1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 8
Текст из файла (страница 8)
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ Рх. Гп «левая» производная от ф(х) при х=Ь, т. е. ф(х") — ф(Ь) х" о-о х' — Ь равна 1(Ь, ф(Ь)). Аналогичные утверждения получаются для концов интервала (а, хо). 3 а м е ч а н и е 2. Теорема 1 остается справедливой, если требовать от 1(х, у) только непрерывность в 6. В самом деле, выберем какую-либо ограниченную область 6', содержащую точку (хо, уо) и содержащуюся в 6 вместе со своим замыканием. Тогда функция )(х, д) ограничена на 6' (почему?), и, заменив 6 на 6', можно применить все предыдущие рассуждения.
Изложенными рассуждениями мы построили функцию ф(х), которая при х=хо обращается в до и удовлетворяет уравнению (3.2) только на замкнутом интервале (а, Ь). Рассмотрим один из концов, например правый, построенного куска линии у=ф(х). Так как по построению он лежит внутри 6, то, взяв вместо (хо, уо) точку (Ь, ф(Ь).), можно применить теорему 1, ограничившись построением решения в сторону х)Ь.
Таким образом, мы получим решение ф(х) уже на интервале [а, ЬД (Ь~>Ь), т. е. получим продолжение первоначально построенного куска интегральной линии. Затем можно, взяв вместо (хо,уо) точку (Ьь ф(Ь|)), вновь применить теорему 1 и получить продолжение решения на интервал (а, ЬХ1 (Ьо>Ь|) и т. д. Аналогично можно продолжать решения влево, т. е, в сторону убывания х. Возникает вопрос о том, что мы можем получить в результате такого продолжения. Решение ф(х) Йакого-либо дифференциального уравнения, заданное на отрезке а~хай, назовем продолжаемым вправо (влево), если существует решение ф,(х) того же уравнения, заданное на отрезке а (х~~)1 (а~~х~()), причем ~~>й (а~(а) н 'ф1(х) — р(х) при а«х~й.
Решение, не продолжаемое ни вправо, ни вле. во, называется непродолжаемым. Аналогично определяется продолжаемость и непродолжаемость решения, заданного на открытом или полуоткрытом интервалах. Из рассуждений, приведенных после замечания 2, вытекает, что если правая часть уравнения (3.2)' опре. делена и непрерывна в области 6, то любое его реше- 1«1 СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ О' Ик. Ю 47 нне, определенное яа замкнутом нли полуоткрытом ин-. тервале, всегда продолжаемо.
Непродолжаемые решения можно охарактеризовать следующим образом. Т ео р е м а 2. Пусть функция 1(х, у) определена и непрерывна в области 6, Тогда для непродолжаемости решения «р(х) (а<х<(1) уравнения (3.2) вправо (влево) необходимо и достаточно выполнения по крайней мере одного из трех условий: 1) р=+оо (а= — оо); 2) ~у(х) )-~+оо при х-Рр — 0 (х-э-а+0); 3) расстояние от точки (х, «р(х)) до границы 6 стремится к нулю при х-«й — 0 (х-Р а+0).
Доказательство. Будем для определенности рассматривать продолжаемость вправо. Если решение «р(х) (а<х<й) продолжаемо вправо хотя бы на полуоткрытый интервал а<х(р, то продолженная функция должна быть непрерывной, а точка ((1, «р(р)) должна находиться в области 6. Но это невозможно при вы.- полнении хотя бы одного нз условий 1) — 3), т. е. достаточность каждого нз ннх для непродолжаемости решения доказана. Для доказательства необходимости допустим, что ни одно из условий 1) — 3) не выполнено, и докажем, что тогда решение можно продолжить.
Обозначим р = 1пп «р (х), д = 1пп «р(х) ( — 'со~(р<д~+оо) к  — О к- — О и докажем, что р=д. В самом у деле, пусть р<д. Все точки интервала (х=~), р<у<д) являются предельными точками для графика решения н потому предельными для 6. Если бы все они принадлежали границе 6,то было бы выполнено условие 3), что невозможно; значит, имеется точка (й, г) (р<г<д), принадлежащая 6.
Выберем е)0 так, чтобы прямоугольник П: р — е к СХС(А à — В~У~«+В, ЦЕЛИКОМ . содержался в 6, причем р<г — е, «+е<д. Тогда функция Г на П Рис. «О ОВЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ [гл. 1И ограничена, шах)/) =й/<+со, а график функции гр(х) и при х-г.р — О бесконечно много раз переходит от верхней стороны П к нижней и обратно (рис. 10). Но в силу уравнения (3.2) и формулы конечных приращений каж- дый такой переход совершается на интервале оси х, длина которого не меньше 2В/Л[, тем самым переходов на интервале р — В«х<р может быть не больше 1[[/2, и мы пришли к противоречию Итак, р=д. Так как условие 2) не выполнено, то это значение конечно, т.
е. предел 1пп гр(х) существует. л~ь-о Положив значение гр(р) равным этому пределу, мы ви- дим, что точка (р, гр(р)) принадлежит 6, так как усло- вие 3) не выполнено. Но в силу уравнения (3.2), предел 1пп[р'(х) существует и равен /(р, [р(р)). Значит, л-г[[ — О при а<х<р по формуле конечных приращений "'„1,'(Р) = р'ац. ° =я, а))-/((), рЕ)) при х- р — О, а потому функция гр(х) удовлетворяет уравнению (3.2) и при х=р, т., е. является продолже- нием исходного решения на полуоткрытый интервал а<х«р.
Теорема 2 доказана. Замечание. Если область 6 ограничена, то слу- чаи 1) и 2) отпадают, и потому всякое непродолжаемое решение удовлетворяет условию 3). Если, кроме того, функция / на 6 ограничена, то при х1, хэ-г. р — О (х,<х[) Р (х,) — 1Р (хл) = (хг — хл) 1Р' (й) ~,,«1«л, = = — (х, — х ) / Ц, гр Ц)) — 1- О, а потому по известному общему критерию Коши суще- ствования предела получаем, что для иепродолжаемого решения [р(х) (а<я<()) существует 1пп гр(х). С друл-гэ — 0 гой стороны, если область 6 содержит полуплоскость я~хо (х«хь) (а(хо<р), то отпадает'случай 3).
Т е о р е м а 3. Пусть функция /(х, у) определена и непрерывна в области 6., Тогда 'через каждую точку (хгь уь) этой области проходит график по крайней мере одного непродолжаемого решения уравнения (3.2). А Н! СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ У' ! и. М 49 Доказательство. Будем строить решение толь- ко в направлении возрастания х. Обозначим через КА прямоугольник ха<х~хо+гм )д — др!.Сгш где ге равно половине кратчайшего расстояния от точки (хо, до) до границы 6, если 6 ие совпадает со всей плоскостью, и ге= 1, если 6 есть вся плоскость х, д, Пусть Мр —— щах!) (; тогда по методу, примененному при доКо казательстве теоремы 1, решение ~р(х), удовлетворяю- щее заданному начальному условию, будет построено го на интервале ха~х(хо+йъ где И, = пнп ~г„— 1.
ТеМо > перь обозначим х~=хо+Йо, д~=ср(х~), У(~=(х~ (х<х~+гн ~д — д1( ~г1), где г, определено аналогично гм продолжим решение на интервал х|~х~х~+И,=хе —, "1, Ь, =- щ(п ~г,, — "1, М,= шпак(~() ' м,)' К, и т. д. Этот процесс можно продолжать неограниченно, в результате чеГо решение Ч~(х) будет построено при хо~х<й, где р =!1щх„< +оо, и ав Докажем, что построенное решение непродолжае- мо вправо.
Это ясно, если й = + со, или р<+ со, (р(х)! — +ос, или 1ип ~р(х)< 1пп ~р(х), так °  — о а — о х- а — о как в каждом из этих случаев функцию ~р(х) нельзя доопределить при х=р с сохранением непрерывности. Значит, остается случай, когда р<+ао и ~р(х) при х- и — О имеет предел д„. Но тогда х -~-~, ~р(х„)-~-д. (и-~-оа), н потому если точка (р, д.) принадлежит 6, то г„-+ г„, М -~-М„, й„-~-й, где г„, М„, й. определены для этой точки так же, как гм Мм й, для точки (хо, до); но тогда все й„>сопз1>0, т. е, х„-~+со, и мы прихо- дим к противоречию. Значит, точка (р, д„) принадле- жит границе 6, а потому решение ~р(х) непродолжаемо вправо.
Аналогично рассматривается продолжение решения в сторону убывания х. Теорема 3 доказана. (гл. !Н ОВШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧИ !. Пусть функция !(х, у) определена и непрерывна в замкнутой области гг. Докажите, что тогда утверждение теоремы 3 остается справедливым, утверждение же теоремы 2 приобретает следующий вид: если решение ф(х) уравнения (3.2) иепродолжаемо вправо, то либо область определения функции <р(х) содержит некоторый полуоткрытый интервал хе(х((), причем ()=+ос нли (!р(хЦ вЂ” -е+со, лабо же зта область содержит отрезок'хе(х~р, х-~р — з причем точка (3, ф9)), принадлежит границе области гг.
(Аналогично формулируются необходимые условия непродолжаемостн влево.) 2. Докажите, что если область 6 ограничена, а функции ( иа 6 ограничена сверху или снизу, то для иепродолжаемого решению ф(х) (ц(х(()) существует Иш ф(х) . х 3 — с 3. Пусть область О представляет собой полосу и(х~а', причем ('непрерывна н ограничена иа 6, Может быть, что через некоторую точку (хь уе) этой области проходит более чем одна интегральная линия уравнения (3.2).
Докажите, что тогда найдутся две интегральные линии у=ф!(х) и у=<р,(х) этого уравнения (наибольшее и панменьшее решения (Монтель)), причем <р!(хе) = !!ч(хо) уь фз(х)~(ф!(х), а~х(и', н вся часть полосы 6 меж. ду липками у-ф!(х) н у фз(х) целиком заполнена интегральными линиями, проходящими через (хо, уе). а вие этой части иет ин одной интегральной линии, проходящей через зту точку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
