1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Íàïðèìåð, òàê êàêd 11=,2(1 − z)dz 1 − zòî∞X1=(n + 1)z n .(1 − z)2n=0Ïóñòü ôóíêöèèf (z), g(z)- äâå àíàëèòè÷åñêèå â êðóãåñâîèìè ðÿäàìè Òåéëîðàf (z) =∞Xcn z n ,g(z) =n=0B : |z| < R∞Xdn z n ,ôóíêöèè, òîãäà îíè ïðåäñòàâëÿþòñÿz ∈ B.n=0Î÷åâèäíî,f (z) ± g(z) =∞X(cn ± dn) z n ,z ∈ B.n=0Äàëåå,h(z) = f (z)g(z) =∞nXXn=0!ck dn−kk=0(óìíîæåíèå ðÿäîâ). Ïðîèçâåäåíèå ðÿäîâ ñõîäèòñÿ âî âñåì êðóãåâB,ñëåäîâàòåëüíîh(z) =znB. Äåéñòâèòåëüíî, ôóíêöèÿ h(z) àíàëèòè÷íà∞Xh(n) (0) nz .n!n=0Âñïîìèíàÿ ñâÿçü ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåííîãî ðÿäà è ïðîèçâîäíûìè åãî ñóììû, ëåãêî ïðîâåðèòü,÷òînXck dn−k =k=0Íàéäåì ðàçëîæåíèå ÷àñòíîãîíåêîòîðîì êðóãåH(z) =B1 : |z| < R1 ≤ R.f (z),g(z)h(n) (0).n!ñ÷èòàÿ, ÷òî ýòîì êðóãå ôóíêöèÿïðåäñòàâëåíà ðÿäîìH(z) =g(0) = d0 6= 0.H(z)Î÷åâèäíî, ÷òîg(z) 6= 0âÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé è ìîæåò áûòü∞f (z) X=hn z n .g(z) n=0Ïåðåïèñàâ ýòî ðàâåíñòâî â âèäåc0 + c1 z + c2 z 2 + ...
= (h0 + h1 z + h2 z 2 + ...)(d0 + d1 z + d2 z 2 + ...)è ïåðåìíîæèâ ðÿäû â ïðàâîé ÷àñòè, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîçâîëÿþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëèòüêîýôôèöèåíòûhn .38Ïðèìåð. Íàéäåì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè ez z− 1 . Èìååì:z1= h0 + h1 z + ... + hn z n + ...,=2ez − 1zz1+ ++ ...2!3!ïîýòîìóh0 = 1, h1 +×èñëàBn = n!hnh0hn−1h1h0= 0, ..., hn ++ ... ++= 0, ....2!2!n!(n + 1)!íàçûâàþòñÿ ÷èñëàìè Áåðíóëëè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîB2k+1 = 0, k ≥ 1,òàê ÷òî∞z X B2k 2kz=1−+z .ez − 12(2k)!k=1 äàëüíåéøåì ìû óâèäèì, ÷òî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà ðàâåí2π,è èç ôîðìóëû Êîøè-Àäàìàðàïîëó÷àåìslim2kk→∞B2k= 2π(2k)!Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëûctg z =cos z,sin zìîæíî ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèå ôóíêöèéÏóñòü òåïåðü â êðóãå÷òî ðÿä∞Xfk (z)B1z= ctg z + ctg ,sin z2tg z = ctg z − 2 ctg 2z,z ctg z,zsin z .tg z,çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé|z| ≤ R1 < R.ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â êàæäîì êðóãåk=0åãî ñóììà f (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé âBfk (z),k = 0, 1, ..., òàêàÿ,Ïî ïåðâîé òåîðåìå Âåéåðøòðàññàôóíêöèåé èf (z) =∞Xf (n) (0)n!k=0zn.Ïî òîé æå òåîðåìå∞(n)f (n) (0) X fk (0)=n!n!k=0(ïî÷ëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà).
Òàêèì îáðàçîì,∞∞(n)XXfk (0)f (z) =n!n=0!Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çíà÷åíèÿ àíàëèòè÷åñêîé â êðóãåBzn,|z| < R.k=0r,w0 = f (0),B0f (z)ëåæàò â êðóãåB 0 : |w − w0 | <òî åñòü|f (z) − w0 | < r,è âôóíêöèÿçàäàíà àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿg(w),z ∈ B,òàê ÷òî îïðåäåëåíà êîìïîçèöèÿF (z) = g(f (z)),àíàëèòè÷åñêàÿ âB.×òîáû ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèåg(w) =F (z),∞Xèñïîëüçóåì ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèèdn (w − w0 )n .n=0Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ðÿä∞Xdn (f (z) − w0 )nn=0ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â êàæäîì êðóãåF (z) =∞Xn=0|z| ≤ R1 < R,dn∞(n)Xf (0)òàê ÷òî!zn,kk=0n!39fk (z) = (f (z) − w0 )k .g(w)6. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà ìîäóëÿ. Âòîðàÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà.Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà.(Ïðèíöèï ìàêñèìóìà ìîäóëÿ.) Ìîäóëü àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòè D, îòëè÷íîé îò ïîñòîÿííîéôóíêöèèf (z)íå èìååò âÄîêàçàòåëüñòâî.Dòî÷åê ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà.Äîêàçûâàòü áóäåì îò ïðîòèâíîãî: ïðåäïîëîæèâ ñóùåñòâîâàíèå òî÷êè ëîêàëüíîãîf (z) ïîñòîÿííà â D.
Ïóñòü z0 ∈ D - òî÷êà ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà |f (z)|, |f (z0 | =M = 0, òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè z0 f (z) = 0 è ïî òåîðåìå åäèíñòâåííîñòè f (z) = 0 âîâñåé îáëàñòè D. Ïóñòü M > 0, òîãäà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè |z − z0 | < ε âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî|f (z)| ≤ M. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî íà ñàìîì äåëå â ýòîé îêðåñòíîñòè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî |f (z)| = M.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè |z1 − z0 | < ε è |f (z1 )| < M, òî |f (z)| < M íà íåêîòîðîé äóãå îêðóæíîñòè |z − z0 | =ε1 , ε1 = |z1 − z0 |. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î ñðåäíåì äëÿ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé, ïîëó÷èì: 2πZZ2πZ2π111 iϕiϕf (z0 + ε1 e )dϕ ≤|f (z0 + ε1 e )|dϕ <M dϕ = M,M = |f (z0 )| =2π 2π 2πìàêñèìóìà, ïîêàæåì, ÷òîM.Åñëè000M < M, ÷åãî íå ìîæåò áûòü.
Òàêèì îáðàçîì, |f (z)| = M, |z −z0 | < ε. Ïóñòü, êàê îáû÷íî u(x, y) =Re f (z), v(x, y) = Im f (z). Äèôôåðåíöèðóÿ òîæäåñòâî |f (z)|2 = u2 (x, y) + v 2 (x, y) = M 2 , ïîëó÷àåìòî åñòüuÂûðàçèâ∂v ,∂x∂v∂yu∂u∂v+v= 0.∂y∂yèç ñîîòíîøåíèé Êîøè-Ðèìàíà, ïðèäåì ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíîuñ îïðåäåëèòåëåì∂v∂u+v= 0,∂x∂x∂u∂u−v= 0,∂x∂yu2 (x, y) + v 2 (x, y) = M 2 > 0,v∂u∂u+u=0∂x∂yçíà÷èò∂u∂u== 0,∂x∂y|z − z0 | < ε.∂v∂v== 0,∂x∂y|z − z0 | < ε.Àíàëîãè÷íî,Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèèz0 .Du(x, y), v(x, y), à âìåñòå ñ íèìè è ôóíêöèÿ f (z) ïîñòîÿííû â îêðåñòíîñòè òî÷êèf (z) ïîñòîÿííà â îáëàñòè D, ÷òî è òðåáîâàëîñü.Ïî òåîðåìå åäèíñòâåííîñòèÑëåäñòâèå 1.
(Òåîðåìà î íàèáîëüøåì çíà÷åíèè ìîäóëÿ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè.)-îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ ãðàíèöåéíåïðåðûâíàÿD.Òîãäà ìîäóëü|f (z)|Γ,f (z)- îòëè÷íàÿ îò ïîñòîÿííîé àíàëèòè÷åñêàÿ âDÏóñòüôóíêöèÿ,äîñòèãàåò ñâîåãî íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ òîëüêî íà ãðàíèöå. Èíûìèñëîâàìè,|f (z)| < max |f (ζ)|,ζ∈ΓÄîêàçàòåëüñòâî.|f (z)|z ∈ D.Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà íåïðåðûâíàÿ íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâåz0 ∈ D.z0 ∈ Γ.äîñòèãàåò ñâîåãî íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ â íåêîòîðîé òî÷êåýòà òî÷êà íå ìîæåò áûòü âíóòðåííåé òî÷êîéD,ñëåäîâàòåëüíî,DôóíêöèÿÏî ïðèíöèïó ìàêñèìóìà ìîäóëÿÏðèìåð.
Íàéäåì max | sin z| â êðóãå |z| ≤ 2. Ïî äîêàçàííîìó, ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ íà ãðàíèöå êðóãà,òî åñòü ïðè|z| = 2,ïîýòîìó∞∞ ∞X (−1)2k+1 X (−1)2k+1 2k+1 Xz 2k2k+1 | sin z| = zz== sh 2.≤(2k + 1)!(2k + 1)!(2k + 1)!k=0Òàê êàêsin z = −i sh iz,Ñëåäñòâèå 2.èìååò âDk=0òî ìàêñèìóì| sin z|ðàâåík=0sh 2è äîñòèãàåòñÿ â òî÷êàõz = ±2i.f (z) 6= 0à) Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ ïðèíöèïà ìàêñèìóìà ìîäóëÿ èâD,òî|f (z)|íåëîêàëüíîãî ìèíèìóìà.b) Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ ñëåäñòâèÿ 1 èçíà÷åíèÿ òîëüêî íà ãðàíèöåÄîêàçàòåëüñòâî.f (z) 6= 0âD,òî|f (z)|äîñòèãàåò ñâîåãî íàèìåíüøåãîD.Óòâåðæäåíèå à) ïîëó÷àåòñÿ ïðèìåíåíèåì ïðèíöèïà ìàêñèìóìà ìîäóëÿ ê àíàëèòè÷åñêîé1 . Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ b) â òî÷íîñòè ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿâ D ôóíêöèè g(z) =f (z)1 (ñ çàìåíîé ìàêñèìóìà íà ìèíèìóì).Ñëåäñòâèå 3. (Âòîðàÿ òåîðåìà Âåéåðøòðàññà î ðÿäàõ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé.)- îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ ãðàíèöåéΓ,fn (z),n = 0, 1, ...40Ïóñòü- ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àíàëèòè÷åñêèõ âDDèíåïðåðûâíûõ â∞XD ôóíêöèé.
Òîãäà, åñëè ðÿäfn (z) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà Γ, òî îí ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíîn=oâD. Ïðè ýòîì åãî ñóììà ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â D ôóíêöèåé, è åå ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà ìîæíîïîëó÷èòü ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì.Äîêàçàòåëüñòâî.÷òî ïî çàäàííîìóε>0Âîñïîëüçóåìñÿ êðèòåðèåì Êîøè. Èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà íàìîæíî óêàçàòü òàêîån0 ,Γñëåäóåò,÷òî nXfk (z) < ε,n > m ≥ n0 ,z ∈ Γ.k=mÒàê êàê êîíå÷íàÿ ñóììànXfk (z)ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé âDè íåïðåðûâíîé âDôóíêöèåé, òî ïîk=mñëåäñòâèþ 1nXfk (z) < ε,n > m ≥ n0 ,z ∈ D.k=mÎñòàâøèåñÿ óòâåðæäåíèÿ ñëåäóþò èç ïåðâîé òåîðåìû Âåéåðøòðàññà.7. Ðÿä Ëîðàíà.Ðàññìîòðèì ðÿä∞Xcn (z − z0 )n =n=−∞Åñëè â òî÷êåz∞Xcn (z − z0 )n +n=0ñõîäÿòñÿ îáà ðÿäàS1 (z),S2 (z),ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäàS1 (z) =∞Xc−n= S1 (z) + S2 (z).(z − z0 )nn=1(1)òî ãîâîðÿò, ÷òî ðÿä (1) â ýòîé òî÷êå ñõîäèòñÿ. Ïóñòü∞Xcn (z − z0 )nn=0ðàâåíR.Òîãäà ôóíêöèÿS1 (z)B(z0 , R).t = z −1 z , ïîëó÷èì îáû÷íûé ñòåïåííîé ðÿä ïî ïåðåìåííîé t0áóäåò àíàëèòè÷åñêîé â êðóãåÄåëàÿ âî âòîðîì ðÿäå çàìåíó ïåðåìåííîé∞Xc−n tn .n=1ρ, òîãäà åãî ñóììà (êàê ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé t) áóäåò àíàëèòè÷åñêîé1ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèÿ S2 (z) áóäåò àíàëèòè÷åñêîé ïðè |z − z0 | > r =ρ.Ïóñòü ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà ðàâåíôóíêöèåé â êðóãåÅñëèr < R,|t| < ρ,èòî ôóíêöèÿf (z) = S1 (z) + S2 (z) =∞Xcn (z − z0 )nn=−∞áóäåò àíàëèòè÷åñêîé â êîëüöår < |z − z0 | < R,è ðÿäf (z)ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ëþáîì êîìïàêòíîìïîäìíîæåñòâå ýòîãî êîëüöà.Âåðíî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå (òåîðåìà Ëîðàíà) âñÿêàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ â êîëüöå ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìàðÿäîì âèäà (1).Òåîðåìà 1.
(Î ðàçëîæåíèè â ðÿä Ëîðàíà)ôóíêöèÿf (z)â êàæäîé òî÷êåz∈KÀíàëèòè÷åñêàÿ â êîëüöåK = {r < |z − z0 | < R}ïðåäñòàâèìà â âèäå ðÿäàf (z) =∞Xcn (z − z0 )n ,n=−∞ãäå1cn =2πiZf (t) d t,(t − z0 )n+1n = 0, ±1, ±2, . . . ,CρàCρ îêðóæíîñòü|t − z0 | = ρ, r < ρ < R.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü z ∈ K, è ðàññìîòðèì êîëüöî K1 = {r1 < |z − z0 | < R1 }, ãäå r < r1 , R1 < R.41Ñîãëàñíî èíòåãðàëüíîé ôîðìóëå Êîøè äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êèf (z) =Z12πif (t)d t1−t−z2πiCR112πiZZz ∈ K1âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîf (t)d t=t−zCr1f (t)d t1+t−z2πiCR1Zf (t)d t.z0(z − z0 ) 1 − zt −−zCr10Äëÿ ïåðâîãî èíòåãðàëà èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû Òåéëîðà ìû óæå çíàåì, ÷òî∞f (t)d t X=cn (z − z0 )n ,t−zn=0Z12πiCR1(2)ãäåZ1cn =2πif (t)d t,(t − z0 )n+1n = 0, 1, 2, . .
.CR1Ïîñêîëüêó ïðè ôèêñèðîâàííîìz ∈ K1t ∈ Cr1è ïðîèçâîëüíîìâûïîëíÿåòñÿ îöåíêà|t − z0 |= q < 1,|z − z0 |òî ðÿä∞ Xt − z0 mm=0tñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî ïåðåìåííîéz − z0=1tz01− z−− z0Cr1íà îêðóæíîñòèè åãî ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü.Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷àåìZ12πiC r1∞XZ X∞ t − z0 m f (t)d tf (t)d t1==z02πiz − z0z − z0(z − z0 ) 1 − zt −m=0−zC0(z − z0 )−m−1n=012πiZr1f (t)(t − z0 )m d t =∞Xcm (z − z0 )−m−1 ,m=0Cr1ãäåcm =12πiZf (t)d t.(t − z0 )−mC r1Ïîëàãàÿ−m − 1 = n,ïîëó÷àåì12πiZCr1−∞Xf (t)d t=cn (z − z0 )n ,z0(z − z0 ) 1 − zt −n=−1−z(3)0ãäåcn =12πiZf (t)d t,(t − z0 )n+1n = −1, −2, .
. .Cr1Ñêëàäûâàÿ ôîðìóëû (2), (3) è ó÷èòûâàÿ íåçàâèñèìîñòü èíòåãðàëîâ, îïðåäåëÿþùèõ êîýôôèöèåíòûðÿäà, îò âûáîðà îêðóæíîñòèCρ , r < ρ < R,ïîëó÷àåì òðåáóåìûé ðåçóëüòàò.Çàìå÷àíèå. Ïîëó÷àåìûé â òåîðåìå ðÿä íàçûâàþò ðÿäîì Ëîðàíà. Ïðè ýòîì ðÿäû∞Xcn (z − z0 )nn=0è−∞Xcn (z − z0 )nn=−1íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî ïðàâèëüíîé è ãëàâíîé ÷àñòüþ ðÿäà Ëîðàíà.42Òåîðåìà 2. (Åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ëîðàíà) Àíàëèòè÷åñêàÿ â êîëüöå r < |z−z0 | < Rôóíêöèÿf (z)ðàñêëàäûâàåòñÿ â ðÿä Ëîðàíà åäèíñòâåííûì îáðàçîì.Äîêàçàòåëüñòâî.  ñàìîì äåëå, ïóñòü∞Xf (z) =an (z − z0 )n =n=−∞è∞Xbn (z − z0 )n(4)n=−∞r < ρ < R.Ïîñêîëüêó ðÿäû ñõîäÿòñÿ ðàâíîìåðíî íà îêðóæíîñòèZCρ = {|z − z0 | < ρ}è(z − z0 )k d z = 0Cρïðèk 6= −1,òî óìíîæàÿ (4) íà(z − z0 )−m−1CρCρ∞XZ(z − z0 )Zd z = bmCρdz= 2πi bm ,z − z0Cρïðè âñåõ öåëûõ çíà÷åíèÿõÇàìå÷àíèå.êðóãåïîëó÷àåìCρn−m−1bnn=−∞am = bmCρZZ∞Xdz=an (z − z0 )n−m−1 d z = f (z)(z − z0 )−m−1 d z =z − z0n=−∞Z2πi am = amò.å.è èíòåãðèðóÿ ïî îêðóæíîñòèm.Ðÿä Òåéëîðà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðÿäà Ëîðàíà, Äåéñòâèòåëüíî, àíàëèòè÷åñêàÿ â|z − z0 | < Rôóíêöèÿ ðàñêëàäûâàåòñÿ â ðÿä Òåéëîðàf (z) =∞Xcn (z − z0 )n .n=oÍî ôóíêöèÿf (z),êàê àíàëèòè÷åñêàÿ â êîëüöå0 < |z − z0 | < R,f (z) =∞Xðàñêëàäûâàåòñÿ òàêæå â ðÿä Ëîðàíàc0n (z − z0 )n .n=−∞Èç åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ïîëó÷àåì, ÷òîc0n = 0,Çàìå÷àíèå.n = −1, −2, ...,Åñëè àíàëèòè÷åñêàÿ â êîëüöåc0n = cn ,0 < |z| < Rn = 0, 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
