1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàññìîòðèì âñå êðóãè ñ öåíòðîì â íóëå, â êîòîðûõ ðÿä ñõîäèòñÿ. ÒîãäàR ðàâåí òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ðàäèóñîâ òàêèõ êðóãîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ñ îäíîé ñòîðîíû,R ñëåäóåò, ÷òî ðÿä ñõîäèòñÿ â êðóãå |z| < R, ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ âz ∗ , òî R ≥ |z ∗ |, ò.å. ðÿä ðàñõîäèòñÿ ïðè |z| > R.ðàäèóñ ñõîäèìîñòèèç âûáîðà çíà÷åíèÿíåêîòîðîé òî÷êåÐàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà ìîæåò áûòü íàéäåí ïî ôîðìóëå Êîøè-ÀäàìàðàR=1p.lim n |cn |n→∞ÏîëîæèìL = limn→∞pn|cn |, òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîãî z ∈ Cïîëó÷èì, ÷òîlimn→∞pn|cn z n | = L|z|. Åñëè |z| >R = L1 , òî L|z| > 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà íîìåðîâ n âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî|cn z n | > 1.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè âûáðàííîì çíà÷åíèè z ñòåïåííîé ðÿä (1) ðàñõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó íåâûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ðÿäà.p|z| < R, òî L|z| < 1 è, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà n0 , âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà n |cn z n | <q < 1 è |cn z n | < q n . Ïîñêîëüêó ñòåïåííîé ðÿä (1) ìàæîðèðóåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé,òî ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè äàííîì çíà÷åíèè z.Ïóñòü R ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (1). Ñîãëàñíî ïåðâîé òåîðåìå Àáåëÿ ðÿä ðàâíîìåðíîñõîäèòñÿ âî âñÿêîì çàìêíóòîì êðóãå B(0, r) ïðè r < R, ñëåäîâàòåëüíî ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íàâñÿêîì êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå K, ëåæàùåì â êðóãå ñõîäèìîñòè B(0, R).
Òàêèì îáðàçîì ñòåïåííîé ðÿäÅñëè æåìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü âäîëü ëþáîé êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé, ëåæàùåé âíóòðè êðóãà ñõîäèìîñòè.Ïîñêîëüêó êàæäîå ñëàãàåìîå cn znÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé, òî ñîãëàñíî ïåðâîé òåîðåìå Âåéåðøòðàññàñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé âíóòðè êðóãà ñõîäèìîñòè. Âíóòðè êðóãàñõîäèìîñòè ñòåïåííîé ðÿä ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü, ïðè ýòîì ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà èçïðîèçâîäíûõ ñîâïàäàåò ñ ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè èñõîäíîãî ðÿäà.Ïóñòü ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (1) êîíå÷åí è îòëè÷åí îò íóëÿ, ò.å.ñëó÷àå ìû ìîæåì ëèøü óòâåðæäàòü, ÷òî ðÿä ñõîäèòñÿ â êðóãå|z| < R0 < R < +∞.  îáùåì|z| > R, ïðè ýòîìè ðàñõîäèòñÿ ïðèâ òî÷êàõ ãðàíè÷íîé îêðóæíîñòè êðóãà ñõîäèìîñòè ðÿä ìîæåò êàê ñõîäèòüñÿ òàê è ðàñõîäèòüñÿ.Ïðèìåð.
Âñå òðè ðÿäà1.∞Xn=0zn,2.∞Xzn,nn=1343.∞Xznn2n=1èìåþò ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðàâíûé åäèíèöå. Ïðè ýòîì ïåðâûé ðÿä íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ðàñõîäèòñÿâñþäó (íàðóøåíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè), âòîðîé ðÿä ñõîäèòñÿ âî âñåõ òî÷êàõ åäèíè÷íîé îêðóæíîñòèêðîìå åäèíñòâåííîé òî÷êèz = 1 (ïðè z 6= 1 ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèçíàêîì Äèðèõëå äëÿ äåéñòâèòåëüíîéè ìíèìîé ÷àñòåé ðÿäà), òðåòèé ðÿä ñõîäèòñÿ íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè âñþäó (èìååòñÿ ìàæîðèðóþùèéðÿä∞P1 ).2n=1 nÒàêèì îáðàçîì âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ êðóãà ñõîäèìîñòè òðåáóåòäîïîëíèòåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ. Îäíàêî, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ â ãðàíè÷íîé òî÷êåòî ñóììà ðÿäà ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé âäîëü ðàäèóñà â òî÷êåÂòîðàÿ òåîðåìà Àáåëÿ.z0 = Reiϕ0 .z0 , ò.å.ñõîäèòñÿ â òî÷êåðàäèóñà â òî÷êåÏóñòüR ∈ (0, +∞)z0 ,z0 .
ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (1), êîòîðûéÒîãäà ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäàS(z)ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé âäîëülim S(reiϕ0 ) = S(z0 ).r→R−0Äîêàçàòåëüñòâî.Âíà÷àëå íåñêîëüêî óïðîñòèì ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû. Äåëàÿ çàìåíóc0 − S(z0 ), an = cn z0n , n = 1, 2, . . . ,∞Xcn z n =n=0∞Pan tnz = tz0 , a0 =ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî∞Xan tn + S(z0 ),n=0äîêàçûâàòü:ïóñòü ÷èñëîâîé ðÿäèìååò ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðàâíûé åäèíèöå, ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè∞Panñõîäèòñÿ ên=0íóëþ,Ïóñòü0 < r < 1,òîãäà11−r=ïåðåìíîæàòü èãäåbn =nP∞Prn .èòîãäàlim S(r) = limr→1−0t=1∞Pan = 0.n=0n=0Òåì ñàìûì ìû ïðèõîäèì ê ýêâèâàëåíòíîé ôîðìóëèðîâêå âòîðîé òåîðåìû Àáåëÿ, êîòîðóþ è áóäåìâ êîòîðîì ðÿär→1−0∞Xan rn = 0.n=0Ïîñêîëüêó ðÿäûn=0∞Prnèn=0∞Pan rnñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî, èõ ìîæíîn=0∞XS(r)=bn rn ,1 − r n=0ak .k=0Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîåε > 0.
Ïîñêîëüêó∞Pak = 0, òî bn → 0 ïðè n → ∞, ñëåäîâàòåëüíî ñóùåñòâóåòk=0òàêîé íîìåðm,÷òî ïðèn > mâûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà|bn | < ε/2.Îáîçíà÷èì ÷åðåçmPM =|bk |èn=0âûáåðåìròàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî(1 − r)M < ε/2.Òîãäà ïîëó÷àåì∞m∞XXX|S(r)| = (1 − r)bn rn ≤ (1 − r)|bn |rn + (1 − r)|bn |rn ≤n=0n=0n=m+1∞Xε εrm+1εrn ≤ + (1 − r)≤ ε.(1 − r)M + (1 − r)22 21−rn=m+1Òàêèì îáðàçîìlim S(r) = 0,r→1−0è òåîðåìà äîêàçàíà.3. Ðÿä Òåéëîðà.Ìû óæå çíàåì, ÷òî ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé âíóòðè êðóãà ñõîäèìîñòè,à òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî âñÿêàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ëîêàëüíî ïðåäñòàâèìà ñòåïåííûì ðÿäîì.35Òåîðåìà Òåéëîðà. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòè D ⊂ C, òîãäà â îêðåñòíîñòèïðîèçâîëüíîé òî÷êèz0 ∈ Dîíà ïðåäñòàâèìà ñòåïåííûì ðÿäîìf (z) =∞Xcn (z − z0 )n ,n=0ãäåcn =f (n) (z0 ),n!ãðàíèöû îáëàñòèïðè ýòîì ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà íå ìåíüøå ÷åì ðàññòîÿíèå îò òî÷êèz0äîD.Äîêàçàòåëüñòâî.îêðóæíîñòüÏóñòü d = dist(z0 , ∂D.
Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå r < d è îáîçíà÷èì ÷åðåç Cr|t−z0 | = r. Ñîãëàñíî èíòåãðàëüíîé ôîðìóëå Êîøè äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè z êðóãà |z −z0 | < râûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî1f (z) =2πiZf (t)d t.t−zCrÏðåîáðàçóåì ýòî ðàâåíñòâî ê òðåáóåìîìó íàì âèäóf (z) =12πiZf (t)d t1=t − z0 + z0 − z2πiCrÏîñêîëüêó ïðè ôèêñèðîâàííîìZCrz ∈ B(z0 , r)f (t)d t.− z0(t − z0 ) 1 − zt −z(1)0âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà|z − z0 |= q < 1,|t − z0 |òî ðÿä∞ Xz − z0 nn=0ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî ïåðåìåííîétt − z0=íà îêðóæíîñòè1z− z01− t−z0Crè åãî ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü.Ñëåäîâàòåëüíî, èç ðàâåíñòâà (1) ïîëó÷àåì1f (z) =2πiZ XZ∞ ∞∞Xz − z0 n f (t)d t Xf (t)d tn 1cn (z − z0 )n ,(z − z0 )==n+1t−zt−z2πi(t−z)000n=0n=0n=0Crãäå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ(2)Crcn ,ñîãëàñíî èíòåãðàëüíîé ôîðìóëå Êîøè, èìååì1cn =2πiZf (t)d tf (n) (z0 )=.(t − z0 )n+1n!CrÈç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóåò, ÷òî ñòåïåííîé ðÿä (2) ñõîäèòñÿ âî âñÿêîì êðóãåñëåäîâàòåëüíî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà íå ìåíüøå ÷åì ðàññòîÿíèå îò òî÷êè∞Pcn (z − z0 )n , ñõîäÿùèéñÿ â êðóãån=0Âû÷èñëÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè S(z) â òî÷êåÐàññìîòðèì ñòåïåííîé ðÿäz0B(z0 , r)ïðèr < d,D.äî ãðàíèöû îáëàñòè|z − z0 | < r, è îáîçíà÷èì åãî ñóììó S(z).z = z0ïîëó÷àåì:c0 = S(z0 ), c1 = S 0 (z0 ), ..., cn n! = S (n) (z0 ), ...,òî åñòücn =S (n) (z0 ).n!Òàêèì îáðàçîì, ñòåïåííîé ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ñâîåé ñóììû.
Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òîðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ñõîäÿùèéñÿ ñòåïåííîé ðÿä åäèíñòâåííî.4. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè.Äîêàæåì ñíà÷àëà îäíî ñëåäñòâèå òåîðåìû Òåéëîðà. Áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå: åñëèz ∈ D,òîδ(z) = dist(z, ∂D).Òåîðåìà 1. (Ñëåäñòâèå î íóëå àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè.) Ïóñòü â îáëàñòè D çàäàíà àíàëèòè÷åñêàÿôóíêöèÿ f (z) è f (z0 ) = 0 â íåêîòîðîé òî÷êå z0 ∈ D.
Òîãäà ëèáî f (z) = 0 âî âñåõB(z0 , δ(z0 )), ëèáî â ýòîì êðóãå åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå f (z) = (z − z0 )m g(z),íàòóðàëüíîå ÷èñëî, g(z) - àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ è g(z0 ) 6= 0.36òî÷êàõ êðóãàãäåmB =- íåêîòîðîåÇàìå÷àíèå.Òî÷êàz0 ,î êîòîðîé èäåò ðå÷ü â òåîðåìå, íàçûâàåòñÿ íóëåì ôóíêöèèf (z),à ÷èñëîm-ïîðÿäêîì èëè êðàòíîñòüþ íóëÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçëîæåíèå Òåéëîðà ôóíêöèè f (z) â òî÷êå z0èìååò âèäf (z) = c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + ....Åñëè ñóììà ýòîãî ðÿäà íå ðàâíà íóëþ òîæäåñòâåííî, òî íàéäóòñÿ òàêèån,÷òîcn 6= 0.Ïóñòücm-ïåðâûéíå íóëåâîé êîýôôèöèåíò, òîãäàf (z) = (z − z0 )m (cm + cm+1 (z − z0 ) + ...) = (z − z0 )m g(z).Î÷åâèäíî, ÷òîg(z)àíàëèòè÷íà â êðóãåBèg(z0 ) = cm 6= 0.Çàìå÷àíèå. Î÷åâèäíî, íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî R < δ(z0 ), ÷òî g(z) 6= 0 â êðóãå |z − z0 | < R.Çàìå÷àíèå.
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî êðàòíîñòü íóëÿ ìîæíî îïðåäåëèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ÷èñëîmÿâëÿåòñÿ êðàòíîñòüþ íóëÿz0ôóíêöèèf (z),åñëèf (z0 ) = f 0 (z0 ) = ... = f (m−1) (z0 ) = 0,Òåîðåìà 2. (Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè.)ïîäìíîæåñòâîE ⊂Dèìååò âDòîæäåñòâåííî ðàâíà 0 â îáëàñòèÄîêàçàòåëüñòâî.f (m) (z0 ) 6= 0.D çàäàíà àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f (z),f (z) = 0 íà ìíîæåñòâå E. Òîãäà ôóíêöèÿ f (z)Ïóñòü â îáëàñòèïðåäåëüíóþ òî÷êóz0èD.zk 6= z0 , òàêàÿ, ÷òî f (zk ) = 0, k = 1, 2, ....f (z) = 0 â êðóãå |z − z0 | < δ(z0 ).0 0002. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè îòðåçîê I = [z , z ] ñîäåðæèòñÿ â D è f (z) = 0 â îêðåñòíîñòè z , òî f (z) = 0 â0000êðóãå |z − z | < δ(z ).
Òàê êàê îòðåçîê I êîìïàêòåí, à ãðàíèöà D çàìêíóòà, òî íàéäåòñÿ δ0 òàêîå, ÷òîd < δ , d = |z 0 −z 00 |, òîãäà äëÿ t ∈ Iδ(t) > δ0 , t ∈ I. Âûáåðåì íàòóðàëüíîå n òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü r0 = n0êðóã B(t, r0 ) ñîäåðæèòñÿ â D. Ðàçîáüåì îòðåçîê I íà n îòðåçêîâ [tj , tj+1 ] äëèíû r0 ,j = 0, 1, ..., n−1, t0 =00z 0 , tTn = z , è ðàññìîòðèì êðóãè Bj = B(tj , r0 ). Ïî ïðåäïîëîæåíèþ, f (z) = 0 â B0 .
Ïî ï.1 äëÿ ìíîæåñòâàB0 B1 ñ ïðåäåëüíîé òî÷êîé t1 ∈ D ïîëó÷èì ÷òî f (z) = 0 â êðóãå |z − t1 | < δ(t1 ), à çíà÷èò, è â êðóãå B1 .00Ïðîäîëæàÿ òàêèì æå îáðàçîì, çà n øàãîâ äîéäåì äî òî÷êè zn = z .3. Ïóñòü z - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà D. Òàê êàê D - îáëàñòü, òî òî÷êè z0 , z ìîæíî ñîåäèíèòü ëîìàíîé,ëåæàùåé â D. Ïðèìåíÿÿ äîêàçàííîå â ï.2 ê êàæäîìó çâåíó ëîìàííîé, ïîëó÷èì, ÷òî f (z) = 0.Ñëåäñòâèå. Ïóñòü D, E, z0 - òàêèå æå êàê â òåîðåìå 2, f (z), g(z) - àíàëèòè÷åñêèå â D ôóíêöèè,ñîâïàäàþùèå íà E. Òîãäà îíè ñîâïàäàþò íà âñåé îáëàñòè D.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü òåîðåìó 2 ê ðàçíîñòè f (z) − g(z).Çàìå÷àíèå.  êà÷åñòâå ìíîæåñòâà E ìîãóò âûñòóïàòü: ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê, ñõîäÿùàÿñÿ êíåêîòîðîé òî÷êå D ; êðèâàÿ, ëåæàùàÿ â D ; îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî D è ò.ä.
Ðàññìîòðèì äâà ïðèìåðà.Ïðèìåð 1. Âîïðîñ: ñóùåñòâóåò ëè àíàëèòè÷åñêàÿ â îêðåñòíîñòè z = 0 ôóíêöèÿ f (z), òàêàÿ ÷òî 111f=f= , n = 1, 2, ...2n2n + 1n1. Ïî óñëîâèþ, ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòüÒîãäàf (z0 ) = 0 (f (z)zk ∈ E,- íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ) è ïî òåîðåìå 1Îòâåò: íå ñóùåñòâóåò.Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü1zn = 2nñõîäèòñÿ ê íóëþ, òî ïî òåîðåìå åäèíñòâåííîñòèñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîé ÷àñòè çàäàííûõ óñëîâèé, à èìåííî,f (z) = 2z.Íî ýòà ôóíêöèÿ íå óäîâëåòâîðÿåò îñòàâøèìñÿ óñëîâèÿì.Ïðèìåð 2.
Ïîêàæåì, ÷òî èçâåñòíàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìóëàsin(x1 + x2 ) = sin x1 cos x2 + cos x1 sin x2âåðíà äëÿ êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîåx2è ðàññìîòðèìäâå ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãîf1 (z) = sin(z + x2 ),g1 = sin z cos x2 + cos z sin x2 ,àíàëèòè÷åñêèå â C. Ýòè ôóíêöèè ñîâïàäàþò ïðè äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõïðè âñåõ êîìïëåêñíûõz.f2 (z) = sin(z1 + z),ãäåz è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîâïàäàþòÒåïåðü ðàññìîòðèì àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèèg2 = sin z1 cos z + cos z1 sin z,z1 - ôèêñèðîâàííîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî.
Èç ïðåäûäóùåãî ñëåäóåò, ÷òî îíè ñîâïàäàþò ïðè âåùåñòâåííûõz , à çíà÷èò, è ïðè âñåõ êîìïëåêñíûõ z.çíà÷åíèÿõ5. Äåéñòâèÿ ñî ñòåïåííûìè ðÿäàìè è íåêîòîðûå ïðèåìû ðàçëîæåíèÿ â ñòåïåííîé ðÿä.37Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè âñþäó, ãäå ýòî âîçìîæíî, áóäåì ðàññìàòðèâàòü ðÿäû ïî ñòåïåíÿìîêðåñòíîñòè òî÷êèz = 0.z,òî åñòü âÏðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî ñîõðàíÿþòñÿ èçâåñòíûå èç êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîãîàíàëèçà ðàçëîæåíèÿ:∞Xzn,n!n=0ez =sin z =sh z =∞X(−1)n z 2n+1,(2n + 1)!n=0∞Xz 2n+1,(2n + 1)!n=0∞X1=zn,1 − z n=0cos z =ch z =∞X(−1)n z 2n,(2n)!n=0∞Xz 2n,(2n)!n=0z ∈ C,∞X1=(−1)n z n ,1 + z n=0|z| < 1. ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, íåïîñðåäñòâåííî âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíûå, èëè èñïîëüçóÿ òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè.Äåéñòâèòåëüíî, ñóììû óêàçàííûõ ðÿäîâ ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè è ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìèýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè ïðè âåùåñòâåííûõz.Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàçëîæåíèé ìîæíî òàêæå ïîëüçîâàòüñÿâîçìîæíîñòüþ ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü è èíòåãðèðîâàòü ñòåïåííûå ðÿäû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
