíèìûå îòëè÷àþòñÿ íà ñëàãàåìîå, êðàòíîå2π. Ïðèìåðîì òàêèõîáëàñòåé ìîãóò ñëóæèòü ïîëîñû, ïàðàëëåëüíûå äåéñòâèòåëüíîé îñè,Dk = {z ∈ C | 2πk < Im z < 2π(k + 1)}, k ∈ Z.Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ýéëåðà, ñîãëàñíî êîòîðîé ïðè âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõxâûïîëíÿåòñÿðàâåíñòâîeix = cos x + i sin x,ïîëó÷àåìeix − e−ix.2iÅñëè çàìåíèòü â ïîñëåäíèõ ôîðìóëàõ äåéñòâèòåëüíóþ ïåðåìåííóþ xìû ïîëó÷èì àíàëèòè÷åñêèå âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè C ôóíêöèècos x =cos z =eix + e−ix,2sin x =eiz + e−iz,2sin z =19eiz − e−iz,2iêîìïëåêñíûì ïåðåìåííûìz,òîêîòîðûå ñîâïàäàþò íà äåéñòâèòåëüíîé îñè ñî ñòàíäàðòíûìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè äåéñòâèòåëüíîãîàðãóìåíòà.Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñèíóñà è êîñèíóñà êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî ñîõðàíÿþòñÿìíîãèå ñòàíäàðòíûå ñâîéñòâà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Òàê, îáå ôóíêöèè áóäóò2π -ïåðèîäè÷åñêèìè,êîñèíóñ ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé, à ñèíóñ - íå÷åòíîé. Ñîõðàíÿþòñÿ ñòàíäàðòíûå ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ(sin z)0 = ieiz + e−iz= cos z,2i(cos z)0 = ieiz − e−iz= − sin z.2Ñîõðàíÿþòñÿ òàêæå îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî, ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿsin2 z + cos2 z = 1, sin(z + π/2) = cos z, sin(z + π) = − sin z,ôîðìóëû äëÿ ñèíóñà è êîñèíóñà ñóììû è ðàçíîñòè àðãóìåíòîâ è ò.ä.Ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè îïðåäåëÿþòñÿ ñòàíäàðòíûìè ôîðìóëàìèch z =ez + e−z,2sh z =ez − e−z2è äëÿ íèõ âûïîëíÿåòñÿ ñòàíäàðòíîå òîæäåñòâîch2 z − sh2 z = 1.Íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèå è ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè âûðàæàþòñÿ îäíè ÷åðåçäðóãèåch z = cos iz,sh z = −i sin iz,cos z = ch iz,sin z = −i sh iz.Èç ýòèõ ôîðìóë ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè ïðèîáðåòàþòè íåêîòîðûå íîâûå ñâîéñòâà, êîòîðûõ ðàíåå íå áûëî íà äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
