1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В качестве иллюстрации рассмотрим два следующих примера. % и ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ Пример 1. Допустим, что в каждый момент времени известна скорость точки, движущейся по оси Ох; пусть она равна ~(1), где )(1) непрерывна. Будем считать, кроме того, что известна абсцисса хР этой точки в некоторый определенный момент 1=1Р. Требуется найти закон движения точки, т. е.
зависимость абсциссы движущейся точки от времени. Задача сводится к нахождчнню того решения дифференциального уравнения — =1(1). ~п которое при 1=1Р обращается в ха. Из интегрального исчисления известно, что такое решение дается формулой х(1) = Р+ Р(т)бт.
ь Пример 2. Известно, что скорость распада радия прямо пропорциональна наличному количеству радия. Допустим, что в момент 1Р имелось ЪР г радия. Требуется определить количество Й г радия в любой момент 1, Если коэффициент пропордиональности обозначить с(с>0), то задача сводится к нахождению того решения дифференциального уравнения — = — с)т, ~Ж чт. которое при 1=1Р обращается в РР.
Таким решением будет функция )Р )РЕ- и-ь> Из рассмотренных примеров видно, что одному и тому же дифференциальному уравнению могут удовлетворять очень многие функции. Йменно поэтому для определения искомой функции задавалось не только дифференциальное уравнение, которому она должна удовлетворять, но также и ее начальное значение, т.
е. значение при каком-нибудь определенном значении'аргумента. В рассмотренных нами примерах начальные 1гэ. Г ОВЩИВ ПОНЯТИЯ значения определяли единственным образом соответствующие им решения дифференциальных уравнений. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является изучение' свойств решений дифференциальных уравнений. Нахождение решений дифферент циального уравнения называют интегрированием этого уравнения. $2. Геометрическая интерпретация. Обобщение задачи Будем рассматривать дифференциальное уравнение вида у'=1(», у), (1.1) где функция 1(х, у) определена в некоторой области С ') плоскости (х, у). Это уравнение задает в каждой точке области значение углового коэффициента касательной к проходящему' через эту точку графику решения уравнения (1.1).
Если в каждой точке (х, у) области С представить с помощью некоторого отрезка'> направление касательной, определяемое значеицем 1(х, у), то получится лола направлений. Тогда поставленную прежде задачу нахождения решения дифференциального уравнения можно сформулировать так: требуется найти кривую у=~р(х), которая в каждой сиоей точке имеет заданную уравнением (1,1) касательную или, кзк часта гово ят, заданное уравнением (1.1) направление. Г' геометрической точки зрения в такой постановке задачи представляются мало естественными следующие обстоятельства: о Областью иззывзется иепустое множество 0 точек, обладаюПгсс СЛЕДУюЩвып ДВУмя свойствами: 1) каждая топке 0 — внутгнння, т.
е. онэ имеет окрестиостгь целяком првнэдлежвщую 0; 2) множество 0 связно, т. е. юобые две его точки можно соединить состоящей из конечного числе звеньев ломвиой, целиком лежащей внутри О. Гряннчными точилин области нвзывэются те точки, которые являются предельнымн для точек облвстн, ио не прянвдлежэт облэств. Совокупность всех грвввчиыт, точек иэзывэется .границей облвсти.
Эомннэтоб областью 0 (звмыкзинем облэств О) ввзывэется область 0 вместе с ее грэннцей. Ч Обз направления этого отрезка для изс безрнзлнчиы. а з1 гпомитв. интвгп~итяция, ововщнниз задачи !3 1) требуя„чтобы угловой коэффициент заданного в любой точке (х, у) области О направления равнялся 1(х, у), мы тем самым исключаем направления, параллельные оси Од; 2) рассматривая только кривые, служащие графиками функций от х, мы тем самым исключаем из рассмотрения те линии, которые некоторыми перпендикулярами к оси Ох пересекаются больше одного раза. Поэтому мы несколько обобщим предыдущую поста- новку задачи. Именно, будем допускать, что поле на- правлений в некоторых точках параллельно оси Ор. И в таких точках, где угловой коэффициент по отноше- нию к оси Ох не имеет смысла, будем пользоваться угловым коэффициентом по отношению к оси Оу.
'Соот- ветственно этому будем наряду с дифференциальным уравнением (1.1) рассматривать уравнение — =6,(х, р), лр (1. 1') 1 пРичем гз(х У) = — всюду, где обе эти функции г"(р, р) имеют смысл. При этом мы считаем, что в каждой точ- ке О по крайней мере одна из функций )в и )в имеет, смысл; [в — -0 там и только там, где( не имеет смысла, а 1=0 там и только там, где [в не имеет смысла. ЗаДачУ же интегрирования дифференциальных уравнений (1.1), (1.1') мы поставим.так: в области О найти все линии'1, о линнея (илн кривой) будем называть множество точек (х, у), задаваемых уравнениями: х=ф(г), р ф(М), когда г пробегает значе- ния некоторого интервала (о, Ь); а частности, может быть о — ов и Ь +вв.
Будем предполагать, что функцвн в(1) и ф(1) имеют не- прерывные производные в что нсегда ф'з(т)+ф"(Г)>0. Каждая точна «в ~р((в), рв ф(тв) такой линки лежит иа некотором куске ее, который служат графиком нлн непрерывно дифференцируемой, т. е. вмеющей вепрерызную пронзиодвую, функциональной завввм- мости у от х, илв непрерывно -дифференцируемой функцноналыюй зазясимоств х. от у. Действительно, по крайней мере одно из двух чнсеа вр (гв) и-ф'(гв) отлично от нуля. пусть, например, о'(св)чьо. Тогда в силу непрерывности Чв'(1) она сохраняет знак на некотором интервале значений Г от 1в — в до гв+а.
Поэтому при этик зиачеизях С уравнение х ~р(Г) можно разрешить относительно а Получим в х(х). Подставляя это значение 1 а уравнение р ф(1), получим л ф[Х(«Ц, т. е. р есть функция от х; !гл. г ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ имеюи)ие в каждой точке направление, заданное уравнениями (1,1) и (1.1') '>. Эти линии мы будем называть интегральными линиями (интегральными кривыми) уравнений (1.1), (1.Г) или поля направлений, задавабмого этими уравнениями.
Вместо множественного числа: «уравнения (1.1), (1,Г)», мы часто будем употреблять единственное число: «уравнение (1.1), (1.Г)». Ясно, что график всякого решения уравнения (1.1) является интегральной линией уравнения (1.1), (1.1'), но не всякая интегральная линия уравнения (1.1), (1.1')' есть график решения уравнения (1.1). В дальнейшем, если будет явно указано, что 1(х,у) = — '" )у(х, у) то мы, наряду с уравнением ау М(х, у) ох йг(х, у) ' не будем выписывать уравнение оу М(х, у) Иногда же мы будем такие уравнения записывать в более симметричной относительно х и у форме: М с(х — Ф с(у = О.
(1.3) При этом поле направлений определено всюду, где обе функции гт1(х, у) и Ф(х, у) имеют смысл и по крайней мере одна из иих отлична от нуля. Пример 1. Уравнение (1.2) (1. 2') (1.4) При таком определении понятия линии мы заранее требуем от решения ие только дифференцируемости, но даже непрерывной дифференцируемости. В втой книге будут рассматриваться только такие решения.
О Иногда поле изпрзвлеиий бывает зздзио не только внутри области О, но и из некоторой части ее гряинцы или деже из всей гравице. В таком случае может быть, что н интегральные линии проходят ие только внутри О, но и по некоторой части ее границы. э и гзометж интвгпгетлцня, озозщенне злдлчи 15 задает поле направлений всюду, за исключением начала координат. Схематически это поле изображено на рис.
!. Все определяемые им направления проходят через начало координат. Ясно, что при любом А функции у=Ах (1.5) являются решениями уравнения (1.4). Совокупность же всех интегральных линий этого уравнения дается соотношением (1.б) ах+Ьу=О, где а н Ь вЂ” любые постоянные,.
не равные нулю одновременно, Ось Оу является его интегральной линией, но не служит графиком его решения. Так как уравнение (1.4) не определяет поля направлений в начале координат, то линии (1.5) и (1.6) яв- Рие. 2 Рис. т лаются интегральными всюду, за исключением начала координат. Поэтому правильнее говорить, что интегральными линиями уравнения (14) являются не пря-' мые, проходящие через начало координат, а полупрямые, выходящие из начала координат (к этим полупрямым само начало не причисляется).
П р и м е р 2. Уравнение йу х йх у задает поле направлений всюду, за исключением начала координат. Схематически это поле изображено на Оищии поняти» рнс. 2; Направления, задаваемые в точке (х, у) уравненнямн (1.4) н (1.7), взаимно перпендикулярны. Ясно, что все окружности, имеющие центр в начале коордн. наг, будут ннтегральнымн кривыми уравнения (1,7). Решениями же этого уравнения будут функции у =У 1г' — х' и- — гис — л [ — лс*с%. Условимся о следующей термннологнн: 1. Функцию ~р(х, Сь Сл, ..., С ) будем называть об.
щим репзением и дифференциального уравнения (1.1) в области 6, если прн соответствующем выборе постоянных Сь Сг, ..., С„функцня ~р обращается в любое решецне этого уравнения, график которого лежит в б. В дальнейшем мы увидим, что обычно бывает л 1. 2. Уравнение Ф(х,у) =0 интегральной линии уравнения (1.1), (1.1'.) будем называть интегралом дифференииального уравнения (1.1), (1Л'). 3. Уравнение Ф(х, у, Сь Сп, Си)=0 (1.8) будем называть общим интеграломп дифференциального уравнения' (1.1), (1.1') 'в областн.б, еслн прн соответствующем выборе постоянных Сь Сь ..„С„уравненне (1.8). дает любую интегральную линию нашего днфференцнального уравнения, проходящую в области 6. Так, например, в первом нз разобранных примеров соотношение (1.5) давало общее решение уравнения (1.4) во всей плоскости (х, у), за исключением осн Оу, а уравнение (1.6) давало общий интеграл этого уравнення во всей плоскости (х, у), за неключеннем начала координат.
Во втором же примере уравнение д -р'у — 'г давало общее решение во всей полуплоскостн у>0, о В литературе истречаилсн н другие определении понятна общего решения н общего интеграла. Ь и гноыатж ннтаэп втацня, ововщвнии задачи ФТ а уравнение хт+уз =Аз (1.9) давало общий интеграл нашего дифференциального уравнения во всей плоскости (х, у), за исключением на. чала координат. Что у уравнения (1.4), соответственно (1.7), нет других интегральных линий кроме линий (1.6),. соответственно (1.9), будет доказано в $ 5. ЗАДАЧИ !. У какой области на плоскости граница не содержат нн одной точки? 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
