1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 9
Текст из файла (страница 9)
4. Докажите теорему о существовании решения уравнения (3.2) следующим образом (метод Перрона). Назовем верхней функцией па интервале (хе, Ь) (см. рнс. 3) всякую непрерывно диффереицируемую функцию у ф(х), график которой проходит целиком по Ц н для которой ф(хе) =уе, ф'(х)>((х, ф(х)), хе~~х~~Ь. Тогда: а) верхние функции существуют; б) нижняя грань всех верхних функций является решением уравнения (3.2), график ко. торсго проходит через точку (хь уо) (именио наибольшим решением, см. задачу 3). Аналогично можно бьшо бы определить нижние функции н взять нх верхнюю грань.
То же можно сделать и для хг.хь б. Пусть иа области а заданы две ограниченные фуннцпн )(х, у) и г"(х, у), причем всюду г" (х, у)~((х, у). Предполагается, что функция г" (х, у) полуиепрерывиа сверху, а функция 1(х, у) полуиепрерывиа снизу. Это значит, что г(х, у) = (йпг((, з), ' г-и„ г ~з ТЕОРЕМА ОСГУДА О ЕДИНСТВЕННОСТИ ч !3) соответственно )(» у) = пп (((, з). с-кс, З.Фн' Тогда через любую точку (хь уз) рассматриваемой области проходят по крайней мере одна линия у=у(х), для любой точки которой при Ьх-ч-О все предельные значения отношения ~р(х+Ьх) — ю(х) Ьх заключены между г" (х, у) и 1(х, у).
Вообще говоря, через каждую точку (хь уз) . проходит много таких кривых; среди них существует наибольшая и наименьшая в смысле, указанном в задаче 3. 2 12. Теорема Осгуда о единственности Теорема. Если функция ((х,у) для любой пары точек (х, у~) и (х, уз) области О удовлетворяет усло- вию 1((х, уз) — )(х, у~) (~Ф((уз — у|1), (35)' где Ф(и) >О при О<иксе, непрерывна и такова, что пп — -+ оо, когда з -ь О, то через каждую точку б)(н) (хз, у,) области О проходит не больше одной интеграль- ной линии уравнения (3.2). Такими функциями Ф(и) могут быть, в частности, следующие функции: Ки, Ки(!пи(, Ки(1п и! 1п(1п и(, Ки!1пи(.1п!1Ни( 1п!п!1п и( и т.
д. (К означает некоторую положительную постоян- ную). Особенно часто применяют теорему о единственно- сти, полагая Ф(и)=Ки. В этом случае условие (3.5) перепишется так: 11(х, уз) — 1(х, у,) ( (К(уз — у~ (. (3.6) Условие (3.6) называется условием,дипшица по у, [тл. 111 ОВЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ бг Б частности, если область 6 выпукла по д'1, то этому условию удовлетворяют функции, имеющие ограниченную в 6 частную производную .
по у. Действительно, применяя в этом случае теорему Лагранжа, мы получим ( [ (х, ув) — ~ (х, у,) ( = ( ~„' (х, д, + О (д, — у,)) ( ( у, — у, ( ~ < К[да — У11. Здесь К означает верхнюю грань значений ~~в!. Доказательство. Пусть существуют два таких решения У1(х) и дз(х), что У1 (хо) =уз (хо) = уо Будем считать хо=О, так как мы всегда можем достичь этого заменой х на х+хо. Положим уз (х) — У1 (х) = г (х) .
Так как дз(х) чед[(х), то найдется такое х[, что г(х[)ФО. Можно всегда считать г(х[) >О, так как противоположный случай сведется к этому, если вместо разности дз(х) — д[(х) обозначить через г(х) разность У1(х) — Уз(х). Точно так же, не ограничивая Общности, можно считать, что х[>О, так как противоположный случай сводится к этому заменой х на — х. Заметим далее, что б(у — у ) дл дл = Г (х, д,) — ((х, у,) ~( Ф (~ д, — у, [) ( < 2бу5уз- дт !), (3. 7) если (Уз — У[! >О. Построим теперь решение у(х) уравнения — = 2Ф(д), пу дх которое при х=х, обращается в г(х[) =г[.
Такое решение существует и единственно (см. 5 4). График этого '1 Мы называем область О вылуклой ло у, если параллельный оси у отрезок АВ, соединяющий две пакле-иибудь точки А, и В этой области,-келиком лежит внутри этой областя. решения будет асимптотически приближаться к отрицательной части оси Ох и нигде ее не пересечет (рис. 11). В точке (хь г~) кривые г(х) и д(х) пересекутся. Из неравенства г'(х| ) (2Ф (г~ ) = 2Ф (д (х ~) ) = д' (х1) непосредственно следует существование такого интервала (х1 — е, х~), в>О, на котором г(х) >д(х). Но это же неравенство имеет место. при всяком в, если О(е(хь так как в противном случае, взяв для н его наибольшее возможное значе,ние, мы немедленно пришли бы к противоречию.
Действительно, тогда при х=х,— е=хз мы имели бы Рис. П г'(хт) )д'(хз) =2Ф(д(хт) ) =2Ф(г(хт)), так как правее точки хт г(х) >д(х). С другой стороны, проводя рассуждения, аналогичные тем, которые привели нас к (3.7), получим г'(хт) (2Ф(г(хт) ), что противоречит предыдущему. Значит, при всяком х, если только О сх~хь г(х) ~ д(х) >О, в частности 'г(О) >О, а это противоречит нашему перво- начальному предположению. здддчи К Докажите, что если Ф(0) =0 н Ф'(0) =О, то функция ((л, у), удовлетворяющая условию (З.б), обязана быть постоянной по у, если область б выпукла но у. Так будет, в частности, если Ф(п) = =из, р>1, 2. Докажите, что если в условии теоремы в качестве Ф(а) взять непрерывную функпию (Ф(и)>0 прн 0(н(с), график ко- з ~т1 тногнмл осгида о вдинстввнностн бз ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ [гз.
[Н а !' ди торой обращен выпуклостью вверх, причем интеграл [ — схо- ,) Ф(и) а дится, то утверждение теоремы несправедливо, т. е. существует функция [(х, у), удовлетворяющая условию (3.5), и притом такая, что через некоторую точку области С проходит более одной инте- гральной линни уравнения (3.2). 3. Докажите, что если Ф(0) =0 и Ф'(О) существует, то е ди — = оа, т. е. функция Ф(и) удовлетворяет условиям теоре- Ф(и) а мы Осгуда, 4. Если в теореме Осгуда за Ф(и) брать функции Ки, Ки[[пи[ и т. д., то мы будем волучать.все более слабые огра- ничения иа функции )(х, у), т.
е. все более сильные теоремы. До- кажите, что нельзя получить осамой сильной» теоремы этого рода. Иначе говоря, докажите, что если Ф(и) удовлетворяет упомянутым в формулировке теоремы условиям, то всегда существует функция Ф,(и), удовлетвОряющая тем же условиям, для которой Ф,(и) Ф(и) при й0. 6. Как известно из анализа, если функция [(х, у), заданная в некоторой области С, непрерывна по каждому из переменных х и у в отдельности, то она мажет ие быть яепрерывиой по совокупности (х, у).
Докажите, что если [ непрерывна па х и удовлетворяет условию (3.5), где Ф(и) — об, то [ непрерывна в области С и-»о по совокупности (х, у). Справедливо ли это утверждение для функции, аадаииой иа квадрате, круге, треугольнике вместе с их границами? д) б. Докажите, что если — непрерывна в области С, то имеет ду место единственность решения, график которого проходит через заданную точку области С. Достаточно ли требовать только существования этой производной? 7.
Пусть при хо! х(Ь заданы непрерывно дифференцируемые функции у(х), г(х), и(х), причем у(хо) г(хо) =и(хо) уо где точка (хэ у,) лежит в некоторой области С, на которой определена непрерывная функция [(х, у). у[усть всюду на этом интервале у'(х) [(х, у); г'(х) »[(х, г), й(х)))(х, и). Докажите, что тогда при х хо всюду г(х) у(х). Есин дополнительно потребовать, чтобы через каждую точку (х, у(х)) (пви хоо~х(Ь) проходила только одна интегральная линия у=убх) й ш! теорема Осгудл О единстйеннОсти 33 уравнения (3.2), то и(х)~у(х) при всех хш(хм Ь).
Покажите, что это дополнительное требование является существенным. Распространите утверждение иа случай, когда от функций г(х) и и(х) требуется только непрерывность и существование правой (нли левой) производной. 3. Пусть функция )(х, у) в полосе а(х(Ь, — оо(у(оо непрерывна и удовлетворяет оценке ()(х, у))(ту()у(), где функция (' Уг Ч'(г))0 непрерывна и — '= оо для любого Ж)0. ДокажиЧг(г) )г те, что тогда при любых начальных условиях решение можно продолжить иа весь отрезок а(х(Ь. (Зто верно и для Ч'(г)=.'О.) Приведите пример непрерывной функции Ч'(г))0 (0(г(оо), для ы Дг Р дг которой ! — = оо, но ) ( оо для любого е)0. Что от- ) Ч'(г) „Ч(г)+е е о сюда следует для продолжения решений? Возможен ли такой пример для монотонной функции Ч'(г)? 9. Пусть у У(х) (а(х(Ь) есть наибольшее решение уравнения (3.2) с непрерывной правой частью при начальных условиях: х=хь У(хе) =уе, причем кривая У=У(х) целиком лежит внутри б.
Пусть, даже, У„(х) есть наибольшее решение уравнения (3.2) при начальных условиях х=х„, У„(х„) =у, причем у >У(хо) и х„хе, у„уе при л- оо. Покажите, что тогда У„(х) прн достаточно большом л будет существовать иа всем отрезке (а, Ь! п при л-~ос У (х) будет равномерно на этом отрезке сходиться к У(х). Ср. задачу 3 $ !!. (О. Пусть у (х) есть решение уравнения = Д» у)+фл(Х. у) ° ду где ф (х, у) )О и верхняя грань значений ф„(х, у) иа 6 стремитсй к 0 при л-~-оо, с начальными условиями у[хе) -уо Точка (хь уз)зжб, )(х, у) и <р (х, у) считаются непрерывными, Пусть У=У(х)' определено, как в предыдущей задаче. Докажите, что при этих условиях у„(х) при л-ьсо будет равномерно сходиться иа от. резке (хо, Ь) к .У(х). И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
