1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (826767), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Тогда не придется в каждом отдельном случае заново приводить весь этот метод, а достаточно будет только убедиться, что выполнены условия его применимости. Принцип сжатых отображений. Пусть имеется непустое семейство (ф) функций, определенных на одном и том же множестве (безразлично, каком) йй и обладающих следующими свойствами: 3 и. Г. Печеввеквй ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ 1ю.
Из 1, Каждая функция ср ограничена (быть может, своей константой) ~ р~~М,. 2. Предел всякой равномерно сходящейся последовательности функций семейства также есть функция этого семейства. 3. На данном семействе (~р) определен оператор А(<р), который каждую функцию этого семеиства переводит в функцию того же семейства.
4. Для любой пары функций ~р, и <рз семейства ~А(~рз) — А(~р~) ~ апззпр~~рз — в~, где О~па<1, зир~<рз — <р~ ~ — верхняя грань значений !<рз — ~рз ~ на множестве йй. Тогда уравнение ~р= А (~р) (3.14) имеет одно и только одно решение среди функций рассматриваемого семейства. Прежде чем переходить к доказательству сформулированной теоремы, укажем несколько примеров ее применения.
Пример 1. Покажем прежде всего, как применить принцип сжатых отображений к доказательству существования и единственности непрерывного решения интегрального уравнения (3.8) или, что все равно, к доказательству существования и единственности принимающего при х=хе значение уо решения дифференциального уравнения (3.2).
За множество йй примем Отрезок а~х~Ь, о котором шла речь в предыдущем параграфе. За семейство функций (<р) примем семейство непрерывных функций, графики которых проходят в замкнутой области 6' между прямыми х=а и х=Ь (рис. 8). Такие функции удовлетворяют, очевидно, условиям 1 и 2 принципа сжатых отображений ц. Положим далее л А(~р) =- у. + ~уй. р($)) ~ф. зе М Мы рассматрнваем здесь замкнутую область б' только затем, чтобы удовлетворить условию 2. ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИИ $ пч В предыдущем параграфе мы видели, что этот опе- ратор удовлетворяет условиям 3 и 4, если отрезок (а, Ь] достаточно мал.
Значит, на основании принципа сжа- тых отображений уравнение (3.8) имеет одно и только Одно решение в классе функций («р), а следовательно, вообще только одно непрерывное решение при а~х~Ь. П р и м е р 2. Интегральное уравнение ь «р (х) = ~ (х) + А '] К (х, й) «ь ($) с$, а где 1(х) непрерывна при а~х~Ь, функция К(х, $) (ядро) непрерывна при а сх~Ь и а~$~Ь, при доста- точно малом А (х — некоторое постоянное) имеет одно и только одно непрерывное на отрезке а~х~Ь реше- ние «р(х). Чтобы применить здесь принцип сжатых отображе- ний, 'за множество йй примем отрезок (а, Ь], за семей- ство («р) — семейство всех непрерывных на этом интер- вале функций. Тогда, очевидно, условия 1 и 2 принципа сжатых. отображений выполнены.
Оператор А опреде- лим так: А(р)= — у(х)+А] К(х,9 ра)«(й. а Для него, очевидно, выполняется условие 3. Так как ь ] А («рь) — А (ф,) ] = ~ Х ~ К (х, ~) ]«ра ($) — «р, Я)] «Ц ~ ~ а ~])«,]М шах ]«раЯ) — «р,($)](Ь вЂ” а), аКЕ<Ь то условие 4 выполняется, если (Ь вЂ” а)]ЦМ(1. Здесь М есть верхняя грань значений ]К(х, $) ~. П р и м е р .3. Уравнение х =1(х) имеет единственное решение, если функция 1(х) определена при всех действительных х и удовлетворяет условию Липшица с константой К<1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ (гл, 1и Чтобы применить здесь принцип сжатых отображений, будем считать множество И состоящим из одной точки.
Тогда каждая функция на 3)) принимает только одно значение. Рассмотрим семейство (ф) всех таких функций. Тогда, очевидно, условия 1 н 2 принципа сжатых отображений будут выполнены. За оператор А примем функцию 1. По условию она определена прн всех действительных значениях аргумента х; каждое действительное число она переводит в некоторое действительное же число; следовательно, условие 3 выполнено. Условие 4 выполнено потому, что Ц(хг) — 1(х1) ~ ~К(хг — х1). Пример 4. (Теорема о неявной функции.) Пусть функция 1(х, у) определена при аах~б и любых действительных значениях у, непрерывна по х и всюду имеет производную по у, которая ограничена и всегда превосходит некоторое постоянное т)0.
Тогда уравнение 1(х, У) =0 (3.15) имеет на замкнутом интервале а~х~б одно и только одно непрерь!зное решение у(х). Чтобы прнмейнть принцип сжатых отображений, за множество К примем отрезок (а, Ц, за семейство (ф)— семейство всех непрерывных на этом отрезке функций. Тогда, очевидно, условия 1 и 2 принципа сжатых отобра1цений будут выполнены. Положим далее А (!р) ы !р — — 1 (х, !р), 1 М где М есть верхняя грань значеннй 1„(х, у).
Такой оператор, очевндно, удовлетворяет условию 3. С другой стороны, так как ~А(ф,) — А(!р,) ~ =~ !р, — — Т(х, 1р,) — (ф! — — Дх, 1р ))~=— 1 / 1 М ' '( М )е (х, ф1+8(ф,— 1р1)) =~(ф.— ф) — ' (р.— ф,)~ < (! фэ — ф11(1 — — ). М/ $ !м ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИИ то и условие 4 выполнено. Значит, уравнение р= р — — 7(» ч) 1 М нли, что все равно, уравнение (3.15), имеет одно и только одно непрерывное решение.
Доказательство п р ниц и п а с ж а ты х отоб. ражен и й. Возьмем какую-либо функцию «ра данного семейства и построим функцию 1р1 = А (1ра), которую будем называть «первым приближением» искомого решения уравнения (3.14). По свойству 3 операто. ра. 1р1 принадлежит (1р), и потому можно построить «второе приближение», положив р»=А (1р1), Функция 172 также принадлежит семейству (1р). Следовательно, этот процесс можно продолжить бесконечно.
Таким образом, получим последовательность функций Ч10ю 1Р!э ф»ю - Ф 1Рлю (3.16), где 1р,=А(1р, 1) при любом и)1. Докажем, что последовательность (3.16) сходится равномерно. Для этого рассмотрим ряд (ср. $14) РО+ (%1 Ро) + (72 1Р1) + -. (3.17) Если (1ра(«МБ и )1р1! ~М1 (свойство 1), то ! 1Р1 — 1рз! «,.Ма+ М1 =М. Применяя свойство 4 оператора А(1р), мы найдем (1Рл+1 (Рл( = (А (1Рл) — А (1Рл — 1) ) лл2 зпР (1Р~ — 1Рл — 1).
Следовательно, члены ряда (3.17) по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда с постоянными положительными членами: М +М+Мщ+Мв22+ Поэтому последовательность (3.16), члены которой являются частичными суммами ряда (3.17), равномерно сходится к некоторой функции 1р. По свойству 2 эта пре- [гг. П! те ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ дельная функция принадлежит семейству («р), и потому оператор А(«р) имеет смысл. Заметим далее, что [А(«р) — А(«рг !)) (лтвпр)«р рг «!. А так как («р — «р, «~ -0 равномерно при и -оо, то А(«р !) при этом равномерно сходится к А(«р). Поэтому в равенстве р,=А(«р„!) можно перейти к пределу при гз- оо, и мы получим ф=А (ф). Если бы уравнение (3.14) имело в семействе («р) два решения «р! и фж то было бы («рз — «р[~ =(А(«рз) — А(«р!) ~ к лгвпр~«рз — «р,( и, следовательно, впр[«рз †«р«~ ~т впр(«рг †«р!), что возможно только при «рз — «р[, так как в<1')'.
'> Для читателей, знакомых с понятием метрического пространства, сделаем следующее добавление. Пусть задано отображение А метрического пространства 1[ с метрикой р в себя; это отображение называется сжатым (точнее, сжимающим), если существует постоянная ю, ОК:а<1, для 'которой р(А«, Ау)~глр(х, у) при любых х н у из К Тогда принцип.сжатых отображений формулируют так: хжитае отображение полного метрического лрасгрилсгго г себя имеет одну и только одну нглодвижную точку, т. е. в 0 существует юдин и только один элемент к, для которого Ах=х. (Напомним, что метрическое пространство называется лалкым, если в ием любая последователен""-- х,, ..., для которой о(х„, хь)- О, стремится к г,э пределу.) Доказательство принципа в такой формулировке повторяет его доказательство, проведенное выше: начиная от любого элемента хе из [«', строят последовательные приближения па формуле «ке! Ах„(л=о, 1, 2, ...); тогда р(х «ь х„)~ю"р(х«, хг) (л=1, 2, ...), следовательно, р(х„, хь)-го при л, й-~-аа, поэтому полученная последовательность сходится к элементу, который н является единственной иеиадвижной точкой отображения.
Справедливость принципа, приведенного з начале параграфа, следует из этого более общего предложеивя, если пад пространством [1 понимать семейство (ф) с метрикой р(«рь «рг) =зар(«р! — Чт); условие 2 равносильно трезв баванию полноты полученного пространства, $161 ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕННИ 7$ ЗАДАЧИ !. Докажите, что условие 1 можно заменить иа следующее более слабое; разность любых двух функций из зв ограничена. й. Покажите яа примерах существеияость каждого из четырех условий теоремы етого параграфа для ее справедливости. Проверьте также, что нельзя полагать и 1. $16. Геометрическая интерпретация принципа сжатых отображений Будем рассматривать функции семейства (ф) как точки некоторого множества Ф. За «расстояние» между «точками» ~р1 и фх будем принимать зпр)фх — бр~). Тогда условие 2 можно интерпретировать так, что всякая «предельная точка» для бесконечной последовательности «точек» множества Ф принадлежит Ф, т.
е. что множество Ф тв замкнуто. Условие 3 состоит в том, что оператор А переводит «точку» <р, принадлежащую Ф, в некоторую «точку», также принадлежащую Ф. Наконец, условие 4 состоит в том, что если оператор А переводит «точку» 6р1 в «точку» ~р~ и «точку» ~рх в «точку» ~рз, то «расстояние» между ф1 и )рз сокращается по сравнению с «РасстоЯнием» межДУ «точками» 6Р, и ~Рз не менее чем в 1/гп раз.
Найти решение уравнения (3.14) в классе функций (~р) — это значит найти такую «точку» множества Ф, которая остается неподвижной при действии оператора А. Необходимость существования такой «точки» геометрически очевидна, если допустить, что множество Ф ограничено.
Тогда существует верхняя грань «расстояний» между ее «точками». Эту верхнюю грань мы будем называть дипметрои множества Ф. Пусть этот диаметр равен А 'Изобразим тогда множество Ф в виде некоторой замкнутой области (рис. 12), которая ограничена линией й После действия оператора А на все «точки» этого множества мы получим множество Фн которое, согласно условию 3, целиком заключено в Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
