1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Начертите интегральные линки уравневнй: бу ху бу ) х+у.( Уу х+(х) а) — = —, б) — = з)— а дх (ху) ' пх х+у ' бх у+)у) ' Ну (О прв учьх, ну (1 пря утьх, Ух (1 пря у=х; нх (О при у х. Укажите те области, где этн уравнения определяют поле направлений. 8. пусть дана линия х ф(г), у ф(1), а<1<ь, где ф(Ф) в ф(Г) удовлетворяют указанным в сносне на с. 13 усчовиям. Пусть.
а<Ф<Ь'~Ь. Докажите тогда следующие утверждешш: а) отрезок и'н,сн;Ь' можно разбить на конечное число такнг. примыкающих друг к другу отрезков, .что соответствующиЕ. части рассматриваемой линии являютси графиками либо' однозначиык непрерывно дифференцнруемык функций у=у(х). либо функций х х(у) с танимн же свойствами; б) существует такое постоянное н>0, что при всяком У (а'чй <г'<Ь') участок рассматриваемой линия, соответствующий'' отрезку ун,се~~'+е, не имеет точек самопересеченвя; в) отношение янины любого участка липин с' концами, соответствующими Г=й я 1=(з (гГ~А<гз4Ь') к Гз — Гь ограничено и превосходит некоторую положительную постоянную. 4.
Как связаны между собой требование: а) чтобы поле направлений ие содержало направлений, парзллельнык оси Оу; б) чтобы все интегральные линни были графиками функций от х? 6. Найдите уравнение геометрического места точек, которое заведомо содержит все точки максимума и минимума решений уравнения (1.1). Тот же вопрос для точек перегиба, если функция Г(х, у) дифференцяруема. ДЕ ПРОСТВИШИВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (гз, П 6. Проверьте, что определение области перейдет в равносильное, если вместо ломаных пользоваться линиями илв только иесамовересекающнмися линиями. 7. Кривые'часто задают уравиенвем г" (х, у)=0. Пусть функция Х задана н непрерывно диффереицируема ва всей плоскости, причем [)(л, р))'+[? (х, у))'+[[ (з, у))'~0, а множество [(х, у)=0 непустое.
Проверьте, что при указанных условиях это множество состоит нз конечного числа нли последовательиоств линяй, попарно ие имеющих общих точек, причем .каж,дая конечная часть плоскости пересекается только с конечным чис.лом из этих линий. При этом каждая вз лнинй либо замкнута, либо уходит обоими концами в'бесконечность, иг имея сзмоперееечеиий, Каким может быть множество [(х, у) =О, если не треболать выполнения условия (')? Как изменятся эти утверждения, если функция г задана иа некоторой области (?? ГЛАВА П ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ $ 3.
Уравнения вида —" = у (х) г(р Случай Е ~(х) непрерывна при а<х<Ь. Как известно, одним из решений рассматриваемого дифференциального уравнения будет функция у(х) = ~~($) с[й эг ~хз и х принадлежат интервалу (а, Ь)); все же другие решения будут отличаться от этого лишь аддитивной постоянной. Значит, все интегральные кривые получаются из одной сдвигом, параллельным оси Оу.
Общим решением здесь будет функция у(х) = ~~Ц) гф +С. зв Как только в полосе а<х<Ь зададим точку (хз, уз), тгхвнения вида арм =д1 19 % и через которую должна проходить интегральная кривая, постоянная С определится единственным образом: С=у0. Значит, через каждую точку (х„ у0) этой полосы про- жа,ис ий иа хсхэ Рис.
3 ходит одна и только одна интегральная кривая, а именно Случай 2. Г(х)-+ос при х-эс(а<с<Ь), оставаясь в остальных точках интервала (а, Ь) непрерывной. Зайх дадим при х=с поле направлений уравнением — =О. йу В этом случае при приближении к прямой х=с по'= ле направлений становится все круче и круче, Однако на открытых полосках а<х<с и с<х<Ь дело будет обстоять так же, как и в предыдущем случае: если точка (х0, уе) лежит, например, на первой из этих полос, то через нее проходит одна и только одна интегральная линия,, лежащая в этой полосе.
Она будет даваться уравнением и у=у. +~1(6)Ж ии ие из Рис. 4 Нф пгостаишие диевагвнпнлльныа у зевания [ . и Если при х-«-с — О интеграл ) 1($)«ф сходится, то х« эта линия при х- с — О будет приближаться к некоторой определенной точке прямой х=с (рнс. З,а). В противном случае линия у у(х) будет при х-«-с — О асимптотически приближаться к прямой х=с (рис.
4). Аналогичным образом можно исследовать поведение интегральных кривых иа полоске с<х<Ь. Два из возможных здесь случаев изображены на рис. З,а и 4, которые сделаны в предположении, что если интеграл ) г (ф ««й, а<х,< с, (2. 1) М« сходится (расход«(тся) при х-«-с — О, то сходится (соот.ветственно расходится) и интеграл к ) Щ) ~ф, с<х <Ь, «; жри х-«-с+О, и что 1(х) «-+со при х — ъ с. Прямая х=с'также есть интегральная линия.
Пусть мы рассматриваем все-кривые только в полосе а<х<Ь. Тогда в случае сходимости при х-«. с инте- тралов (2.1) и (2.2) через одну и ту же точку А(хе,у«) всегда проходит бесконечное множество интегральных кривых нашего уравнения. Действительно, пусть, например„а<ха<с. Тогда любая линия вида АВСР (рис. 3, а) будет интегральной. В случае, когда интегралы (2.1) и (2.2) сходятся прн .х а с.«-О, но ~(х) =~ +во, 1(х) — ~ — оо, зч«+э м-««-0 поведение интегральных линий схематически изображено на рис. З,б.
Тогда через каждую точку А прямой х*=с проходит бесконечное множество интегральных линий ААь АВВь АССь ... Через каждую же точку, лежащую внутри полосы а<х<с или с<х<Ь, например через' точку Вь в этом случае проходит только одна интегральная линия В,ВА. Кривые вида В«ВВь имею- Мэлвивния ВидА л»мт 1 с», % 4! щпе налом в 'точке В, мы не.считаем интегральными линиями в соответствии со сноской на с, 13. В случае расходнмости интегралов (2.1) и (2.2)'через ках(дую точку полосы а<х<Ь проходит одна и только .одна интегральная линия. Случай сходимости только одного из интегралов (2.Ц и,(2.2) мы предоставим разобрать читателю.
зд)(дчи 1 1, Клаве случив воэыожиы, если?(х) —.. ф(с) О и ф'(с) ф(х) существует? Предполегается, что ф(х) всюду иепрерыеиа и ф(х) чь чь 0 при хчь с., й. Представьте иертииу поеедеиия иитегральиых ливан-.ураииеияй: оу 1 г(у 1 еу — . лу 1 1 ы э з е»,— 1 ?Уэ1п х х у~еще» 1+с» ф —,' 1 Уу е» е!и —, — *х»»1п' — при раеэвчиьы а. ох х' ох х В частности, устэиоввте картвву щщедеиэя этих ивтегрельаых ливиу при х-»О, 3. эрржет ли ураввевае у' !(х) иметь рещевве, существующее ие эгей' оси х, есле фуаипвя 1(х) ве является всюду вепрерыевоа? $ Ф. Уравнения вида — =* ~(У) г!у ех Это уравнение в сущности отличается от предыдущего только тем, что д и у поменялись ролями.
Если 1(у) непрерывна прн а<у<Ь и не обращается в нуль в этом .интервале, то уравнение можно переписать в виде г(х 1 — = —. Отсюда видно, что тогда, во-первых, через Ь. 1(у)! каждую точку (хс, ус) полосы а<у<Ь проходит единственная интегральная линия х=к,+ ~— нч 5 /(ч) и, во-вторых, все интегральные линии получаются иэ одной сдвигом, параллельным оси Ох.
Пусть теперь ((у), оставаясь непрерывной, обращается в нуль при каком-нибудь, притом единственном, значении у=с нз интервала (а, Ь). Тогда: 1) если ~ — при у — ь с-РО расходится, то через г ИЧ 3 1(Ч) каждую точку полосы, расположенной между прямыми у=а и у=Ь, проходит одна и только одна интегральная линия; прямая у=с, которая сама есть интегральная линия, является асимптотой всех интегральных кривых; 2) если ~' — при у-ьс.+О сходится и при пере- 5, иэ ходе у через у=с функция 1(у) не меняет знака, то через каждую точку указанной полосы проходит бесконечное множество интегральных линий; ,3) если ~ — при у — ь с+О сходится и при пере- 1(ч) ходе у через у=с функция )(у) меняет знак, то через каждую точку прямой у=с проходит бесконечное множество интегральных линий, в то время как через каждую точку полос а<у(с и с<у<Ь проходит одна и только одна интегральная кривая.
Эти выводы следуют нз 3 3. Представление о геометрической картине для этого случая могут дать рис. 3 и 4, если в них поменять ролями оси координат. ЗАДАЧИ этом еараграфе возможиы 1. Какие случаи из разобранных в если Г'(с) существуете 2. Представьте картиву коведеиии иеиий: иитегральиых лииий урав- ор 1 — =12 —. бх у — =)у !а, — з!и у, лр лр ох , ' ах 22 пРОстейшие ДНФФеРенциАльные УРАвнения 1га. И 5) уРАВнения с Рлэделяктщимися переменными ез 3. Пусть Цс)=0 и сколь угодно близко от у с, как при у<с, гак и ыри у>с, найдутся значения у, при которых»(у)>0, н найдутся'значения у, при которых»(у) <О. Докажите, что тогда через любую точку х кь у=с проходит единственное решение учес уравнения у'=»(у».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
