1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если функции М(х,д), Ф(х, д) и )1(х,у) имеют непрерывные производные, то интегрирующий множитель )ь(х, д) должен удовлетворять условию д(рМ) д(рФ) ду дк илн в раскрытом виде М й) — = р ~ — — — ~. (2.17) д)а др 7 дд дМ ч ду дх ~ дл ду) Последнее есть линейное дифференциальное уравнение с частными производными 1-го порядка. Для приведения левой части (2.13) к виду полного дифферен. цнала достаточно знать-, какое-нибудь одно частное решение уравнения (2.!7) и; однако, как мы увидим Н Очевидно, тривиальное реШение уравнении [2.17), равное толеяеетвеиио нулю, ие иреиетаваиет интереса. Я В) УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ 33 В Дополнении, задача об отыскании такого частного решения ничуть не проще задачи о нахождении общего решения уравнения (2.(3).
ЗАДАЧИ 1. будет ли во всей рассмотренной в примере области б хбх+убу полным днфференциалом некоторой функциы? 2. Тот же вопрос для у᫠— хо(у хо+уз 3. Докажите, что если уравнение (2.13) с непрерывно дяффе. ренцыруемымы функциями М(х, у), У(х, у), удовлетворяющимы условию (2.14) 'и заданными в односвязной' области, обладает замкнутой интегральной кривой, то внутри втой кривой найдется по крайыей мере одна точка (хо, уо), для которой М(хь уо) -М(хь у,) =О.
Я. Пусть условие (2.14) выполнено в аьевязной (и=2, 3,...) области, т. е. в областя с щ — 1 «дырами», (Дайте точное опреде.ление т-связности.) Пусть, кроме того, функции М(х, у) н )У(х, у) .непрерывно диффереицируемы н не обращаются одновременно в ~нуль, Докажитегчто прн етых условнях уравненые интегральной .лннын, проходящей через точку (хо, уо) областы, можно предстаФить в виде (226), где, однако, функцня г(х, у) неодиозыачная, определенная с точностью до слагаемого л,Сь+ ... +л,С :Здесь Сь ..., С о — вполне определенные постоянные (периоды), л ль „л 'о — произвольные целые чясла, При каком условии фуакция г(х, у) будет однозначной? Что будет ырн щ 2? Чем 1различаются случаы соязмерямых и несоизмеримых периодов при «л>2? Что будет для бесконечносвяэной областн? 3. Пусть уравнение (2.13) имеет .интегрвуующий ыиожитель 1)о(х, у), после умножения на который его левая часть обращается :в полный дифференциал некоторой функции г(г, у).
Докажите, что ари этих условиях функция 1»1(г(х, у)), где 1(г) — любая непре)рывная функция цт г, будет так»не интегрирующим множителем уравнения (2.13). Покажите также, что если все рассматрываемые )функции непрерывны и )М(хь уо)(+(А1(хь уо)) О, )о(хо. уо)чьо. 'хо любой ннтегрирующяй множятель уравнения (2.13) в некоторой окрестности точки (хо, уо) можно представить в таком виде. (Од~нако при рассмотрении области в целом последнее утверждение, 1вообще говоря, неверна» 38 ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (гл. П 6.
Пусть в некоторой области 0 функции х!(х, у) н аз(х, р) гюпрерывно дифференцнруемы н дх'! др дх, дх джаз дх Докажите, что тогда в некоторой окрестности любой точки 6 (но ие обнзательно во всей области 01) аз будет функцией от аь 7. Найдите интегрирующий множитель для линейного уравнения, записанного в виде др — (а(х)у+Ь(х))дх=о, 8. Пусть М(х, р) и г!(х, у) дважды непрерывно днффереицируемы в прямоугольнике !1, причем А!~о.
Докажите, что при этом условии для существования в !2 непрерывного интегрирующего множителя ГгФО (для уравнения (2.13)], зависящего только от х, необходимо' н достаточно, чтобы в !7 ~ дзйГ дм ~ дйГ ~дйГ дМ ~ '! См. также Э. К а м ке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — Мс Наука, 197б. На этом мы закончим изложение элементарных приемов йахождения решений дифференциальных уравнений 1-го порядка. Другие элементарные методы интегрирования дифференциальных уравнений изложены, например, в книгах: В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений.
— Мс Физматгнз, 1959; Н. М. Гюнтер, Р. О. Кузьмин. Сборник задач по высшей математике. — Мс Физматгиз, 1958. Т. 2; А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным .уравнениям. — Мс Наука, 1979. В основном эти методы сводят различные дифференциальные уравнения к уже разобранным нами типам '!. Отметим здесь также некоторые курсы теории обыкновенных 'дифференциальных уравнений, вышедшие в последние годы: В. И. А р н о л ь д. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1971; В. И. Арнольд.
Дополнительные главы теории обык- 4а1 крлвнвння в полных диаоврвнцилллх 37 новенных дифференциальных уравнений. — Мл Наука, 1978; Л. С. П'о н т р я г и н. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Мл Наука, 1974; А. Н. Т и хопн о в, А. Б. В а с и л ь е в а„А. Г. С в е ш н и к о в. Дифференциальные уравнения, — Мл Наука, 1979; М. В. Федорю'к.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Мл Наука, 1980; Ф. Ха ртм а н. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Мл Мир, 1970, ГЛАВА 70 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ Дифференциальных уравнений, интегралы которых находятся элементарными приемами, немного. Уже интегрирование дифференциальных уравнений типа Риккати, т. е. уравнений вида = а, (х) ~' + ах (хф У + аа (х), пх как показал в !841 г. Лиувилль, не сводится к квадратурам о, т. е. к конечной последовательности элементарных действий над известными функциями и интегрирований этих функций (подобно тому как это делалось в 9 3 — 8). Поэтому большое значение приобретают приемы приближенного решения дифференциальных уравнений, применимые к очень широким классам таких уравнений.
Но прежде чем приступить к приближенному нахождению решений, надо быть уверенными в том, что они существуют, т. е. существует то, что будем приближенно вычислять. Начало настоящей главы и посвящено таким теоремам существования. К тому же доказательства этих теорем часто указывают и методы приближенного нахождения решений (см., например, $9, 13, 14 и 17). и Вопросы интегрируемости и квадратурах рассмотрены, например, и кнл И.
К а ил а некий. Введение и дифференниальйую алгебру. — Мл ИЛ, 1959, овщзя теогня угзвнвний 1гл. и! й 9. Ломаные Эйлера Пусть дано дифференциальное уравнение У'=-1(х, У). (3.1) Область задания функции 1(х, у) назовем 6. Как мы уже знаем, уравнение (3,1) определяет в 6 поле направлений, которые должны иметь интегральные линии. Возьмем в области 6 какую-нибудь точку (хз,уз). Ей будет соответствовать проходящая через эту точку пРЯмаЯ с Угловым кбэффициентом 1(хз, Уз). На этой прямой в области 6 возьмем точку (хь р!) (на рис. 6 обозначена цифрой 1). Через точку (х!,у!) проведем прямую с угловым коэффициентом 1(х!, у!), иа которой мы отметим принадлежащую 6 точку (хз,уз) (на рис.
6 обозначена цифрой 2). Затем на прямой, соответствующей точке (хз, уз), отмечаем точку (хз, уз) и т. д. Пусть при этом хо<х!<хз<хз... (это построение можно выполнять и в сторону убывающих значений х). Получим у ломаные линии, которые назы- вают ломаньзми 'Эйлера. Естест- (и,.уй -! а г венно ожидать, что каждая из ломаных Эйлера с достаточно короткими звеньями дает некоторое представление об иитеграль. ной кривой, проходящей через " точку (хз, уо», и чтоприуменьшеРис.
й нии длин звеньев ломаные Эйле- ра приближаются к этой интегральной кривой; при этом предполагается, что такая интегральная кривая существует. В самом деле, ниже мы покажем, что при непрерывности )'(х,у) можно выбрать такую последовательность ломаных Эйлера, которая будет сходиться к интегральной кривой. Однако при этом вообще не будет единственности, т. е. могут существовать различные интегральные кривые, проходящие через одну и ту же точку (хз,уз). М. А. Лаврентьев построил пример такого дифференциального уравнения вида (3.1), у которого хотя 1(х,у) и непрерывна, однако в любой окрестности каждой точки области 6 через зту точку проходит не одна, а по крайней мере ТЕОРЕМА АРЦЕЛЯ 39- % !з) две интегральные кривые'1. Чтобы через точку (хе, уе) проходила только одна интегральная кривая, необходимы дополнительные предположения о функции )(х, у).
Доказательство существования проходяпгей . через точку (хо, уз) интегральной кривой дифференциального уравнения (3.1), которое мы здесь изложим, основано на теореме Арцеля и принадле!кнт в основном Пеано. Очевидно, каждая ез таких кривых будет служить графиком некоторого решения дифференциального уравнения (3.1). ЗАДАЧА Пусть функция !(х, у) задана на полосе а<х<а', — со<у<со (а<а'),, где она непрерывна и ограничена. Покажите, что для уравнении (33) совокупность всех ломаных Эйлера, выходящих иэ точки (а, Ь), эаполниет' множество Е, 'ограниченное сверху линней у= яз(х), а<х<а', выпуклость которой обращена вниз, снизу линией у=фа(х), а<и<-се, выпуклость которой обращена вверх, 'а справа прямой х=а'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
