1611690644-880628e884b3223afdc218eec356076b (826929), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. . .ôóíêöèÿf (z) =∞Xcn z nÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé−∞(íå÷åòíîé), òî åå ðÿä Ëîðàíà ñîäåðæèò ñëàãàåìûå òîëüêî ñ ÷åòíûìè (íå÷åòíûìè) ñòåïåíÿìè. Ïóñòü,íàïðèìåð, ôóíêöèÿf (z) = ... +f (z)íå÷åòíà,f (−z) = −f (z),òîãäàc−2c−1c−2c−1++ c0 + c1 z + c2 z 2 + ... = −f (−z) = −(... + 2 −+ c0 − c1 z + c2 z 2 − ...).z2zzzÑðàâíèâàÿ ðÿäû, ïîëó÷àåìc2k = −c2k ,k = 0, 1, 2, ...,òî åñòüc2k = 0.Òåîðåìà 2 ïîêàçûâàåò, ÷òî êîýôôèöèåíòû ðÿäà Ëîðàíà íå çàâèñÿò îò ñïîñîáà, êàêèì ïîëó÷åí ýòîòðÿä, ÷òî ïîçâîëÿåò â ðÿäå ñëó÷àåâ èçáåæàòü âû÷èñëåíèé, ñâÿçàííûõ ñ ïðèìåíåíèåì ôîðìóë (2), (3).1Ïðèìåð. Ðàçëîæèì â ðÿä Ëîðàíà àíàëèòè÷åñêóþ â êîëüöå 0 < |z−1| < 3 ôóíêöèþ f (z) = (z − 1)(z.+ 2)Èìååìf (z) =1311−z−1 z+2=∞1 1111 11 X (−1)n+1−=+(z − 1)n .3z−1 91+ z−13 z − 1 9 n=03n3Îòìåòèì åùå âçàèìîñâÿçü ðÿäîâ Ëîðàíà ñ ðÿäàìè Ôóðüå.
Ïóñòü ôóíêöèÿâ êîëüöå1 − ε < |z| < 1 + ε,f (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîéòîãäà â ýòîì êîëüöå îíà ïðåäñòàâèìà ðÿäîì Ëîðàíàf (z) =∞Xn=−∞43cn z n ,ãäåZ1cn =2πif (t)d t1=n+1t2πÏîëîæèìh(t) = f (e ),z=eòîãäà äëÿ òî÷åê∞Xh(t) = f (eit ) =f (eiϕ )e−inϕ d ϕ.0|z|=1itZ2πitåäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ïîëó÷àåìcn eint = c0 +n=−∞∞X(cn eint + c−n e−int ) =n=1∞a0 X+(an cos nt + bn sin nt),2n=1ãäåa0 = 2c0 , an = cn + c−n , bn = i(cn − c−n ).a0 =1πÑëåäîâàòåëüíîZ2πh(ϕ) d ϕ,an =12πZ2π0h(ϕ) cos nϕ d ϕ,0Z2π1bn =2πh(ϕ) sin nϕ d ϕ.0Òàêèì îáðàçîì, íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ðÿä Ëîðàíà äëÿ ôóíêöèèôóíêöèèf (z)ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Ôóðüå äëÿh(t) = f (eit ).8. Íåðàâåíñòâà Êîøè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà Ëîðàíà.Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ.f (z)Ïóñòü ôóíêöèÿmax |f (z)|.z∈Cρÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â êîëüöåK = {r < |z − z0 | < R}.Îáîçíà÷èìM (ρ) =Òîãäà äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà Ëîðàíà èìååì 1 Zf (t)d t 1 2πρM (ρ)M (ρ)=.|cn | = ≤n+1n+12πi(t − z0 )2π ρρn(1)CρÑîîòíîøåíèÿ (1) íàçûâàþò íåðàâåíñòâàìè Êîøè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà Ëîðàíà.
Åñëè ôóíêöèÿàíàëèòè÷íà â êðóãå|z − z0 | < R,f (z)òî àíàëîãè÷íûå íåðàâåíñòâà ñïðàâåäëèâû äëÿ êîýôôèöèåíòîâ åå ðÿäàÒåéëîðà.Íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì íåðàâåíñòâ Êîøè ÿâëÿåòñÿÒåîðåìà Ëèóâèëëÿ.f (z) â îáëàñòè|f (z)| < C|z|m , ãäå C = const, m - íåîòðèöàòåëüíîå öåëîå ÷èñëî, òî f (z)ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè íå âûøå m.  ÷àñòíîñòè, àíàëèòè÷åñêàÿ âî âñåé ïëîñêîñòè è îãðàíè÷åííàÿ|z| > R1Åñëè àíàëèòè÷åñêàÿ âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ôóíêöèÿóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþôóíêöèÿ ïîñòîÿííà.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó f (z) àíàëèòè÷åñêàÿ âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, òî îíà ïðåäñòàâèìàðÿäîì Òåéëîðàf (z) =∞Xcn (z − z0 )n .n=0Ñîãëàñíî íåðàâåíñòâàì Êîøè|cn | ≤îòêóäà ïðèR→∞Ñëåäîâàòåëüíî,ïîëó÷àåì, ÷òîf (z)cn = 0M (R)CRm≤,RnRnïðèR > R1n = m + 1, m + 2, . .
.ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì, ñòåïåíü êîòîðîãî íå ïðåâûøàåòm.9. Èçîëèðîâàííûå îñîáûå òî÷êè àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè.Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà z0 ∈ C íàçûâàåòñÿ èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êîé îäíîçíà÷íîãî õàðàêòåðà ôóíêöèèf (z),z0 , â êîòîðîé ôóíêöèÿ f (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé âñþäó, çàz0 (â òî÷êå z0 ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü è âîîáùå íå îïðåäåëåíà). Ñëîâà îäíîçíà÷íîãîåñëè ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü òî÷êèèñêëþ÷åíèåì ñàìîé òî÷êèõàðàêòåðà îáû÷íî áóäåì îïóñêàòü çàâèñèìîñòè îò ïîâåäåíèÿ ôóíêöèèf (z)â îêðåñòíîñòè òî÷êèèçîëèðîâàííûõ îñîáûõ òî÷åê.44z0ðàçëè÷àþò ñëåäóþùèå òðè òèïàÎïðåäåëåíèå.
Èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà z01) óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êîé, åñëè2) ïîëþñîì, åñëèlim f (z)z→z0ôóíêöèèf (z)íàçûâàåòñÿñóùåñòâóåò è êîíå÷åí;lim f (z) = ∞;z→z0f (z) íå èìååò ïðåäåëà â òî÷êå z0 .f (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè |z| > R, òîãäà1 è ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðÿäîì Ëîðàíàg(ζ) = f ( 1 ) áóäåò àíàëèòè÷åñêîé â êîëüöå 0 < |ζ| < Rζ3) ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êîé, åñëè ôóíêöèÿÏóñòü ôóíêöèÿôóíêöèÿ∞Xg(ζ) =dn ζ n +n=0Ïîëîæèìcn = d−n ,ζ = z1 ,d−n ζ −n .n=1òîãäàf (z) =∞Xcn z n +n=1ïðè∞X∞Xc−n z −n ,(1)n=0|z| > R.Îïðåäåëåíèå. Ðÿä (1) íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Ëîðàíà ôóíêöèè f (z) â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîéòî÷êè (èëè ïðîñòî â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå). ÐÿäûS1 =∞Xcn z n ,S2 =n=1∞Xc−n z −nn=0íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ãëàâíîé è ïðàâèëüíîé ÷àñòÿìè ðÿäà Ëîðàíà.Åñëè ôóíêöèÿf (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòè |z| > R, òî áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ òî÷êó åñòåñòâåííîñ÷èòàòü èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êîé.
Åå òèï îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê â ñëó÷àå êîíå÷íîé îñîáîé òî÷êè.Ïðèìåðû.1. Äëÿ ôóíêöèèñòðåìëåíèèz1f (z) = e zòî÷êàz0 = 0ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êîé. Äåéñòâèòåëüíî, ïðèê íóëþ ïî ïîëîæèòåëüíîé âåùåñòâåííîé ïîëóîñèê íóëþ ïî îòðèöàòåëüíîé âåùåñòâåííîé ïîëóîñè2. Äëÿ ôóíêöèèf (z) =1sin1 ).zn = πn1ôóíêöèè f (z) = √z1zòî÷êàz0 = 0f (z)f (z)ñòðåìèòñÿ ê+∞,à ïðè ñòðåìëåíèèñòðåìèòñÿ ê íóëþ.íå ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êîé (ýòî ïðåäåëüíàÿòî÷êà ïîëþñîâ3. Äëÿòî÷êàz0 = 0íå ÿâëÿåòñÿ îñîáîé òî÷êîé îäíîçíà÷íîãî õàðàêòåðà.4. Äëÿ ôóíêöèèf (z) =òî÷êàz=0ÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìîé, òî÷êàz=1ez − 1z(z − 1)ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì, à òî÷êàz=∞ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííîîñîáîé òî÷êîé.Ñòðîåíèå ðÿäà Ëîðàíà ôóíêöèèf (z)â îêðåñòíîñòè èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êèz0ñóùåñòâåííûìîáðàçîì çàâèñèò îò òèïà îñîáîé òî÷êè. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî èçîëèðîâàííàÿîñîáàÿ òî÷êàz0ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé, ò.ê. ê ýòîé æå ñèòóàöèè çàìåíîé ïåðåìåííîéz0 = ∞.Òåîðåìà 1.Äëÿ òîãî ÷òîáû èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êàz0ôóíêöèèòî÷êîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ðÿä Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè òî÷êèÄîêàçàòåëüñòâî.
Íåîáõîäèìîñòü.Ïóñòüz0 ∈ C f (z)z0 íåt = z1ñâîäèòñÿ ñëó÷àéáûëà óñòðàíèìîé îñîáîéñîäåðæàë ãëàâíîé ÷àñòè.óñòðàíèìàÿ îñîáàÿ òî÷êà ôóíêöèèf (z),òîãäàñóùåñòâóåòlim f (z) = A 6= ∞.z→z0f (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé è îãðàíè÷åííîé â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòè|f (z)| ≤ M < ∞ ïðè 0 < |z − z0 | < r.Ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèÿòî÷êèz0 ,ò.å. ñèëó íåðàâåíñòâ Êîøè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà Ëîðàíà|cn | ≤ïðè âñåõM, n = 0, ±1, ±2, .
. .ρn0 < ρ < r.ρ ê íóëþ, ïîëó÷àåì cn = 0 ïðè n = −1, −2, . . . , ò.å. ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà â îêðåñòíîñòèÓñòðåìëÿÿòî÷êèz0òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ.45Äîñòàòî÷íîñòü. Åñëè ðÿä Ëîðàíà ôóíêöèè f (z) â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0òîf (z) =∞Xíå ñîäåðæèò ãëàâíîé ÷àñòè,cn (z − z0 )n(1)n=0â íåêîòîðîì êîëüöå0 < |z − z0 | < r. Îäíàêî ñòåïåííîé ðÿä (1) ñõîäèòñÿ âî âñåì êðóãå |z − z0 | < r,lim f (z) = c0 , ò.å. òî÷êà z0 ÿâëÿåòñÿ óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êîé.ñëåäîâàòåëüíî ñóùåñòâóåòÇàìå÷àíèå.z→z0Ïðîäîëæèâ ïî íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèþïîëó÷èì ôóíêöèþ àíàëèòè÷åñêóþ âî âñåì êðóãåîñîáåííîñòè â òî÷êåz0 .f (z)â òî÷êóz0 (f (z0 ) = lim f (z) = c0 ),z→z0ìû|z −z0 | < r, ïðåäñòàâèìóþ â íåì ðÿäîì (1) è íå èìåþùóþÝòî è îáúÿñíÿåò ïðîèñõîæäåíèå òåðìèíà óñòðàíèìàÿ îñîáàÿ òî÷êà.Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïîïóòíî äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿóñòðàíèìîé â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà â íåêîòîðîé ïðîêîëîòîé îêðåñòíîñòèýòîé òî÷êè.Çàìå÷àíèå.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòè D çà èñêëþ÷åíèåì îñîáûõ òî÷åê,z0 ∈ D - íåîñîáàÿ òî÷êà (ò.å. f (z) àíàëèòè÷íà â îêðåñòíîñòÿõ ýòîé òî÷êè).d = min(dist(z0 , ∂D), δ), ãäå δ - òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü ðàññòîÿíèé îò z0 äî îñîáûõ òî÷åê, òîðÿä Òåéëîðà â òî÷êå z0 ñõîäèòñÿ â êðóãå |z − z0 | < d. Òàê, íàïðèìåð, ïîëó÷åííûé ðàíåå ðÿä äëÿ ôóíêöèèf (z) = z 1 ñõîäèòñÿ â êðóãå |z| < 2π, òàê êàê áëèæàéøèìè ê òî÷êå 0 îñîáûå òî÷êè ôóíêöèè - ýòî òî÷êèe −1±2πi.íå ÿâëÿþùèõñÿ óñòðàíèìûìè, èÒîãäà åñëèÒåîðåìà 2. (Ïåðâûé êðèòåðèé ïîëþñà.)0 < |z − z0 | < RÒî÷êà z0 ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì àíàëèòè÷åñêîé â êîëüöåf (z) â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå åñëè íàéäóòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî m è0 < |z − z0 | < R1 ≤ R ôóíêöèÿ g(z), òàêèå, ÷òî g(z0 ) 6= 0 èôóíêöèèàíàëèòè÷åñêàÿ â êîëüöåf (z) =g(z),(z − z0 )m0 < |z − z0 | < R1 .Çàìå÷àíèå.
×èñëî m íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ïîëþñà. Åñëè m = 1, òî ïîëþñ íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü z0 - ïîëþñ ôóíêöèè f (z). Òàê êàê lim f (z) = ∞ òî íàéäåòñÿ ÷èñëî R1 ,z→z0R1 ≤ R,òàêîå ÷òîàíàëèòè÷åñêîé âK1|f (z)| ≥ 1è òî÷êàz0â êîëüöåK1 : 0 < |z − z0 | < R1 .Òîãäà ôóíêöèÿh(z) =ÿâëÿåòñÿ äëÿ íåå óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êîé. Äîîïðåäåëÿÿ0<1 ÿâëÿåòñÿf (z)h(z) â òî÷êå z0|z−z0 | < R1 ôóíêöèþ h(z), îáðàùàþùóþñÿz = z0 . Ñëåäîâàòåëüíî, íàéäóòñÿ íàòóðàëüíîå m è àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ h1 (z), òàêèå,h1 (z) 6= 0, |z − z0 | < R1 è h(z) = (z − z0 )m h1 (z). Ïîëàãàÿ g(z) = 1 , ïîëó÷àåìh1 (z)(çàìå÷àíèå ïîñëå òåîðåìû 1), ïîëó÷àåì àíàëèòè÷åñêóþ â êðóãåâ 0 òîëüêî ïðè÷òîf (z) =1g(z)=,h(z)(z − z0 )mz ∈ K1 .Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî.Ïðèìåð.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (z) = z − 1sin z . Ïóñòü z0 = 0. Òîãäàf (z) =11g(z)== 3 ,32z1 − z + ...)z − (z − z3! + ...)z 3 ( 3!5!g(z) =1.1z23! − 5! + ...g(z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îêðåñòíîñòè 0 è g(0) 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà z0 = 0f (z).Îòìåòèì åùå, ÷òî, êàê ýòî ñëåäóåò èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2, ïîðÿäîê ïîëþñà ôóíêöèè f (z)1ñîâïàäàåò ñ êðàòíîñòüþ íóëÿ ôóíêöèè h(z) =f (z) .Î÷åâèäíî, ôóíêöèÿ- ïîëþñ òðåòüåãî ïîðÿäêà ôóíêöèèÒåîðåìà 3.
(Âòîðîé êðèòåðèé ïîëþñà.) Äëÿ òîãî ÷òîáû èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà z0f (z)ôóíêöèèáûëà ïîëþñîì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè òî÷êèz0ñîäåðæàëà ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ.Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü z0 ∈ C2 ôóíêöèþf (z)â êîëüöåK1 : 0 < |z − z0 | < R1ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì ôóíêöèèìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåf (z) =g(z),(z − z0 )m46f (z), òîãäà ïî òåîðåìåãäåg(z)- àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ,g(z) =∞Xdn (z − z0 )n ,d0 6= 0,|z − z0 | < R1 .n=0Ïîýòîìóf (z) =d0d11(d0 + d1 (z − z0 ) + ...) =++ ...,mm(z − z0 )(z − z0 )(z − z0 )m−1m)ò.å. ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà ñîäåðæèò ëèøü êîíå÷íîå (íå áîëåå ÷åì÷èñëî ñëàãàåìûõ.Äîñòàòî÷íîñòü.
Åñëè ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà ñîäåðæèò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ, òîf (z) =Ôóíêöèÿòî÷êàz0c−mc−m+11++ ... =(c−m + c−m+1 (z − z0 ) + ...),mm−1(z − z0 )(z − z0 )(z − z0 )mg(z) = c−m + c−m+1 (z − z0 ) + ...àíàëèòè÷íà â îêðåñòíîñòèz0 ,c−m 6= 0.g(z0 ) = c−m 6= 0è ïî òåîðåìå 2ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì.Òåîðåìà 4. (Êðèòåðèé ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êè.) Äëÿ òîãî ÷òîáû èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êàz0ôóíêöèèf (z)áûëà ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäàËîðàíà â îêðåñòíîñòè òî÷êèz0ñîäåðæàëà áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ.Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò èç òåîðåì 1 è 3.Ñôîðìóëèðóåì àíàëîãè äîêàçàííûõ êðèòåðèåâ äëÿ áåñêîíå÷íî óäàëåííîé îñîáîé òî÷êè.
Ïóñòü â îáëàñòè|z| > Rf (z).çàäàíà àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿÒåîðåìà 1 . (Êðèòåðèé óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êè.) Äëÿ òîãî, ÷òîáû òî÷êà z0 = ∞ áûëà óñòðàíèìîé0îñîáîé òî÷êîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åå ðÿä Ëîðàíà â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå íå ñîäåðæàëãëàâíîé ÷àñòè.Òåîðåìà 20 . (Ïåðâûé êðèòåðèé ïîëþñà.)Áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ ïîëþñîì â òîìm è àíàëèòè÷åñêàÿ â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íîh(∞) = lim h(z) 6= 0 è â ýòîé îêðåñòíîñòè f (z) = z m h(z).è òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè íàéäóòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëîóäàëåííîé òî÷êè ôóíêöèÿh(z),òàêèå, ÷òîz→∞Òåîðåìà 3 . (Âòîðîé êðèòåðèé ïîëþñà.) Äëÿ òîãî ÷òîáû áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà áûëà ïîëþñîì0ôóíêöèèf (z)íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êåñîäåðæàëà ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ.Òåîðåìà 40 .
(Êðèòåðèé ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êè.) Äëÿ òîãî ÷òîáû áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êàf (z)áûëà ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êîé ôóíêöèèíåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ãëàâíàÿ ÷àñòü ðÿäàËîðàíà ñîäåðæàëà áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ.Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ óòâåðæäåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ çàìåíóz = 1.ζ10. Ïîâåäåíèå àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè ñóùåñòâåííî îñîáîé òî÷êè.Ïóñòü òî÷êà z0 ñóùåñòâåííî îñîáàÿKr = {0 < |z − z0 | < r}, â êîòîðîìf (z) =∞Xòî÷êà àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèècn (z − z0 )n +n=0Òîãäà ñóùåñòâóåò êîëüöî∞X 1 c−n.n = f1 (z − z0 ) + f2(z − z0 )z − z0n=1Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åêÏîñêîëüêó ðÿäf (z).zk → z0 ,÷òîf (zk ) → ∞.∞X 1 c−n=f2(z − z0 )nz − z0n=1ñõîäèòñÿ â êîëüöåKr ,òî, äåëàÿ çàìåíó ïåðåìåííîé∞Xt = z −1 z ,0ìû ïîëó÷èì ñòåïåííîé ðÿäc−n tn = f2 (t),n=1êîòîðûé çàâåäîìî ñõîäèòñÿ ïðè1 < |t| < ∞rè, ñëåäîâàòåëüíî, ýòîò ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ âî âñåéêîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ê àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèèf2 (t).Ñîãëàñíî òåîðåìå Ëèóâèëëÿ àíàëèòè÷åñêàÿ âîf2 (t) íå ìîæåò áûòü îãðàíè÷åííîé, ò.å.f2 (tk ) → ∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
